La identidad trisecante de Fay

En geometría algebraica , la identidad trisecante de Fay es una identidad entre funciones theta de superficies de Riemann introducida por Fay  ( 1973 , capítulo 3, página 34, fórmula 45). La identidad de Fay se cumple para funciones theta de jacobianos de curvas, pero no para funciones theta de variedades abelianas generales .

El nombre "identidad trisecante" se refiere a la interpretación geométrica dada por Mumford (1984 , p. 3.219), quien la utilizó para demostrar que la variedad de Kummer de una superficie de Riemann de género g , dada por la imagen del mapa del jacobiano al espacio proyectivo de dimensión inducido por funciones theta de orden 2, tiene un espacio de trisecantes de 4 dimensiones. ${\displaystyle 2^{g}-1}$

Supongamos que

• ${\displaystyle C}$es una superficie de Riemann compacta
• ${\displaystyle g}$es el género de${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle \theta }$es la función theta de Riemann de , una función de a${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle E}$es una forma principal en${\displaystyle C\times C}$
• ${\displaystyle u}$, , , son puntos de${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle z}$es un elemento de${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$
• ${\displaystyle \omega }$es una 1-forma en con valores en${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}}$

La identidad de Fay afirma que

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(x,v)E(u,y)\theta \left(z+\int _{u}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{v}^{y}\omega \right)\\-&E(x,u)E(v,y)\theta \left(z+\int _{v}^{x}\omega \right)\theta \left(z+\int _{u}^{y}\omega \right)\\=&E(x,y)E(u,v)\theta (z)\theta \left(z+\int _{u+v}^{x+y}\omega \right)\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{u+v}^{x+y}\omega =\int _{u}^{x}\omega +\int _{v}^{y}\omega =\int _{u}^{y}\omega +\int _{v}^{x}\omega \end{aligned}}}$

• Fay, John D. (1973), Funciones Theta en superficies de Riemann , Lecture Notes in Mathematics, vol. 352, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0060090 , ISBN 978-3-540-06517-3, MR  0335789
• Mumford, David (1974), "Variedades de Prym. I", en Ahlfors, Lars V .; Kra, Irwin ; Nirenberg, Louis ; et al. (eds.), Contribuciones al análisis (una colección de artículos dedicados a Lipman Bers) , Boston, MA: Academic Press , pp.  325–350 , ISBN 978-0-12-044850-0, MR  0379510
• Mumford, David (1984), Conferencias Tata sobre theta. II , Progress in Mathematics, vol. 43, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3110-9, MR  0742776