Teorema de Fenchel

En geometría diferencial , el teorema de Fenchel es una desigualdad sobre la curvatura absoluta total de una curva espacial cerrada y suave , que establece que siempre es al menos${\displaystyle 2\pi }$. De forma equivalente, la curvatura media es al menos${\displaystyle 2\pi /L}$, dónde${\displaystyle L}$es la longitud de la curva. Las únicas curvas de este tipo cuya curvatura absoluta total es igual a${\displaystyle 2\pi }$y cuya curvatura media es igual a${\displaystyle 2\pi /L}$son las curvas planas convexas . El teorema lleva el nombre de Werner Fenchel , quien lo publicó en 1929.

El teorema de Fenchel se ve mejorado por el teorema de Fáry-Milnor , que dice que si una curva espacial simple, cerrada y suave está anudada de forma no trivial , entonces la curvatura absoluta total es mayor que 4π .

Dada una curva suave cerrada${\displaystyle \alpha$ :[0,L]\to \mathbb {R} ^{3}} con velocidad unitaria, la velocidad${\displaystyle \gamma ={\dot {\alpha }}:[0,L]\to \mathbb {S} ^{2}}$También es una curva suave cerrada (llamada indicatriz tangente ). La curvatura absoluta total es su longitud.${\displaystyle l(\gamma )}$.

La curva${\displaystyle \gamma }$no se encuentra en un hemisferio abierto. Si es así, entonces hay${\displaystyle v\in \mathbb {S} ^{2}}$de tal manera que${\displaystyle \gamma \cdot v>0}$, entonces${\displaystyle \textstyle 0=(\alpha (1)-\alpha (0))\cdot v=\int _{0}^{L}\gamma (t)\cdot v\,\mathrm {d} t>0}$, una contradicción. Esto también demuestra que si${\displaystyle \gamma }$se encuentra en un hemisferio cerrado, entonces${\displaystyle \gamma \cdot v\equiv 0}$, entonces${\displaystyle \alpha }$es una curva plana.

Consideremos un punto${\displaystyle \gamma (T)}$de tal manera que las curvas${\displaystyle \gamma ([0,T])}$y${\displaystyle \gamma ([T,L])}$tienen la misma longitud. Al girar la esfera, podemos suponer${\displaystyle \gamma (0)}$y${\displaystyle \gamma (T)}$son simétricas respecto al eje que pasa por los polos. Según el párrafo anterior, al menos una de las dos curvas${\displaystyle \gamma ([0,T])}$y${\displaystyle \gamma ([T,L])}$Interseca con el ecuador en algún punto.${\displaystyle p}$Denotamos esta curva por${\displaystyle \gamma _{0}}$. Entonces${\displaystyle l(\gamma )=2l(\gamma _{0})}$.

Reflexionamos${\displaystyle \gamma _{0}}$a través del avión a través${\displaystyle \gamma (0)}$,${\displaystyle \gamma (T)}$y el polo norte, formando una curva cerrada${\displaystyle \gamma _{1}}$que contienen puntos antipodales${\displaystyle \pm p}$, con longitud${\displaystyle l(\gamma _{1})=2l(\gamma _{0})}$. Una curva que conecta${\displaystyle \pm p}$tiene longitud al menos${\displaystyle \pi }$, que es la longitud del semicírculo máximo entre${\displaystyle \pm p}$. Entonces${\displaystyle l(\gamma _{1})\geq 2\pi }$y si la igualdad se cumple entonces${\displaystyle \gamma _{0}}$no cruza el ecuador.

Por lo tanto,${\displaystyle l(\gamma )=2l(\gamma _{0})=l(\gamma _{1})\geq 2\pi }$y si la igualdad se cumple entonces${\displaystyle \gamma }$se encuentra en un hemisferio cerrado y, por lo tanto,${\displaystyle \alpha }$es una curva plana.