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Filtro Kalman rápido

El filtro rápido de Kalman (FKF) , ideado por Antti Lange (nacido en 1941), es una extensión del método de bloqueo de Helmert-Wolf [1] (HWB) de la geodesia a las aplicaciones en...

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El filtro rápido de Kalman (FKF) , ideado por Antti Lange (nacido en 1941), es una extensión del método de bloqueo de Helmert-Wolf [1] (HWB) de la geodesia a las aplicaciones en tiempo real críticas para la seguridad del filtrado de Kalman (KF), como la navegación GNSS hasta el nivel de precisión centimétrica y la obtención de imágenes satelitales de la Tierra, incluida la tomografía atmosférica.

Motivación

Los filtros de Kalman son una técnica de filtrado importante para incorporar tolerancia a fallos en una amplia gama de sistemas, incluida la generación de imágenes en tiempo real. El filtro de Kalman ordinario es un algoritmo de filtrado óptimo para sistemas lineales. Sin embargo, un filtro de Kalman óptimo no es estable (es decir, confiable) si las condiciones de observabilidad y controlabilidad de Kalman no se satisfacen continuamente. [2] Estas condiciones son muy difíciles de mantener para cualquier sistema más grande. Esto significa que incluso los filtros de Kalman óptimos pueden comenzar a divergir hacia soluciones falsas. Afortunadamente, la estabilidad de un filtro de Kalman óptimo se puede controlar monitoreando sus variaciones de error si solo estas se pueden estimar de manera confiable (por ejemplo, mediante MINQUE ). Sin embargo, su cálculo preciso es mucho más exigente que el filtrado de Kalman óptimo en sí. El método de cálculo FKF a menudo proporciona la aceleración requerida también a este respecto.

Calibración óptima

Los parámetros de calibración son un ejemplo típico de aquellos parámetros de estado que pueden crear serios problemas de observabilidad si un filtro de Kalman utiliza continuamente una ventana estrecha de datos (es decir, muy pocas mediciones). [3] Los instrumentos de observación a bordo de satélites en órbita ofrecen un ejemplo de filtrado de Kalman óptimo donde su calibración se realiza indirectamente en tierra. [4] También pueden existir otros parámetros de estado que sean difícilmente o nada observables si se procesan muestras de datos demasiado pequeñas a la vez mediante cualquier tipo de filtro de Kalman.

Problema inverso

La carga computacional del problema inverso de una recursión de Kalman ordinaria [5] es aproximadamente proporcional al cubo del número de mediciones procesadas simultáneamente. Este número siempre se puede establecer en 1 procesando cada medición escalar de forma independiente y (si es necesario) realizando un algoritmo de prefiltrado simple para descorrelacionar estas mediciones. Sin embargo, para cualquier sistema grande y complejo, este prefiltrado puede necesitar el cálculo de HWB. Cualquier uso continuado de una ventana demasiado estrecha de datos de entrada debilita la observabilidad de los parámetros de calibración y, a largo plazo, esto puede conducir a serios problemas de controlabilidad totalmente inaceptables en aplicaciones críticas para la seguridad.

Incluso cuando se procesan muchas mediciones simultáneamente, no es inusual que el sistema de ecuaciones linealizado se vuelva disperso, porque algunas mediciones resultan ser independientes de algunos parámetros de estado o calibración. En problemas de geodesia satelital, [6] la carga computacional del método HWB (y FKF) es aproximadamente proporcional al cuadrado del número total de parámetros de estado y calibración solamente y no de las mediciones que son miles de millones.

Solución confiable

Un filtrado de Kalman fiable y operativo requiere una fusión continua de datos en tiempo real. Su optimalidad depende esencialmente del uso de varianzas y covarianzas exactas entre todas las mediciones y los parámetros de estado y calibración estimados. Esta gran matriz de covarianza de error se obtiene por inversión de matriz a partir del respectivo sistema de ecuaciones normales . [7] Su matriz de coeficientes suele ser dispersa y la solución exacta de todos los parámetros estimados se puede calcular utilizando el método HWB (y FKF). [7] La ​​solución óptima también se puede obtener por eliminación de Gauss utilizando otras técnicas de matriz dispersa o algunos métodos iterativos basados, por ejemplo, en el cálculo variacional . Sin embargo, estos últimos métodos pueden resolver la gran matriz de todas las varianzas y covarianzas de error solo de forma aproximada y la fusión de datos no se realizaría de forma estrictamente óptima. En consecuencia, la estabilidad a largo plazo del filtrado de Kalman se vuelve incierta incluso si las condiciones de observabilidad y controlabilidad de Kalman se cumplieran de forma permanente.

Descripción

El filtro de Kalman rápido se aplica sólo a sistemas con matrices dispersas, [8] ya que HWB es un método de inversión para resolver ecuaciones lineales dispersas (Wolf, 1978).

La matriz de coeficientes dispersos que se va a invertir puede tener a menudo una estructura de bloque o de banda diagonal (BBD) con bordes. Si es de banda diagonal, se puede transformar en una forma de bloque diagonal, por ejemplo, mediante un análisis de correlación canónica generalizado (gCCA) .

Una matriz tan grande se puede invertir de manera más efectiva en forma de bloques utilizando la siguiente fórmula de inversión analítica :

[ A B do D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B ( D − do A − 1 B ) − 1 do A − 1 − A − 1 B ( D − do A − 1 B ) − 1 − ( D − do A − 1 B ) − 1 do A − 1 ( D − do A − 1 B ) − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^ {-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^ {-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}

de Frobenius donde

A = {\estilo de visualización A=} una matriz diagonal de bloques o bandas (BD) grande que se pueda invertir fácilmente, y
( D − do A − 1 B ) = {\displaystyle (D-CA^{-1}B)=} una matriz mucho más pequeña llamada complemento de Schur de . A {\estilo de visualización A}

Este es el método FKF que puede hacer posible computacionalmente estimar una cantidad mucho mayor de parámetros de estado y calibración de lo que puede hacer una recursión de Kalman ordinaria. Sus precisiones operativas también pueden estimarse de manera confiable a partir de la teoría de la Estimación Insesgada Cuadrática de Norma Mínima ( MINQUE ) de CR Rao y usarse para controlar la estabilidad de este filtrado de Kalman rápido óptimo. [9]

Aplicaciones

El método FKF extiende las altísimas precisiones de la geodesia satelital a la topografía cinemática en tiempo real (RTK) con estaciones de referencia virtuales (VRS), el posicionamiento móvil y la navegación ultra confiable. [10] Las primeras aplicaciones importantes serán la calibración óptima en tiempo real de los sistemas de observación global en meteorología, [11] geofísica, astronomía, etc.

Por ejemplo, un sistema de predicción numérica del tiempo (NWP) puede ahora pronosticar observaciones con intervalos de confianza y, de esta manera, mejorar su control de calidad operativa. Un aumento repentino de la incertidumbre en la predicción de observaciones indicaría que faltan observaciones importantes (problema de observabilidad) o que se está produciendo un cambio impredecible del tiempo (problema de controlabilidad). La teledetección y la obtención de imágenes por satélite se basan en parte en información pronosticada. El control de la estabilidad de la retroalimentación entre estas previsiones y las imágenes de satélite requiere una técnica de fusión de sensores que sea a la vez rápida y robusta, algo que el FKF cumple.

La ventaja computacional de FKF es marginal para aplicaciones que utilizan solo pequeñas cantidades de datos en tiempo real. Por lo tanto, primero se deben desarrollar infraestructuras de comunicación de datos y calibración integradas mejoradas y ponerlas a disposición del público antes de que los dispositivos personales y los dispositivos de máquina a máquina puedan aprovechar al máximo FKF.

Referencias

  1. ^ Realización de ajustes combinados [Documentación del software GPScom] (Informe técnico). División de investigación en geociencias de la NOAA.
  2. ^ Kalman, Rudolf (1960). "Un nuevo enfoque para problemas de filtrado y predicción lineal". Journal of Basic Engineering . 82 (1): 34–45. doi :10.1115/1.3662552.
  3. ^ Lange, Antti (2008). "Calibración estadística de sistemas de observación" (PDF) . Contribuciones del Instituto Meteorológico Finlandés . 22 : 34–45.
  4. ^ Jacobsson, B; Nylund, M; Olssoon, T; Vandermarcq, O; Vinterhav, E (2001). Calibración del sistema de seguimiento de estrellas y giroscopio y reconstrucción de la actitud del satélite científico Odin: resultados en vuelo (PDF) (informe). Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2007.
  5. ^ Lange, Antti (2008). "Calibración estadística de sistemas de observación" (PDF) . Contribuciones del Instituto Meteorológico Finlandés . 22 : 12–13.
  6. ^ Brockman, Elmar (1997). «Combinación de Soluciones para Aplicaciones Geodésicas y Geodinámicas del Sistema de Posicionamiento Global (GPS)» (PDF) . Geodaetisch-geophysikalische Arbeiten in der Schweiz (en alemán suizo). 55 .
  7. ^ ab Strange, Gilbert; Borre, Borre (1997). Álgebra lineal, geodesia y GPS . Wellesley-Cambridge Press. págs. 507–508. ISBN 978-0961408862.
  8. ^ Lange, Antti (2001). "Calibración estadística simultánea de las mediciones de retardo de la señal GPS con datos meteorológicos relacionados". Física y química de la Tierra, parte A: Tierra sólida y geodesia . 26 (6–8). Ámsterdam: Elsevier Science: 471–473. doi :10.1016/S1464-1895(01)00086-2. ISSN  1464-1895.
  9. ^ Lange, Antti (9 de octubre de 2015). Uso del bloqueo de Helmert-Wolf para el diagnóstico y tratamiento de errores GNSS (PDF) (Informe). Burdeos: 22.º Congreso Mundial ITS. Documento técnico ITS-1636.
  10. ^ Lange, Antti (15 de octubre de 2003). Filtrado Kalman óptimo para un seguimiento ultrafiable (PDF) . Teledetección atmosférica mediante sistemas de navegación por satélite. Matera, Italia.
  11. ^ Lange, Antti (1988). Andrez J. Osiadacz (ed.). Un filtro de paso alto para la calibración óptima de sistemas de observación con aplicaciones (PDF) . Simulación y optimización de sistemas grandes. Oxford: Oxford University Press/Clarendon Press. pp. 311–327.
  • BBD - software
  • FKF - fórmulas
  • Fórmulas de HWB
  • Matriz de covarianza de errores de FKF: fórmulas
  • Existen otros algoritmos rápidos de Kalman diseñados para fines especiales de procesamiento de señales, consulte, por ejemplo, Estabilización de los algoritmos rápidos de Kalman en IEEE Xplore.
  • Recetas de filtros Kalman para el procesamiento de imágenes en tiempo real
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