Problema de Fekete

En matemáticas , el problema de Fekete consiste en, dado un número natural N y un número real s ≥ 0, encontrar los puntos x ₁ ,..., x _N en la 2-esfera para los cuales la s -energía, definida por  

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\|x_{i}-x_{j}\|^{-s}}$

para s  >  0 y por

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq N}\log \|x_{i}-x_{j}\|^{-1}}$

Para s  =  0, es mínimo. Para s  >  0, estos puntos se denominan puntos de Fekete s , y para s = 0, puntos de Fekete logarítmicos (véase Saff y Kuijlaars (1997) ). De forma más general, se puede considerar el mismo problema en la esfera d- dimensional, o en una variedad riemanniana (en cuyo caso || x _i − x _j || se reemplaza por la distancia riemanniana entre x _i y x _j ).   

El problema se originó en el artículo de Michael Fekete ( 1923 ) que consideró el caso unidimensional, s = 0, respondiendo a una pregunta de Issai Schur .   

Una versión algorítmica del problema de Fekete es el número 7 en la lista de problemas analizados por Smale (1998) .

• Bendito, E.; Carmona, A.; Encinas, AM; Gesto, JM; Gómez, A.; Mouriño, C.; Sánchez, MT (2009), "Costo computacional del problema de Fekete. I. El método de fuerzas en la 2-esfera", Journal of Computational Physics , 228 (9): 3288– 3306, Bibcode : 2009JCoPh.228.3288B , doi : 10.1016/j.jcp.2009.01.021 , ISSN 0021-9991 , MR 2513833  
• Fekete, M. (1923), "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten" , Mathematische Zeitschrift , 17 (1): 228– 249, doi : 10.1007/BF01504345 , ISSN 0025-5874 , SEÑOR 1544613 , S2CID 186223729   
• Saff, EB ; Kuijlaars, ABJ (1997). "Distribución de muchos puntos en una esfera". Math . Intelligencer . 19 (1): 5– 11. doi : 10.1007/BF03024331 . MR 1439152. S2CID 122562170 .  
• Smale, Stephen (1998), "Problemas matemáticos para el próximo siglo", The Mathematical Intelligencer , 20 (2): 7– 15, doi : 10.1007/BF03025291 , ISSN 0343-6993 , MR 1631413 , S2CID 1331144