El lema de Fatou

En matemáticas , el lema de Fatou establece una desigualdad que relaciona la integral de Lebesgue del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de las integrales de estas funciones. El lema recibe su nombre de Pierre Fatou .

El lema de Fatou se puede utilizar para demostrar el teorema de Fatou-Lebesgue y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue .

Declaración estándar

En lo que sigue, denota el -álgebra de conjuntos de Borel en . $\operatorname {\mathcal {B}} _ {{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ ${\estilo de visualización \sigma}$ $[0,+\infty ]$

Teorema — Lema de Fatou. Dado un espacio de medida y un conjunto sea una sucesión de funciones no negativas -medibles . Defina la función por para cada . Entonces es -medible, y $(\Omega,{\mathcal {F}},\mu)$ $X\en {\mathcal {F}},$ $Estilo de visualización: f_{n}$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _ {{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$ $f_{n}:X\to [0,+\infty ]$ $f:X\to [0,+\infty ]$ $f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),$ $x\en X$ ${\estilo de visualización f}$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _ {{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$

\int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,

donde las integrales y el Límite inferior pueden ser infinitos .

El lema de Fatou sigue siendo cierto si sus supuestos se cumplen -casi en todas partes-. En otras palabras, basta con que exista un conjunto nulo tal que los valores no sean negativos para cada Para ver esto, observe que las integrales que aparecen en el lema de Fatou no cambian si cambiamos cada función en . ${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización N}$ $Estilo de visualización: f(x)$ ${x\en X\setminus N}.$ ${\estilo de visualización N}$

Prueba

El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótona , pero este último puede utilizarse para proporcionar una demostración rápida y natural. Más adelante se ofrece una demostración directamente a partir de las definiciones de integrales.

A través del teorema de convergencia monótona

Sea . Entonces: $\textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)$

La secuencia es puntualmente no decreciente en cualquier $x$ y $Estilo de visualización \{g_{n}(x)\}_{n}}$
$estilo de visualización g_{n}\leq f_{n}}$ , . $\paratodos n\en \mathbb {N}$

Desde

f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)

,

y la infima y la suprema de las funciones mensurables son mensurables vemos que es medible. ${\estilo de visualización f}$

Por el Teorema de Convergencia Monótona y la propiedad (1), la suma y la integral pueden intercambiarse:

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}

donde el último paso utilizó la propiedad (2).

De los "primeros principios"

Para demostrar que el teorema de convergencia monótona no está "oculto", la prueba a continuación no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí y el hecho de que las funciones y son medibles. ${\estilo de visualización f}$ $Estilo de visualización g_{n}$

Denotamos por el conjunto de funciones simples -medibles tales que en . $\operatorname {SF} (f)$ $({\mathcal {F}},\nombre del operador {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ $s:X\to [0,\infty )$ $0\leq s\leq f$ ${\estilo de visualización X}$

Monotonía —

Si en todas partes entonces $f\leq g$ ${\estilo de visualización X,}$

\int_{X}f\,d\mu \leq \int_{X}g\,d\mu .

Si y entonces $X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}$ $X_{1}\subseteq X_{2},$

\int_{X_{1}}f\,d\mu \leq \int_{X_{2}}f\,d\mu .

Si $f$ es no negativo y , donde es una cadena no decreciente de conjuntos -medibles, entonces $S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}$ $S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S$ ${\estilo de visualización \mu}$

\int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

Prueba

1. Ya que tenemos $f\leq g,$

\nombre_operador {SF} (f)\subseteq \nombre_operador {SF} (g).

Por definición de la integral de Lebesgue y las propiedades del supremo,

\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .

2. Sea la función indicadora del conjunto Se puede deducir de la definición de integral de Lebesgue que ${\mathbf {1} }_{X_{1}}$ $X_{1}.$

\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu

si observamos que, para todo fuera de Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad implica $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ $X_{1}.$ $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$

\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

3. Nótese en primer lugar que la afirmación es válida si $f$ es la función indicadora de un conjunto, por monotonía de medidas . Por linealidad, esto también implica inmediatamente la afirmación para funciones simples.

Dado que cualquier función simple soportada en $S n$ es simple y soportada en $X$ , debemos tener

\int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

.

Para el caso inverso, supongamos que $g \in SF(f)$ con Por lo anterior, $\textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }$

\int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

Ahora nos dirigimos al teorema principal.

Paso 1 — es -medible, para cada , como es . $g_{n}=g_{n}(x)$ $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ $n\geq 1$ $f$

Prueba

Recordemos que los intervalos cerrados generan el álgebra $σ$ de Borel . Por lo tanto, basta con demostrar, para cada , que . Ahora observemos que $t\in [-\infty ,+\infty ]$ $g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}$

{\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}

Todo conjunto del lado derecho es de , que es cerrado bajo intersecciones contables. Por lo tanto, el lado izquierdo también es miembro de . ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

De manera similar, basta con verificar que , para cada . Como la sucesión no decrece puntualmente, $f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}$ $t\in [-\infty ,+\infty ]$ $\{g_{n}(x)\}$

f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}

.

Paso 2 : Dada una función simple y un número real , defina $s\in \operatorname {SF} (f)$ $t\in (0,1)$

B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.

Entonces , , y . $B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}$ $B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}$ $\textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}$

Prueba

Paso 2a. Para demostrar la primera afirmación, escriba $s$ como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos disjuntos :

s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}

.

Entonces

B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}

.

Dado que la preimagen del conjunto de Borel bajo la función medible es medible, y las -álgebras son cerradas bajo intersecciones y uniones finitas, se sigue la primera afirmación. $g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}$ $[t\cdot c_{i},+\infty ]$ $g_{k}$ $\sigma$

Paso 2b. Para probar la segunda afirmación, observe que, para cada uno de , $k$ $x\in X$ $g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).$

Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, supongamos que existe una contradicción

x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})

Entonces , para cada . Tomando el límite como , $g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})$ $k$ $k\to \infty$

f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).

Esto contradice nuestra suposición inicial de que . $s\leq f$

Paso 3 — Del paso 2 y la monotonía,

\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .

Paso 4 — Para cada , $s\in \operatorname {SF} (f)$

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

.

Prueba

De hecho, utilizando la definición de , la no negatividad de y la monotonía de la integral de Lebesgue, tenemos $B_{k}^{s,t}$ $g_{k}$

\forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu

.

De acuerdo con el Paso 4, a medida que la desigualdad se vuelve $k\to \infty$

t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

.

Tomando el límite como rendimiento $t\uparrow 1$

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

,

según sea necesario.

Paso 5 — Para completar la prueba, aplicamos la definición de integral de Lebesgue a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tenemos en cuenta que : $g_{n}\leq f_{n}$

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}

La prueba está completa.

Ejemplos de desigualdad estricta

Equipar el espacio con el σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue . $S$

Ejemplo de un espacio de probabilidad : Sea el intervalo unitario . Para cada número natural defina $S=[0,1]$ $n$

f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Ejemplo con convergencia uniforme : Sea el conjunto de todos los números reales . Definir $S$

f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Estas secuencias convergen puntualmente (respectivamente de manera uniforme) a la función cero (con integral cero), pero cada una tiene integral uno. $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $S$ $f_{n}$

El papel de la no negatividad

Una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia f ₁ , f ₂ , . . . de funciones es necesaria para el lema de Fatou, como lo muestra el siguiente ejemplo. Sea S la semirrecta [0,∞) con la σ-álgebra de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n definamos

f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Esta secuencia converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para cada x ≥ 0, si $n > x$ , entonces f _n ( x ) = 0. Sin embargo, toda función f _n tiene integral −1. Contrariamente al lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).

Como se analiza en el § Extensiones y variaciones del lema de Fatou más adelante, el problema es que no existe un límite integrable uniforme en la secuencia desde abajo, mientras que 0 es el límite uniforme desde arriba.

Lema de Fatou inverso

Sea f ₁ , f ₂ , . . . una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que f _n ≤ g para todo n , entonces

\limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .

Nota: Aquí g integrable significa que g es medible y que . $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$

Bosquejo de la prueba

Aplicamos la linealidad de la integral de Lebesgue y el lema de Fatou a la secuencia. Dado que esta secuencia está definida -casi en todas partes- y no es negativa. $g-f_{n}.$ $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,$ $\mu$

Extensiones y variaciones del lema de Fatou

Límite inferior integrable

Sea f ₁ , f ₂ , . . . una secuencia de funciones reales medibles extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable g en S tal que f _n ≥ − g para todo n , entonces

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

Prueba

Aplicar el lema de Fatou a la secuencia no negativa dada por f _n + g .

Convergencia puntual

Si en la configuración anterior la secuencia f ₁ , f ₂ , . . . converge puntualmente a una función f μ - casi en todas partes en S , entonces

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.

Prueba

Nótese que f tiene que concordar con el límite inferior de las funciones f _n casi en todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no tienen influencia en el valor de la integral.

Convergencia en la medida

La última afirmación también es válida si la secuencia f ₁ , f ₂ , . . . converge en medida a una función f .

Prueba

Existe una subsecuencia tal que

\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

Como esta subsecuencia también converge en medida a f , existe otra subsecuencia que converge puntualmente a f casi en todas partes, por lo que la variación anterior del lema de Fatou es aplicable a esta subsubsecuencia.

Lema de Fatou con medidas variables

En todos los enunciados anteriores del Lema de Fatou, la integración se llevó a cabo con respecto a una única medida fija μ. Supongamos que μ _n es una secuencia de medidas en el espacio medible ( S , Σ ) tal que (véase Convergencia de medidas )

\forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)

.

Entonces, con f _n funciones integrables no negativas y f siendo su límite puntual inferior, tenemos

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.

Lema de Fatou para expectativas condicionales

En teoría de la probabilidad , mediante un cambio de notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias X ₁ , X ₂ , . . . definidas en un espacio de probabilidad ; las integrales se convierten en expectativas . Además, también existe una versión para expectativas condicionales . $\scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$

Versión estándar

Sea X ₁ , X ₂ , . . . una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad y sea una sub- σ-álgebra . Entonces $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi seguro .

Nota: La expectativa condicional para variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no es necesaria la expectativa finita.

Prueba

Aparte de un cambio de notación, la prueba es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou anterior, sin embargo se debe aplicar el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales .

Sea X el límite inferior de X _n . Para cada número natural k definamos puntualmente la variable aleatoria

Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.

Entonces la secuencia Y ₁ , Y ₂ , . . . es creciente y converge puntualmente a X . Para k ≤ n , tenemos Y _k ≤ X _n , de modo que

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi seguro

por la monotonía de la expectativa condicional , por lo tanto

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi seguro,

porque la unión numerable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es nuevamente un conjunto nulo . Utilizando la definición de X , su representación como límite puntual de Y _k , el teorema de convergencia monótona para expectativas condicionales, la última desigualdad y la definición del límite inferior, se deduce que casi con seguridad

{\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}

Extensión a partes negativas uniformemente integrables

Sea X ₁ , X ₂ , . . . una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad y sea una sub- σ-álgebra . Si las partes negativas $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$

X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },

son uniformemente integrables respecto de la expectativa condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe una c > 0 tal que

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}

,

entonces

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

Casi seguro.

Nota: En el set donde

X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}

satisface

\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,

Se considera que el lado izquierdo de la desigualdad es más infinito. La esperanza condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, porque la esperanza condicional de la parte negativa también podría ser más infinito.

Prueba

Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la expectativa condicional, existe un c > 0 tal que

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.

Desde

X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},

donde x ⁺ := max{ x ,0} denota la parte positiva de un x real , la monotonía de la expectativa condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para expectativas condicionales implican

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]

Casi seguro.

Desde

(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},

tenemos

\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon

casi seguro,

por eso

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon

Casi seguro.

Esto implica la afirmación.

Referencias

Carothers, NL (2000). Análisis real . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 321–22. ISBN 0-521-49756-6.
Royden, HL (1988). Análisis real (3.ª ed.). Londres: Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3.
Weir, Alan J. (1973). "Los teoremas de convergencia". Integración y medida de Lebesgue . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.