Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados

Dado un número primo impar${\displaystyle p}$en la forma${\displaystyle 4k+1}$, primero encuentra${\displaystyle x\in \{1,\dots ,{\frac {p-1}{2}}\}}$de tal manera que${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$Esto se puede hacer encontrando un no residuo cuadrático módulo${\displaystyle p}$, decir${\displaystyle q}$y dejar ${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$.

Tal es${\displaystyle x}$satisfará la condición ya que los no residuos cuadráticos satisfacen${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$.

Una vez${\displaystyle x}$una vez determinado, se puede aplicar el algoritmo euclidiano con${\displaystyle p}$y${\displaystyle x}$. Denotemos los dos primeros restos que son menores que la raíz cuadrada de${\displaystyle p}$como${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Entonces sucederá que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$. ^{[ 6 ]}

Llevar${\displaystyle p=97}$. Un posible no residuo cuadrático para 97 es 13, ya que${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$. así que dejamos${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$El algoritmo euclidiano aplicado a 97 y 22 produce: $${\displaystyle 97=22(4)+9,}$$$${\displaystyle 22=9(2)+4,}$$$${\displaystyle 9=4(2)+1,}$$$${\displaystyle 4=1(4).}$$ Los dos primeros restos menores que la raíz cuadrada de 97 son 9 y 4; y de hecho tenemos${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$, como era de esperar.

Euler logró demostrar el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados en 1749, cuando tenía cuarenta y dos años. Se lo comunicó en una carta a Goldbach fechada el 12 de abril de 1749. ^{[ 11 ]} La demostración se basa en el descenso infinito y solo se esboza brevemente en la carta. La demostración completa consta de cinco pasos y se publica en dos artículos. Los primeros cuatro pasos son las Proposiciones 1 a 4 del primer artículo ^{[ 12 ]} y no corresponden exactamente a los cuatro pasos siguientes. El quinto paso que se muestra a continuación proviene del segundo artículo. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Para evitar ambigüedades, el cero siempre será un componente válido de las "sumas de dos cuadrados", de modo que, por ejemplo, cada cuadrado de un número entero se puede expresar fácilmente como la suma de dos cuadrados haciendo que uno de ellos sea cero.

1. El producto de dos números, cada uno de los cuales es suma de dos cuadrados, es también suma de dos cuadrados.

Esta es una propiedad muy conocida, basada en la identidad

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

debido a Diofanto .

2. Si un número que es suma de dos cuadrados es divisible por un número primo que también es suma de dos cuadrados, entonces el cociente es suma de dos cuadrados. (Esta es la primera proposición de Euler).

En efecto, supongamos, por ejemplo, que${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$es divisible por${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$y que este último es un número primo. Entonces${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$divide

${\displaystyle p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2})=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=(pb-aq)(pb+aq).}$

Desde${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$es un número primo, divide a uno de los dos factores. Supongamos que divide${\displaystyle pb-aq}$. Desde

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(La identidad de Diofanto) se deduce que${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$debe dividirse${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$. Por lo tanto, la ecuación se puede dividir por el cuadrado de${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$. Dividiendo la expresión por${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$rendimientos:

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

y así expresa el cociente como una suma de dos cuadrados, como se afirma.

Por otro lado, si${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$divide${\displaystyle pb+aq}$Un argumento similar se sostiene utilizando la siguiente variante de la identidad de Diofanto:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. Si un número que puede escribirse como suma de cuadrados es divisible por un número que no es suma de cuadrados, entonces el cociente tiene un factor que no es suma de cuadrados. (Esta es la segunda proposición de Euler).

Suponer${\displaystyle q}$es un número que no se puede expresar como suma de dos cuadrados, que divide${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Escribe el cociente, factorizado en sus factores primos (posiblemente repetidos), como${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$de modo que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$. Si todos los factores${\displaystyle p_{i}}$se puede escribir como suma de dos cuadrados, entonces podemos dividir${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$sucesivamente por${\displaystyle p_{1}}$,${\displaystyle p_{2}}$, etc., y aplicando el paso (2.) anterior, deducimos que cada cociente sucesivo y más pequeño es una suma de dos cuadrados. Si llegamos hasta el final${\displaystyle q}$entonces${\displaystyle q}$en sí mismo tendría que ser igual a la suma de dos cuadrados, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, al menos uno de los primos${\displaystyle p_{i}}$no es la suma de dos cuadrados.

4. Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son enteros positivos primos relativos entonces cada factor de${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$es la suma de dos cuadrados. (Este es el paso que utiliza el paso (3.) para producir un 'descenso infinito' y fue la Proposición 4 de Euler. La demostración esbozada a continuación también incluye la demostración de su Proposición 3).

Dejar${\displaystyle a,b}$sean enteros positivos primos entre sí : sin pérdida de generalidad${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$no es primo en sí mismo, de lo contrario no hay nada que probar. Dejemos${\displaystyle q}$por lo tanto, sea un factor apropiado de${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$, no necesariamente primo: deseamos demostrar que${\displaystyle q}$es la suma de dos cuadrados. De nuevo, no perdemos nada al suponer${\displaystyle q>2}$ya que el caso${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$Es obvio.

Dejar${\displaystyle m,n}$sean enteros no negativos tales que${\displaystyle mq,nq}$son los múltiplos más cercanos de${\displaystyle q}$(en valor absoluto) a${\displaystyle a,b}$respectivamente. Nótese que las diferencias${\displaystyle c=a-mq}$y${\displaystyle d=b-nq}$son los enteros de valor absoluto estrictamente menores que${\displaystyle q/2}$: de hecho, cuando${\displaystyle q>2}$es par, mcd${\displaystyle (a,q/2)=1}$; de lo contrario, dado que el máximo común divisor${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$También tendríamos mcd${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$.

Al multiplicar obtenemos

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

que define de forma única un número entero no negativo${\displaystyle A}$. Desde${\displaystyle q}$divide ambos extremos de esta secuencia de ecuaciones, por lo que se deduce que${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$también debe ser divisible por${\displaystyle q}$: decir${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$. Dejar${\displaystyle g}$sea ​​el máximo común divisor de${\displaystyle c}$y${\displaystyle d}$que por la coprimacía de${\displaystyle a,b}$es relativamente primordial para${\displaystyle q}$. De este modo${\displaystyle g^{2}}$divide${\displaystyle r}$, así que escribir${\displaystyle e=c/g}$,${\displaystyle f=d/g}$y${\displaystyle s=r/g^{2}}$, obtenemos la expresión${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$para relativamente privilegiados${\displaystyle e}$y${\displaystyle f}$y con${\displaystyle s<q/2}$, desde

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

Ahora, por fin, el paso de descenso : si${\displaystyle q}$Si no es la suma de dos cuadrados, entonces por el paso (3.) debe haber un factor.${\displaystyle q_{1}}$decir de${\displaystyle s}$que no es la suma de dos cuadrados. Pero${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$y así repitiendo estos pasos (inicialmente con${\displaystyle e,f;q_{1}}$en lugar de${\displaystyle a,b;q}$y así sucesivamente hasta el infinito ) podremos encontrar una sucesión infinita estrictamente decreciente.${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$de enteros positivos que no son en sí mismos sumas de dos cuadrados pero que dividen en una suma de dos cuadrados primos entre sí. Dado que tal descenso infinito es imposible, concluimos que${\displaystyle q}$debe poder expresarse como la suma de dos cuadrados, como se afirma.

5. Todo primo de la forma${\displaystyle 4n+1}$es la suma de dos cuadrados. (Este es el resultado principal del segundo artículo de Euler).

Si${\displaystyle p=4n+1}$, entonces por el pequeño teorema de Fermat cada uno de los números${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$es congruente con uno módulo${\displaystyle p}$Las diferencias${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$por lo tanto todos son divisibles por${\displaystyle p}$Cada una de estas diferencias puede ser considerada como

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

Desde${\displaystyle p}$es primo, debe dividir a uno de los dos factores. Si en alguno de los${\displaystyle 4n-1}$casos divide el primer factor, luego por el paso anterior concluimos que${\displaystyle p}$es en sí mismo una suma de dos cuadrados (ya que${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$difieren por${\displaystyle 1}$, son relativamente primos). Por lo tanto, basta con demostrar que${\displaystyle p}$no siempre puede dividir el segundo factor. Si divide todo${\displaystyle 4n-1}$diferencias${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$, entonces dividiría todo${\displaystyle 4n-2}$diferencias de términos sucesivos, todos${\displaystyle 4n-3}$diferencias de las diferencias, y así sucesivamente. Dado que el${\displaystyle k}$diferencias de la secuencia${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$son todos iguales${\displaystyle k!}$( Diferencia finita ), el${\displaystyle 2n}$Las diferencias serían todas constantes e iguales.${\displaystyle (2n)!}$, que ciertamente no es divisible por${\displaystyle p}$. Por lo tanto,${\displaystyle p}$no puede dividir todos los segundos factores lo que prueba que${\displaystyle p}$es efectivamente la suma de dos cuadrados.

Lagrange completó una demostración en 1775 ^{[ 15 ]} basada en su teoría general de formas cuadráticas integrales . La siguiente presentación incorpora una ligera simplificación de su argumento, debida a Gauss , que aparece en el artículo 182 de las Disquisitiones Arithmeticae .

Una forma cuadrática (binaria integral) es una expresión de la forma${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$con${\displaystyle a,b,c}$enteros. Un número${\displaystyle n}$Se dice que está representado por la forma si existen números enteros${\displaystyle x,y}$de tal manera que${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados es entonces equivalente a la afirmación de que un número primo${\displaystyle p}$está representada por la forma${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$(es decir,${\displaystyle a=c=1}$,${\displaystyle b=0}$) exactamente cuando${\displaystyle p}$es congruente con${\displaystyle 1}$módulo${\displaystyle 4}$.

El discriminante de la forma cuadrática se define como${\displaystyle b^{2}-4ac}$. El discriminante de${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$es entonces igual a${\displaystyle -4}$.

Dos formas${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$y${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$son equivalentes si y solo si existen sustituciones con coeficientes enteros

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

con${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$De tal manera que, al sustituirlas en la primera forma, se obtiene la segunda. Se observa fácilmente que las formas equivalentes tienen el mismo discriminante y, por lo tanto, también la misma paridad para el coeficiente central.${\displaystyle b}$lo cual coincide con la paridad del discriminante. Además, es evidente que las formas equivalentes representarán exactamente los mismos números enteros, ya que este tipo de sustituciones pueden revertirse mediante sustituciones del mismo tipo.

Lagrange demostró que todas las formas definidas positivas del discriminante −4 son equivalentes. Por lo tanto, para demostrar el teorema de Fermat basta con encontrar cualquier forma definida positiva del discriminante −4 que represente${\displaystyle p}$Por ejemplo, se puede utilizar un formulario.

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

donde el primer coeficiente a  = ${\displaystyle p}$fue elegido de manera que la forma represente${\displaystyle p}$Al establecer x  =  1 e y  =  0, el coeficiente b  =  2 m es un número par arbitrario (como debe ser, para obtener un discriminante par), y finalmente${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$se elige de modo que el discriminante${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$es igual a −4, lo que garantiza que la forma es efectivamente equivalente a${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Por supuesto, el coeficiente${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$debe ser un número entero, por lo que el problema se reduce a encontrar algún número entero m tal que${\displaystyle p}$divide${\displaystyle m^{2}+1}$: o en otras palabras, una 'raíz cuadrada de -1 módulo'${\displaystyle p}$' .

Afirmamos que tal raíz cuadrada de${\displaystyle -1}$es dado por${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$En primer lugar, del Teorema Fundamental de la Aritmética de Euclides se deduce que:${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$. Como consecuencia,${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$: eso es,${\displaystyle \pm 1}$son sus propios inversos módulo${\displaystyle p}$y esta propiedad es única de ellos. Luego se deduce de la validez de la división euclidiana en los enteros y del hecho de que${\displaystyle p}$es primordial, que para cada${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$el mcd de${\displaystyle a}$y${\displaystyle p}$puede expresarse mediante el algoritmo euclidiano, lo que produce una inversa única y distinta.${\displaystyle a^{-1}\neq a}$de${\displaystyle a}$módulo${\displaystyle p}$. En particular, por lo tanto, el producto de todos los residuos no nulos módulo${\displaystyle p}$es${\displaystyle -1}$. Dejar${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$: de lo que se acaba de observar,${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$. Pero por definición, puesto que cada término en${\displaystyle K}$puede emparejarse con su negativo en${\displaystyle L}$,${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$, que desde${\displaystyle p}$es extraño muestra que${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$, según sea necesario.

Richard Dedekind dio al menos dos demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados, ambas utilizando las propiedades aritméticas de los enteros gaussianos , que son números de la forma a + bi , donde a y b son enteros, e i es la raíz cuadrada de −1. Una aparece en la sección 27 de su exposición de ideales publicada en 1877; la segunda apareció en el Suplemento XI de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y fue publicada en 1894.

1. Primera prueba. Si p es un número primo impar , entonces tenemos${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$en los enteros gaussianos. En consecuencia, escribiendo un entero gaussiano ω = x + iy con x,y ∈ Z y aplicando el endomorfismo de Frobenius en Z [ i ]/( p ), se encuentra

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

puesto que el automorfismo fija los elementos de Z /( p ). En el caso actual,${\displaystyle p=4n+1}$para algún entero n, y por lo tanto en la expresión anterior para ω ^p , el exponente ⁠${\displaystyle (p-1)/2}$⁠ de − 1 es par. Por lo tanto, el lado derecho es igual a ω, así que en este caso el endomorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ) es la identidad.

Kummer ya había establecido que si f ∈ {1,2} es el orden del automorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ), entonces el ideal${\displaystyle (p)}$en Z [ i ] sería un producto de 2/ f ideales primos distintos . (De hecho, Kummer había establecido un resultado mucho más general para cualquier extensión de Z obtenida al adjuntar una raíz m - ésima primitiva de la unidad , donde m era cualquier entero positivo; este es el caso m = 4 de ese resultado). Por lo tanto, el ideal ( p ) es el producto de dos ideales primos diferentes en Z [ i ]. Dado que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano para la función norma${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$, todo ideal es principal y generado por un elemento no nulo del ideal de norma mínima. Dado que la norma es multiplicativa, la norma de un generador${\displaystyle \alpha }$de uno de los factores ideales de ( p ) debe ser un divisor estricto de${\displaystyle N(p)=p^{2}}$, de modo que debemos tener${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$, lo que da lugar al teorema de Fermat.

2. Segunda prueba. Esta prueba se basa en el resultado de Lagrange que establece que si${\displaystyle p=4n+1}$si es un número primo, entonces debe existir un entero m tal que${\displaystyle m^{2}+1}$es divisible por p (también podemos verlo por el criterio de Euler ); también utiliza el hecho de que los enteros gaussianos son un dominio de factorización único (porque son un dominio euclidiano). Dado que p ∈ Z no divide a ninguno de los enteros gaussianos${\displaystyle m+i}$y${\displaystyle m-i}$(ya que no divide sus partes imaginarias ), pero sí divide su producto.${\displaystyle m^{2}+1}$, de ello se deduce que p no puede ser un elemento primo en los enteros gaussianos. Por lo tanto, debemos tener una factorización no trivial de p en los enteros gaussianos, que en vista de la norma solo puede tener dos factores (ya que la norma es multiplicativa y${\displaystyle p^{2}=N(p)}$, solo puede haber hasta dos factores de p), por lo que debe ser de la forma${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$para algunos enteros x e y . Esto produce inmediatamente que${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$.

Para${\displaystyle p}$congruente con${\displaystyle 1}$mod${\displaystyle 4}$un primo,${\displaystyle -1}$es un módulo de residuo cuadrático${\displaystyle p}$por el criterio de Euler . Por lo tanto, existe un entero${\displaystyle m}$de tal manera que${\displaystyle p}$divide${\displaystyle m^{2}+1}$. Dejar${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$sean los elementos base estándar para el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y establecer${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$y${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$Consideremos la red${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$. Si${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$entonces${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$. De este modo${\displaystyle p}$divide${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$para cualquier${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$.

El área del paralelogramo fundamental de la red es${\displaystyle p}$. El área del disco abierto,${\displaystyle D}$, de radio${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$centrado en el origen es${\displaystyle 2\pi p>4p}$. Además,${\displaystyle D}$es convexa y simétrica respecto al origen. Por lo tanto, según el teorema de Minkowski , existe un vector no nulo${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$de tal manera que${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$. Ambos${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$y${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$entonces${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$. Por eso${\displaystyle p}$es la suma de los cuadrados de los componentes de${\displaystyle {\vec {w}}}$.

Dejar${\displaystyle p=4k+1}$ser principal, dejar${\displaystyle \mathbb {N} }$denotemos los números naturales (con o sin cero) y consideremos el conjunto finito.${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$de tríos de números. Entonces${\displaystyle S}$tiene dos involuciones : una obvia${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$cuyos puntos fijos${\displaystyle (x,y,y)}$corresponden a representaciones de${\displaystyle p}$como suma de dos cuadrados, y uno más complicado,

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

que tiene exactamente un punto fijo${\displaystyle (1,1,k)}$Esto demuestra que la cardinalidad de${\displaystyle S}$es extraño. Por lo tanto,${\displaystyle S}$También tiene un punto fijo con respecto a la involución obvia.

Esta demostración, debida a Zagier [ ^{9 ], es} una simplificación de una demostración anterior de Heath-Brown , que a su vez se inspiró en una demostración de Liouville . La técnica de la demostración es un análogo combinatorio del principio topológico que establece que las características de Euler de un espacio topológico con una involución y de su conjunto de puntos fijos tienen la misma paridad, y recuerda el uso de involuciones con cambio de signo en las demostraciones de biyecciones combinatorias.

Esta demostración es equivalente a una demostración geométrica o "visual" que utiliza figuras de "molino de viento", presentada por Alexander Spivak en 2006 y descrita en esta publicación de MathOverflow por Moritz Firsching y en este video de YouTube por Mathologer .

En 2016, A. David Christopher presentó una demostración teórica de particiones al considerar particiones de los números primos impares.${\displaystyle n}$teniendo exactamente dos tamaños${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$, cada uno ocurriendo exactamente${\displaystyle a_{i}}$veces, y demostrando que existe al menos una partición de este tipo si${\displaystyle n}$es congruente con 1 módulo 4. ^{[ 16 ]}