paradoja de Faraday

La paradoja de Faraday es cualquier experimento en el que la ley de inducción electromagnética de Michael Faraday parece predecir un resultado incorrecto. Las paradojas se dividen en dos clases:

La ley de Faraday parece predecir que habrá una fuerza electromotriz (FEM) cero, pero en realidad hay una FEM distinta de cero.
La ley de Faraday parece predecir que habrá un campo electromagnético distinto de cero, pero en realidad es cero.

Faraday dedujo su ley de inducción en 1831, después de inventar el primer generador electromagnético o dinamo , pero nunca quedó satisfecho con su propia explicación de la paradoja.

Comparación de la ley de Faraday con la ecuación de Maxwell-Faraday.

La ley de Faraday (también conocida como ley de Faraday-Lenz ) establece que la fuerza electromotriz (FEM) viene dada por la derivada total del flujo magnético con respecto al tiempo t :

{\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _ {B}}{dt}},

dónde ${\mathcal {E}}$ es la FEM y Φ _B es el flujo magnético a través de una espira de alambre. La dirección de la fuerza electromotriz viene dada por la ley de Lenz . Un hecho que a menudo se pasa por alto es que la ley de Faraday se basa en la derivada total, no en la derivada parcial, del flujo magnético. ^{[ 1 ]} Esto significa que se puede generar una FEM incluso si el flujo total a través de la superficie es constante. Para superar este problema, se pueden utilizar técnicas especiales. Véase más adelante la sección sobre el uso de técnicas especiales con la ley de Faraday .

Sin embargo, la interpretación más común de la ley de Faraday es la siguiente:

La fuerza electromotriz inducida en cualquier circuito cerrado es igual al negativo de la tasa de cambio temporal del flujo magnético encerrado por el circuito. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Esta versión de la ley de Faraday solo es válida cuando el circuito cerrado es un bucle de hilo infinitamente delgado ^{[ 4 ]} , y no es válida en otras circunstancias. Ignora el hecho de que la ley de Faraday se define por la derivada total, no parcial, del flujo magnético, y también el hecho de que la fuerza electromotriz no necesariamente se limita a una trayectoria cerrada, sino que también puede tener componentes radiales, como se analiza más adelante. Una versión diferente, la ecuación de Maxwell-Faraday (que se analiza más adelante), es válida en todas las circunstancias y, cuando se utiliza junto con la ley de la fuerza de Lorentz, es coherente con la correcta aplicación de la ley de Faraday.

Esquema de la demostración de la ley de Faraday a partir de las ecuaciones de Maxwell y la ley de la fuerza de Lorentz.

Consideremos la derivada temporal del flujo a través de un bucle posiblemente en movimiento, con área $\Sigma (t)$ :

{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {A}

La integral puede cambiar con el tiempo por dos razones: el integrando puede cambiar o la región de integración puede cambiar. Estas se suman linealmente, por lo tanto:

\left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} \right)+\left({\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} \right)

donde t ₀ es un tiempo fijo cualquiera. Demostraremos que el primer término del lado derecho corresponde a la fuerza electromotriz (FEM) del transformador, y el segundo a la FEM de movimiento. El primer término del lado derecho se puede reescribir utilizando la forma integral de la ecuación de Maxwell-Faraday:

\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}

A continuación, analizamos el segundo término del lado derecho:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A}

Esta es la parte más difícil de la demostración; se pueden encontrar más detalles y enfoques alternativos en las referencias. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} A medida que el bucle se mueve y/o deforma, barre una superficie (véase la figura de la derecha). El flujo magnético a través de esta superficie barrida corresponde al flujo magnético que entra o sale del bucle, y por lo tanto, este es el flujo magnético que contribuye a la derivada temporal. (Este paso utiliza implícitamente la ley de Gauss para el magnetismo : dado que las líneas de flujo no tienen principio ni fin, solo pueden entrar en el bucle al ser cortadas por el alambre). Como una pequeña parte del bucle $d{\boldsymbol {\ell }}$ se mueve con velocidad v durante un corto tiempo $dt$ , barre un área vectorial vector $d\mathbf {A} =\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }}$ Por lo tanto, el cambio en el flujo magnético a través del bucle aquí es

\mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }})=-dt\,d{\boldsymbol {\ell }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Por lo tanto:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}

donde v es la velocidad de un punto en el bucle. $\partial \Sigma$ .

Al juntar estos,

\left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)+\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)

Mientras tanto, la FEM se define como la energía disponible por unidad de carga que viaja una vez alrededor del bucle de alambre. Por lo tanto, según la ley de la fuerza de Lorentz ,

\mathrm {EMF} =\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}

Combinando estos, ${\frac {d\Phi _ {B}}{dt}}=-\mathrm {EMF}$

La ecuación de Maxwell-Faraday es una generalización de la ley de Faraday que establece que un campo magnético variable en el tiempo siempre va acompañado de un campo eléctrico no conservativo que varía espacialmente , y viceversa. La ecuación de Maxwell-Faraday es:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

(en unidades del SI ) donde $\partial$ es el operador de derivada parcial , $\nabla \times$ es el operador rotacional y nuevamente E ( r , t ) es el campo eléctrico y B ( r , t ) es el campo magnético . Estos campos generalmente pueden ser funciones de la posición r y el tiempo t .

La ecuación de Maxwell-Faraday es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell y, por lo tanto, desempeña un papel fundamental en la teoría del electromagnetismo clásico . También puede escribirse en forma integral mediante el teorema de Kelvin-Stokes . ^{[ 8 ]}

Paradojas en las que la ley de inducción de Faraday parece predecir una fuerza electromotriz (FEM) nula, pero en realidad predice una FEM distinta de cero.

Estas paradojas se resuelven generalmente por el hecho de que una fuerza electromotriz (FEM) puede generarse mediante un flujo variable en un circuito, como explica la ley de Faraday, o por el movimiento de un conductor en un campo magnético. Feynman lo explica más adelante. Véase también A. Sommerfeld, Vol. III, Electrodynamics, Academic Press, página 362. ^{[ 9 ]}

El equipo

El experimento requiere unos pocos componentes sencillos (véase la Figura 1): un imán cilíndrico , un disco conductor con borde conductor, un eje conductor, cableado y un galvanómetro . El disco y el imán se colocan a corta distancia sobre el eje, donde pueden girar libremente sobre sus respectivos ejes de simetría. Se forma un circuito eléctrico conectando contactos deslizantes: uno al eje del disco y el otro a su borde. Se puede insertar un galvanómetro en el circuito para medir la corriente.

El procedimiento

El experimento se desarrolla en tres etapas:

El imán se mantiene fijo para evitar que gire, mientras que el disco gira sobre su eje. Como resultado, el galvanómetro registra una corriente continua . Por lo tanto, el aparato funciona como un generador , conocido también como generador de Faraday, disco de Faraday o generador homopolar (o unipolar) .
El disco se mantiene fijo mientras el imán gira sobre su eje. Como resultado, el galvanómetro no registra corriente.
El disco y el imán giran juntos. El galvanómetro registra una corriente, como sucedió en el paso 1.

¿Por qué es esto paradójico?

Algunos describen el experimento como una «paradoja», ya que, a primera vista, parece contradecir la ley de inducción electromagnética de Faraday, puesto que el flujo a través del disco parece ser el mismo independientemente de la rotación. Por lo tanto, se predice que la fuerza electromotriz (FEM) es cero en los tres casos de rotación. El análisis que se presenta a continuación demuestra que este punto de vista se debe a una elección incorrecta de la superficie sobre la cual calcular el flujo.

La paradoja se presenta de forma algo diferente desde la perspectiva de las líneas de flujo: en el modelo de inducción electromagnética de Faraday, un campo magnético consistía en líneas imaginarias de flujo magnético , similares a las que aparecen al esparcir limaduras de hierro sobre un papel y acercarlo a un imán. Se propone que la fuerza electromotriz (FEM) sea proporcional a la velocidad de corte de las líneas de flujo. Si se supone que las líneas de flujo se originan en el imán, entonces permanecerían estacionarias en su sistema de referencia, y al girar el disco con respecto al imán, ya sea girando el imán o el disco, debería producirse una FEM, pero al girarlos ambos simultáneamente no debería producirse.

La explicación de Faraday

En el modelo de inducción electromagnética de Faraday, un circuito recibía una corriente inducida al cortar las líneas de flujo magnético. Según este modelo, el disco de Faraday debería haber funcionado al girar el disco o el imán, pero no ambos a la vez. Faraday intentó explicar la discrepancia con la observación suponiendo que el campo magnético, con sus líneas de flujo, permanecía estacionario al girar el imán (una descripción totalmente precisa, pero quizás no intuitiva en el modelo de líneas de flujo). En otras palabras, las líneas de flujo tienen su propio marco de referencia. Como se muestra en la siguiente sección, la física moderna (desde el descubrimiento del electrón ) no necesita la descripción de las líneas de flujo y resuelve la paradoja.

Explicaciones modernas

Un circuito no es necesariamente un bucle.

En el paso 1 , la paradoja se resuelve fácilmente: el circuito no constituye una simple espira de alambre, como postula la ley de inducción de Faraday; sino que es la unión de dos espiras, ya que la corriente puede fluir a través de las dos mitades del borde (véase la figura 2). Si, por otro lado, se conserva solo una parte del borde, desde la unión del radio hasta la escobilla, entonces todo el circuito es una verdadera espira cuya forma varía con el tiempo; en ese caso, se aplica la ley de Faraday y se obtienen resultados correctos.

Teniendo en cuenta la ruta de retorno

En el paso 2 , dado que no se observa corriente, se podría concluir que el campo magnético no giró con el imán giratorio. (Ya sea que lo haga o no, efectiva o relativamente, la fuerza de Lorentz es cero ya que v es cero con respecto al sistema de referencia del laboratorio. Por lo tanto, no hay corriente medida desde el sistema de referencia del laboratorio). El uso de la ecuación de Lorentz para explicar esta paradoja ha dado lugar a un debate en la literatura sobre si un campo magnético gira o no con un imán. Dado que la fuerza sobre las cargas expresada por la ecuación de Lorentz depende del movimiento relativo del campo magnético (es decir, el sistema de referencia del laboratorio) con respecto al conductor donde se encuentra la fuerza electromotriz, se especuló que en el caso de que el imán gire con el disco pero aún se desarrolle un voltaje, el campo magnético (es decir, el sistema de referencia del laboratorio) no debe girar con el material magnético (por supuesto, ya que es el sistema de referencia del laboratorio), mientras que la definición efectiva del sistema de referencia del campo magnético o la "rotación efectiva/relativa del campo" gira sin movimiento relativo con respecto al disco conductor.

Un análisis cuidadoso demostró que, si se asumía que el campo magnético giraba con el imán y este con el disco, aun así se produciría una corriente, no por la fuerza electromotriz (FEM) del disco (ya que no hay movimiento relativo entre el disco y el imán), sino en el circuito externo que conecta las escobillas ^{[ 10 ]} , el cual, de hecho, se mueve con respecto al imán giratorio. (Las escobillas se encuentran en el sistema de referencia del laboratorio).

Este mecanismo concuerda con las observaciones sobre las trayectorias de retorno: se genera un campo electromagnético (CEM) siempre que el disco se mueve con respecto a la trayectoria de retorno, independientemente de la rotación del imán. De hecho, se ha demostrado que, mientras se utilice una espira de corriente para medir los CEM inducidos por el movimiento del disco y el imán, no es posible determinar si el campo magnético rota o no con el imán. (Esto depende de la definición; el movimiento de un campo solo puede definirse de forma efectiva/relativa. Si se considera que el flujo del campo es una entidad física, rota o depende de cómo se genera. Pero esto no altera lo que se utiliza en la fórmula de Lorentz, especialmente la v , la velocidad del portador de carga con respecto al sistema de referencia donde se realiza la medición, y la intensidad del campo varía según la relatividad en cualquier punto del espacio-tiempo).

Se han propuesto varios experimentos utilizando mediciones electrostáticas o haces de electrones para resolver el problema, pero aparentemente ninguno se ha llevado a cabo con éxito hasta la fecha.

Utilizando la fuerza de Lorentz

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por la fuerza de Lorentz: ^{[ 11 ]}

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

donde × es el producto vectorial . Todas las cantidades en negrita son vectores. El campo eléctrico relativísticamente correcto de una carga puntual varía con la velocidad como: ^{[ 12 ]}

\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}

dónde $\mathbf {\hat {r}} '$ es el vector unitario que apunta desde la posición actual (no retardada) de la partícula hasta el punto en el que se está midiendo el campo, y θ es el ángulo entre $\mathbf {v}$ y $\mathbf {r} '$ . El campo magnético B de una carga es: ^{[ 12 ]}

\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E}

En su nivel más básico, la fuerza de Lorentz total es el resultado acumulativo de los campos eléctricos E y los campos magnéticos B de cada carga que actúan sobre todas las demás cargas.

Cuando el imán está girando, pero las líneas de flujo son estacionarias y el conductor está estacionario

Consideremos el caso especial en el que el disco conductor cilíndrico está fijo, pero el disco magnético cilíndrico está girando. En tal situación, la velocidad media v de las cargas en el disco conductor es inicialmente cero, y por lo tanto la fuerza magnética F = q v × B es 0, donde v es la velocidad media de una carga q del circuito con respecto al sistema de referencia donde se toman las mediciones, y q es la carga de un electrón.

Cuando el imán y las líneas de flujo están estacionarias y el conductor está girando

Tras el descubrimiento del electrón y las fuerzas que lo afectan, fue posible una resolución microscópica de la paradoja. Véase la Figura 1. Las partes metálicas del aparato son conductoras y confinan la corriente debida al movimiento electrónico dentro de los límites metálicos. Todos los electrones que se mueven en un campo magnético experimentan una fuerza de Lorentz F = q v × B , donde v es la velocidad de los electrones con respecto al sistema de referencia donde se toman las mediciones, y q es la carga de un electrón. Cabe recordar que no existe un sistema de referencia como el "sistema de referencia del campo electromagnético ". Un sistema de referencia se establece en un punto específico del espacio-tiempo, no en un campo extenso ni en una línea de flujo como objeto matemático. Es diferente si se considera el flujo como una entidad física (véase cuanto de flujo magnético ) o si se considera la definición efectiva/relativa de movimiento/rotación de un campo (véase más adelante). Esta nota ayuda a resolver la paradoja.

La fuerza de Lorentz es perpendicular tanto a la velocidad de los electrones, que se encuentra en el plano del disco, como al campo magnético, que es normal ( normal a la superficie ) al disco. Un electrón en reposo en el sistema de referencia del disco se mueve circularmente con este respecto al campo magnético (es decir, el eje de rotación o el sistema de referencia del laboratorio, como se mencionó anteriormente), y por lo tanto experimenta una fuerza de Lorentz radial. En la Figura 1, esta fuerza (sobre una carga positiva , no sobre un electrón) apunta hacia afuera, hacia el borde, según la regla de la mano derecha.

Por supuesto, esta fuerza radial, que es la causa de la corriente, crea una componente radial de la velocidad de los electrones, generando a su vez su propia componente de fuerza de Lorentz que se opone al movimiento circular de los electrones, tendiendo a ralentizar la rotación del disco, pero los electrones conservan una componente de movimiento circular que continúa impulsando la corriente a través de la fuerza de Lorentz radial.

Uso de técnicas especiales con la ley de Faraday

El flujo magnético a través del segmento del recorrido que va desde la escobilla en el borde, pasando por el bucle exterior y el eje hasta el centro del disco, es siempre cero, ya que el campo magnético se encuentra en el plano de este recorrido (no perpendicular a él), independientemente de lo que gire. Por lo tanto, la fuerza electromotriz integrada alrededor de este segmento es siempre cero. En consecuencia, la atención se centra en el segmento del recorrido que va desde el eje, a través del disco, hasta la escobilla en el borde.

La ley de inducción de Faraday se puede enunciar con palabras como: ^{[ 13 ]}

La fuerza electromotriz (FEM) inducida en cualquier circuito cerrado es igual a la tasa de cambio temporal del flujo magnético a través del circuito.

Matemáticamente, la ley se enuncia de la siguiente manera:

{\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\ ,

donde Φ _B es el flujo y d A es un elemento vectorial del área de una superficie móvil Σ ( t ) delimitada por el bucle alrededor del cual se debe encontrar la FEM.

¿Cómo se puede relacionar esta ley con el generador de disco de Faraday, donde el flujo magnético parece ser simplemente el campo magnético multiplicado por el área del disco?

Un enfoque consiste en definir la noción de "tasa de cambio del flujo magnético" trazando una línea hipotética a través del disco desde la escobilla hasta el eje y preguntándose cuánto flujo magnético pasa por esta línea por unidad de tiempo. Véase la Figura 2. Suponiendo un radio R para el disco, un sector del disco con un ángulo central θ tiene un área:

A={\frac {\theta }{2\pi }}\pi R^{2}\ ,

por lo tanto, la velocidad a la que el flujo pasa por la línea imaginaria es

{\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=B{\frac {dA}{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\ {\frac {d\theta }{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\omega \ ,

donde ω = dθ / dt es la velocidad angular de rotación. El signo se elige según la ley de Lenz : el campo generado por el movimiento debe oponerse al cambio de flujo causado por la rotación. Por ejemplo, el circuito con el segmento radial de la Figura 2, según la regla de la mano derecha, suma al campo B aplicado, tendiendo a aumentar el flujo magnético. Esto sugiere que el flujo a través de este camino disminuye debido a la rotación, por lo que dθ / dt es negativo.

Este resultado de corte de flujo para la FEM se puede comparar con el cálculo del trabajo realizado por unidad de carga al hacer que una carga de prueba infinitesimal atraviese la línea hipotética utilizando la fuerza de Lorentz / unidad de carga en el radio r , es decir | v × B | = Bv = Brω :

{\mathcal {E}}=\int _{0}^{R}drBr\omega ={\frac {R^{2}}{2}}B\omega \ ,

lo cual es el mismo resultado.

La metodología anterior para hallar el flujo cortado por el circuito se formaliza en la ley de flujo al tratar adecuadamente la derivada temporal de la superficie límite Σ( t ). Por supuesto, la derivada temporal de una integral con límites dependientes del tiempo no es simplemente la integral de la derivada temporal del integrando, un punto que a menudo se olvida; véase la regla integral de Leibniz y la fuerza de Lorentz .

Al elegir la superficie Σ( t ), las restricciones son que (i) debe estar delimitada por una curva cerrada alrededor de la cual se calculará la FEM, y (ii) debe capturar el movimiento relativo de todas las partes móviles del circuito. No es necesario que la curva delimitadora corresponda a una línea física de flujo de la corriente. Por otro lado, la inducción se basa en el movimiento relativo, y la trayectoria debe capturar cualquier movimiento relativo. En un caso como el de la Figura 1, donde una porción de la trayectoria de la corriente se distribuye sobre una región del espacio, la FEM que impulsa la corriente se puede encontrar utilizando diversas trayectorias. La Figura 2 muestra dos posibilidades. Todas las trayectorias incluyen el bucle de retorno obvio, pero en el disco se muestran dos trayectorias: una geométricamente simple y otra tortuosa. Podemos elegir la trayectoria que queramos, pero una porción de cualquier trayectoria aceptable está fija en el disco y gira con él. El flujo se calcula a través de toda la trayectoria, el bucle de retorno más el segmento del disco, y se determina su tasa de cambio.

En este ejemplo, todas estas trayectorias conducen a la misma tasa de cambio de flujo y, por lo tanto, a la misma fuerza electromotriz (FEM). Para ilustrar esta independencia de trayectoria, en la Figura 3 el disco de Faraday se desenrolla sobre una tira, simulando un problema de rectángulo deslizante. En el caso del rectángulo deslizante, resulta evidente que el patrón de flujo de corriente dentro del rectángulo es independiente del tiempo y, por consiguiente, irrelevante para la tasa de cambio de flujo que conecta el circuito. No es necesario considerar con exactitud cómo la corriente atraviesa el rectángulo (o el disco). Cualquier trayectoria que conecte la parte superior e inferior del rectángulo (del eje a la escobilla en el disco) y que se mueva con el rectángulo (girando con el disco) genera la misma tasa de cambio de flujo y predice la misma FEM. Para el disco, esta estimación de la tasa de cambio de flujo es la misma que la realizada anteriormente, basada en la rotación del disco más allá de una línea que une la escobilla con el eje.

Configuración con una ruta de retorno

En este análisis, el movimiento del imán es irrelevante debido al flujo magnético inducido en el camino de retorno. El movimiento relativo crucial es el del disco y el camino de retorno, no el del disco y el imán. Esto se comprende mejor si se utiliza un disco de Faraday modificado, en el que el camino de retorno no es un cable, sino otro disco. Es decir, se montan dos discos conductores uno al lado del otro sobre el mismo eje, permitiendo que tengan contacto eléctrico deslizante en el centro y en la circunferencia. La corriente será proporcional a la rotación relativa de los dos discos e independiente de cualquier rotación del imán.

Configuración sin ruta de retorno

Un disco de Faraday también puede funcionar sin galvanómetro ni circuito de retorno. Al girar el disco, los electrones se acumulan en el borde, dejando un déficit cerca del eje (o viceversa). En principio, es posible medir la distribución de carga, por ejemplo, mediante la fuerza electromotriz generada entre el borde y el eje (aunque no necesariamente sencillo). Esta separación de carga será proporcional a la velocidad de rotación relativa entre el disco y el imán.

Paradojas en las que la ley de inducción de Faraday parece predecir una fuerza electromotriz (FEM) distinta de cero, pero en realidad predice una FEM de cero.

Estas paradojas generalmente se resuelven determinando que el movimiento aparente del circuito es en realidad la deconstrucción del circuito seguida de la reconstrucción del circuito por una ruta diferente.

Una regla adicional

En el caso de que solo gire el disco, no hay cambio en el flujo a través del circuito; sin embargo, se induce una fuerza electromotriz, lo cual contradice la ley de Faraday. También podemos mostrar un ejemplo en el que hay un cambio en el flujo, pero no se induce voltaje. La figura 5 (cerca de la derecha) muestra el montaje utilizado en el experimento de Tilley. ^{[ 14 ]} Se trata de un circuito con dos mallas o bucles. Hay un galvanómetro conectado en el bucle derecho, un imán en el centro del bucle izquierdo, un interruptor en el bucle izquierdo y un interruptor entre los bucles. Comenzamos con el interruptor izquierdo abierto y el derecho cerrado. Cuando el interruptor izquierdo está cerrado y el derecho abierto, no hay cambio en el campo del imán, pero sí en el área del circuito del galvanómetro. Esto significa que hay un cambio en el flujo. Sin embargo, el galvanómetro no se desvió, lo que significa que no hubo voltaje inducido, y la ley de Faraday no se cumple en este caso. Según AG Kelly, esto sugiere que el voltaje inducido en el experimento de Faraday se debe al "corte" del circuito por las líneas de flujo, y no al "enlace de flujo" ni al cambio real en el flujo. Esto se deduce del experimento de Tilley, ya que no hay movimiento de las líneas de fuerza a través del circuito y, por lo tanto, no se induce corriente, aunque sí hay un cambio en el flujo a través del circuito. Nussbaum sugiere que, para que la ley de Faraday sea válida, debe realizarse trabajo para producir el cambio en el flujo. ^{[ 15 ]} Para comprender esta idea, analizaremos el argumento presentado por Nussbaum. ^{[ 15 ]} Comenzamos calculando la fuerza entre dos conductores que transportan corriente. La fuerza sobre el conductor 1 debida al conductor 2 viene dada por:

\mathbf {F} _{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{C_{1}}\oint _{C_{2}}{\frac {d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \ (d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}

El campo magnético del segundo cable viene dado por:

\mathbf {B} _{2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{2}\oint _{C_{2}}{\frac {(d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}

Entonces podemos reescribir la fuerza sobre el cable 1 como:

\mathbf {F} _{21}=I_{1}\oint _{C_{1}}d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \mathbf {B} _{2}

Ahora consideremos un segmento. $d\mathbf {l}$ de un conductor desplazado $d\mathbf {r}$ en un campo magnético constante. El trabajo realizado se obtiene a partir de:

dW=d\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}

Si conectamos lo que encontramos previamente para $d\mathbf {F}$ obtenemos:

dW=(Id\mathbf {l} \mathbf {\times } \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {r}

El área cubierta por el desplazamiento del conductor es:

d\mathbf {S} =d\mathbf {r} \mathbf {\times } d\mathbf {l}

Por lo tanto:

dW=I\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =Id\Phi _{B}

El trabajo diferencial también se puede expresar en términos de carga. $dq$ y diferencia potencial $V$ :

dW=Vdq=VIdt

Igualando las dos ecuaciones para el trabajo diferencial, llegamos a la Ley de Faraday.

d\Phi _{B}=Vdt

Además, ahora vemos que esto solo es cierto si $dW$ no es evanescente. Es decir, la Ley de Faraday solo es válida si se realiza trabajo para producir el cambio en el flujo.

Una forma matemática de validar la Ley de Faraday en este tipo de situaciones es generalizar la definición de FEM como en la demostración de la ley de inducción de Faraday :

\mathrm {EMF} =\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}

El galvanómetro generalmente solo mide el primer término de la fuerza electromotriz (FEM), que contribuye a la corriente en el circuito, aunque a veces puede medir la incorporación del segundo término, como cuando este contribuye a parte de la corriente que el galvanómetro mide como FEM de movimiento, por ejemplo, en el experimento del disco de Faraday. En la situación anterior, el primer término es cero y solo este conduce a una corriente que el galvanómetro mide, por lo que no hay voltaje inducido. Sin embargo, la Ley de Faraday sigue siendo válida, ya que el cambio aparente del flujo magnético se dirige al segundo término en la generalización anterior de la FEM. Pero este no es medido por el galvanómetro. Recuerda $\mathbf {v}$ es la velocidad local de un punto en el circuito, no de un portador de carga. Después de todo, ambas/todas estas situaciones son consistentes con la preocupación por la relatividad y la microestructura de la materia, y/o la completitud de la ecuación de Maxwell y la fórmula de Lorentz, o la combinación de ellas, la mecánica hamiltoniana .

Véase también

Referencias

↑ Crooks, MJ; Litvin, DB; Matthews, PW; Macaulay, R.; Shaw, J. (1978-07-01). "Generador de Faraday de una sola pieza: un experimento paradójico de 1851" (PDF) . Universidad Estatal de Pensilvania .
↑ "Ley de Faraday, que establece que la fuerza electromotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio temporal del flujo magnético encerrado por dicha trayectoria". Jordan, Edward; Balmain, Keith G. (1968). Ondas electromagnéticas y sistemas radiantes (2.ª ed.). Prentice-Hall. pág. 100.
↑ "El flujo magnético es aquel flujo que atraviesa cualquier superficie cuyo perímetro es el camino cerrado" . Hayt, William (1989). Electromagnetismo para ingenieros (5.ª ed.). McGraw-Hill. pág . 312. ISBN 0-07-027406-1.
↑ «La regla del flujo» es la terminología que Feynman utiliza para referirse a la ley que relaciona el flujo magnético con la fuerza electromotriz (FEM). Richard Phillips Feynman, Leighton RB y Sands ML (2006). The Feynman Lectures on Physics . San Francisco: Pearson/Addison-Wesley. Vol. II, pp. 17–2. ISBN 0-8053-9049-9.
↑ Davison, ME (1973). "Una prueba sencilla de que la ley de la fuerza de Lorentz implica la ley de inducción de Faraday cuando B es independiente del tiempo". American Journal of Physics . 41 (5): 713. Bibcode : 1973AmJPh..41..713D . doi : 10.1119/1.1987339 .
↑ Física teórica básica: una visión general concisa, de Krey y Owen, pág. 155, enlace a Google Libros
↑ K. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, 5.ª edición, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlín 1973, ecuación 20, página 47
↑ Roger F. Harrington (2003). Introducción a la ingeniería electromagnética . Mineola, NY: Dover Publications. pág. 56. ISBN 0-486-43241-6.
↑ "Página 362 de la Lección de Electrodinámica, Vol. |||" . 1952.
↑ AG Kelly, Monografías 5 y 6 de la Institución de Ingenieros de Irlanda, 1998, ISBN 1-898012-37-3{{isbn}}: errores de ISBN ignorados ( enlace ) e ISBN 1-898012-42-3]
↑ Véase Jackson página 2. El libro enumera las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell y luego afirma: "También es esencial para la consideración del movimiento de partículas cargadas la ecuación de la fuerza de Lorentz, F = q ( E + v × B ), que da la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en presencia de campos electromagnéticos".
1 2 Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.) . Prentice Hall. págs. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X.
↑ Véase, por ejemplo, MNO Sadiku (2007). Elementos de electromagnetismo (Cuarta ed.). Nueva York/Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. pp. §9.2 pp. 386 y ss. ISBN 978-0-19-530048-2.
^ Tilley, DE, soy. J. Física. 36, 458 (1968)
1 2 Nussbaum, A., "Paradojas de la Ley de Faraday", http://www.iop.org/EJ/article/0031-9120/7/4/006/pev7i4p231.pdf?request-id=49fbce3f-dbc4-4d6c-98e9-8258814e6c30

Lecturas adicionales

Michael Faraday, Investigaciones experimentales en electricidad, Vol. I, Primera serie, 1831 en Grandes libros del mundo occidental, Vol. 45, RM Hutchins, ed., Encyclopædia Britannica, Inc., Universidad de Chicago, 1952.
Inducción electromagnética: Cómo la "regla del flujo" ha reemplazado la ley general de Maxwell por Giuseppe Giuliani – Una ley para la inducción electromagnética utilizando el potencial vectorial
"Dínamo eléctrica homopolar" : contiene la derivación de la ecuación para la fuerza electromotriz de un disco de Faraday.
Columna de Don Lancaster, "Reflexiones Tecnológicas", febrero de 1998 : sobre las ineficiencias prácticas del disco de Faraday.
"El enigma final de Faraday: ¿Gira el campo magnético con un imán?" (PDF) – una teoría poco convencional, pero que contiene referencias útiles a los experimentos de Faraday.
PJ Scanlon, RN Henriksen y JR Allen, "Enfoques de la inducción electromagnética", Am. J. Phys. 37, 698–708 (1969). – describe cómo aplicar la ley de Faraday al disco de Faraday
Jorge Guala-Valverde, Pedro Mazzoni, Ricardo Achilles "El motor homopolar: un verdadero motor relativista," Am. J. Phys. 70 (10), 1052–1055 (octubre de 2002). – argumenta que solo la fuerza de Lorentz puede explicar el disco de Faraday y describe algunas evidencias experimentales para esto
Frank Munley, Desafíos a la regla de flujo de Faraday, Am. J. Phys. 72, 1478 (2004). – una discusión actualizada de los conceptos en la referencia de Scanlon anterior.
Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands, "Las Lecciones de Física de Feynman, Volumen II", Capítulo 17 – Además de la "paradoja" de Faraday (donde el flujo magnético no cambia, pero se induce una fuerza electromotriz), describe el experimento de las "placas oscilantes", donde el flujo magnético cambia, pero no se induce ninguna fuerza electromotriz. Demuestra que la física correcta siempre viene dada por la combinación de la fuerza de Lorentz con la ecuación de Maxwell-Faraday (véase el recuadro de citas) y plantea estas dos "paradojas" propias.

[1] Crooks, MJ; Litvin, DB; Matthews, PW; Macaulay, R.; Shaw, J. (1978-07-01). "Generador de Faraday de una sola pieza: un experimento paradójico de 1851" (PDF) . Universidad Estatal de Pensilvania .

[Jordan_&_Balmain_(1968)-2] "Ley de Faraday, que establece que la fuerza electromotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual al negativo de la tasa de cambio temporal del flujo magnético encerrado por dicha trayectoria". Jordan, Edward; Balmain, Keith G. (1968). Ondas electromagnéticas y sistemas radiantes (2.ª ed.). Prentice-Hall. pág. 100.

[Hayt_(1989)-3] "El flujo magnético es aquel flujo que atraviesa cualquier superficie cuyo perímetro es el camino cerrado" . Hayt, William (1989). Electromagnetismo para ingenieros (5.ª ed.). McGraw-Hill. pág . 312. ISBN 0-07-027406-1.

[Feynman-4] «La regla del flujo» es la terminología que Feynman utiliza para referirse a la ley que relaciona el flujo magnético con la fuerza electromotriz (FEM). Richard Phillips Feynman, Leighton RB y Sands ML (2006). The Feynman Lectures on Physics . San Francisco: Pearson/Addison-Wesley. Vol. II, pp. 17–2. ISBN 0-8053-9049-9.

[Davison-5] Davison, ME (1973). "Una prueba sencilla de que la ley de la fuerza de Lorentz implica la ley de inducción de Faraday cuando B es independiente del tiempo". American Journal of Physics . 41 (5): 713. Bibcode : 1973AmJPh..41..713D . doi : 10.1119/1.1987339 .

[Krey-6] Física teórica básica: una visión general concisa, de Krey y Owen, pág. 155, enlace a Google Libros

[7] K. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, 5.ª edición, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlín 1973, ecuación 20, página 47

[Harrington-8] Roger F. Harrington (2003). Introducción a la ingeniería electromagnética . Mineola, NY: Dover Publications. pág. 56. ISBN 0-486-43241-6.

[9] "Página 362 de la Lección de Electrodinámica, Vol. |||" . 1952.

[10] AG Kelly, Monografías 5 y 6 de la Institución de Ingenieros de Irlanda, 1998, ISBN 1-898012-37-3{{isbn}}: errores de ISBN ignorados ( enlace ) e ISBN 1-898012-42-3]

[Jackson2-11] Véase Jackson página 2. El libro enumera las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell y luego afirma: "También es esencial para la consideración del movimiento de partículas cargadas la ecuación de la fuerza de Lorentz, F = q ( E + v × B ), que da la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en presencia de campos electromagnéticos".

[Griffiths-12] 1 2 Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.) . Prentice Hall. págs. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X.

[13] Véase, por ejemplo, MNO Sadiku (2007). Elementos de electromagnetismo (Cuarta ed.). Nueva York/Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. pp. §9.2 pp. 386 y ss. ISBN 978-0-19-530048-2.

[14] Tilley, DE, soy. J. Física. 36, 458 (1968)

[Nussbaum-15] 1 2 Nussbaum, A., "Paradojas de la Ley de Faraday", http://www.iop.org/EJ/article/0031-9120/7/4/006/pev7i4p231.pdf?request-id=49fbce3f-dbc4-4d6c-98e9-8258814e6c30

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