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Articulo de referencia

La regla de oro de Fermi

En física cuántica , la regla de oro de Fermi es una fórmula que describe la tasa de transición (la probabilidad de una transición por unidad de tiempo) desde un autoestado de e...

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En física cuántica , la regla de oro de Fermi es una fórmula que describe la tasa de transición (la probabilidad de una transición por unidad de tiempo) desde un autoestado de energía de un sistema cuántico a un grupo de autoestados de energía en un continuo, como resultado de una perturbación débil . Esta tasa de transición es prácticamente independiente del tiempo (siempre que la intensidad de la perturbación sea independiente del tiempo) y es proporcional a la intensidad del acoplamiento entre los estados inicial y final del sistema (descrito por el cuadrado del elemento de matriz de la perturbación), así como a la densidad de estados . También es aplicable cuando el estado final es discreto, es decir, no forma parte de un continuo, si existe alguna decoherencia en el proceso, como la relajación o la colisión de los átomos, o como el ruido en la perturbación, en cuyo caso la densidad de estados se reemplaza por el recíproco del ancho de banda de decoherencia.

Antecedentes históricos

Aunque la regla lleva el nombre de Enrico Fermi , el primero en obtener la fórmula fue Paul Dirac , [ 1 ] ya que veinte años antes había formulado una ecuación prácticamente idéntica, que incluía los tres componentes de una constante, el elemento de matriz de la perturbación y una diferencia de energía. [ 2 ] Se le dio este nombre porque, debido a su importancia, Fermi la denominó «regla de oro n.º  2». [ 3 ]

La mayoría de los usos del término regla de oro de Fermi se refieren a la "regla de oro n.°  2", pero la "regla de oro n.° 1" de Fermi  tiene una forma similar y considera la probabilidad de transiciones indirectas por unidad de tiempo. [ 4 ]

La tasa y su derivación

La regla de oro de Fermi describe un sistema que comienza en un autoestado.|i⟩{\displaystyle |i\rangle }Se parte de un hamiltoniano no perturbado H₀ y se considera el efecto de un hamiltoniano perturbador H' aplicado al sistema. Si H' es independiente del tiempo, el sistema solo transita a aquellos estados del continuo que tienen la misma energía que el estado inicial. Si H' oscila sinusoidalmente en función del tiempo (es decir, es una perturbación armónica) con una frecuencia angular ω , la transición se produce hacia estados con energías que difieren en ħω de la energía del estado inicial.

En ambos casos, la probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado inicial|i⟩{\displaystyle |i\rangle }a un conjunto de estados finales|F⟩{\displaystyle |f\rangle }es esencialmente constante. Está dada, en primera aproximación, por Γi→F=2πℏ|⟨F|H′|i⟩|2ρ(miF),{\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),} dónde⟨F|H′|i⟩{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }es el elemento de matriz (en notación bra-ket ) de la perturbación H' entre los estados final e inicial, yρ(miF){\displaystyle \rho (E_{f})}es la densidad de estados (número de estados continuos dividido pordmi{\displaystyle dE}en el intervalo de energía infinitesimalmente pequeñomi{\displaystyle E}ami+dmi{\displaystyle E+dE}) en la energíamiF{\displaystyle E_{f}}de los estados finales. Esta probabilidad de transición también se denomina "probabilidad de decaimiento" y está relacionada con el inverso de la vida media . Por lo tanto, la probabilidad de encontrar el sistema en el estado|i⟩{\displaystyle |i\rangle }es proporcional ami−Γi→Ft{\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}.

La forma estándar de derivar la ecuación es comenzar con la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo y tomar el límite para la absorción bajo el supuesto de que el tiempo de la medición es mucho mayor que el tiempo necesario para la transición. [ 5 ] [ 6 ]

Solo la magnitud del elemento de la matriz⟨F|H′|i⟩{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }Entra en la regla de oro de Fermi. Sin embargo, la fase de este elemento de matriz contiene información separada sobre el proceso de transición. Aparece en expresiones que complementan la regla de oro en el enfoque de la ecuación de Boltzmann semiclasica para el transporte de electrones . [ 9 ]

Si bien la regla de oro se enuncia y deriva comúnmente en los términos anteriores, la función de onda del estado final (continuo) a menudo se describe de manera bastante vaga y no se normaliza correctamente (y la normalización se utiliza en la derivación). El problema es que para producir un continuo no puede haber confinamiento espacial (lo que necesariamente discretizaría el espectro) y, por lo tanto, las funciones de onda del continuo deben tener una extensión infinita, y a su vez esto significa que la normalización⟨F|F⟩=∫d3r|F(r)|2{\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}es infinito, no la unidad. Si las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de ningún otro número cuántico , es habitual normalizar las funciones de onda del continuo con la energía.ε{\displaystyle \varepsilon }etiquetado|ε⟩{\displaystyle |\varepsilon \rangle }, escribiendo⟨ε|ε′⟩=δ(ε−ε′){\displaystyle \langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')}dóndeδ{\displaystyle \delta }es la función delta de Dirac , y efectivamente se incluye un factor de la raíz cuadrada de la densidad de estados en|εi⟩{\displaystyle |\varepsilon _{i}\rangle }. [ 10 ] En este caso, la función de onda continua tiene dimensiones de1/[energía]{\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}y la regla de oro es ahora Γi→εi=2πℏ|⟨εi|H′|i⟩|2.{\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.} dóndeεi{\displaystyle \varepsilon _{i}}se refiere al estado continuo con la misma energía que el estado discretoi{\displaystyle i}. Por ejemplo, las funciones de onda continuas correctamente normalizadas para el caso de un electrón libre en las proximidades de un átomo de hidrógeno están disponibles en Bethe y Salpeter. [ 11 ]

Derivación normalizada en la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo

Lo siguiente parafrasea el tratamiento de Cohen-Tannoudji. [ 10 ] Como antes, el hamiltoniano total es la suma de un hamiltoniano "original" H 0 y una perturbación:H=H0+H′{\displaystyle H=H_{0}+H'}Aún podemos expandir la evolución temporal de un estado cuántico arbitrario en términos de los autoestados de energía del sistema no perturbado, pero estos ahora consisten en estados discretos y estados continuos. Suponemos que las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de ningún otro número cuántico. La expansión en los estados relevantes en la representación de Dirac es |ψ(t)⟩=aimi−iωit|i⟩+∫dodεaεmi−iωt|ε⟩,{\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,} dóndeωi=εi/ℏ{\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar },ω=ε/ℏ{\displaystyle \omega =\varepsilon /\hbar }yεi,ε{\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon }son las energías de los estados|i⟩,|ε⟩{\displaystyle |i\rangle ,|\varepsilon \rangle }, respectivamente. La integral se realiza sobre el continuoε∈do{\displaystyle \varepsilon \in C}, es decir|ε⟩{\displaystyle |\varepsilon \rangle }está en el continuo.

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempoH|ψ(t)⟩=iℏ∂∂t|ψ(t)⟩{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle } y premultiplicando por⟨i|{\displaystyle \langle i|}produce dai(t)dt=−i∫dodεΩiεmi−i(ω−ωi)taε(t),{\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),} dóndeΩiε=⟨i|H′|ε⟩/ℏ{\displaystyle \Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar }y premultiplicando por⟨ε′|{\displaystyle \langle \varepsilon '|}produce daε(t)dt=−iΩεimii(ω−ωi)tai(t).{\displaystyle {\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).} Hicimos uso de la normalización⟨ε′|ε⟩=δ(ε′−ε){\displaystyle \langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )}. Integrando lo último y sustituyéndolo en lo primero, dai(t)dt=−∫dodεΩiεΩεi∫0tdt′mi−i(ω−ωi)(t−t′)ai(t′).{\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').} Aquí se puede ver quedai/dt{\displaystyle da_{i}/dt}en ese momentot{\displaystyle t}depende deai{\displaystyle a_{i}}en todos los tiempos anteriorest′{\displaystyle t'}, es decir, no es markoviano . Hacemos la aproximación de Markov, es decir, que solo depende deai{\displaystyle a_{i}}en ese momentot{\displaystyle t}(que es menos restrictivo que la aproximación queai≈1{\displaystyle a_{i}\approx 1}utilizado anteriormente, y permite que la perturbación sea fuerte) dai(t)dt=∫dodε|Ωiε|2ai(t)∫0tdTmi−iΔT,{\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},} dóndeT=t−t′{\displaystyle T=t-t'}yΔ=ω−ωi{\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}Integrando sobreT{\displaystyle T}, dai(t)dt=−2πℏ∫dodε|Ωiε|2ai(t)mi−iΔt/2pecado⁡(Δt/2)πℏΔ,{\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},} La fracción de la derecha es una función delta de Dirac naciente , lo que significa que tiende aδ(ε−εi){\displaystyle \delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})}comot→∞{\displaystyle t\to \infty }(ignorando su parte imaginaria que conduce a un desplazamiento de energía (Lamb) muy pequeño, mientras que la parte real produce desintegración [ 10 ] ). Finalmente dai(t)dt=−2πℏ|Ωiεi|2ai(t),{\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),} que pueden tener soluciones: ai(t)=exp⁡(−Γi→εit/2){\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)}, es decir, la disminución de la población en el estado discreto inicial es PAGi(t)=|ai(t)|2=exp⁡(−Γi→εit){\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)} dónde Γi→εi=2πℏ|Ωiεi|2=2πℏ|⟨i|H′|ε⟩|2.{\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.}

Aplicaciones

Semiconductores

La regla de oro de Fermi se puede utilizar para calcular la tasa de probabilidad de transición de un electrón excitado por un fotón desde la banda de valencia a la banda de conducción en un semiconductor de banda prohibida directa, y también para cuando el electrón se recombina con el hueco y emite un fotón. [ 12 ] Consideremos un fotón de frecuenciaω{\displaystyle \omega }y vector de ondaq{\displaystyle {\textbf {q}}}donde la relación de dispersión de la luz esω=(do/norte)|q|{\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}ynorte{\displaystyle n}es el índice de refracción .

Utilizando el calibre de Coulomb donde∇⋅A=0{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}yV=0{\displaystyle V=0}, el potencial vectorial de la luz viene dado porA=A0εmii(q⋅r−ωt)+do{\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}donde el campo eléctrico resultante es mi=−∂A∂t=iωA0εmii.(q⋅r−ωt).{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.}

Para un electrón en la banda de valencia, el hamiltoniano es H=(pag+miA)22metro0+V(r),{\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),} dóndeV(r){\displaystyle V({\textbf {r}})}es el potencial del cristal,mi{\displaystyle e}ymetro0{\displaystyle m_{0}}son la carga y la masa de un electrón, y pag{\displaystyle {\textbf {p}}}es el operador de momento . Aquí consideramos un proceso que involucra un fotón y de primer orden enA{\displaystyle {\textbf {A}}}. El hamiltoniano resultante es H=H0+H′=[pag22metro0+V(r)]+[mi2metro0(pag⋅A+A⋅pag)],{\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],} dóndeH′{\displaystyle H'}es la perturbación de la luz.

A partir de aquí consideramos la transición de dipolo óptico vertical y, por lo tanto, tenemos una probabilidad de transición basada en la teoría de perturbación dependiente del tiempo que ΓiF=2πℏ|⟨F|H′|i⟩|2δ(miF−mii±ℏω),{\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),} conH′≈miA0metro0ε⋅pag,{\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,} dóndeε{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}es el vector de polarización de la luz. |i⟩{\displaystyle |i\rangle } y|F⟩{\displaystyle |f\rangle } son la función de onda de Bloch de los estados inicial y final. Aquí la probabilidad de transición debe satisfacer la conservación de la energía dada porδ(miF−mii±ℏω){\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}. A partir de la perturbación, resulta evidente que el núcleo del cálculo reside en los elementos de la matriz que se muestran entre paréntesis.

Para los estados inicial y final en las bandas de valencia y conducción, tenemos|i⟩=Ψv,ki,si(r){\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}y|F⟩=Ψdo,kF,sF(r){\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}, respectivamente y si elH′{\displaystyle H'}El operador no actúa sobre el espín, el electrón permanece en el mismo estado de espín y, por lo tanto, podemos escribir la función de onda de Bloch de los estados inicial y final como Ψv,ki(r)=1norteΩ0túnortev,ki(r)miiki⋅r,{\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},}Ψdo,kF(r)=1norteΩ0túnortedo,kF(r)miikF⋅r,{\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},} dóndenorte{\displaystyle N}es el número de celdas unitarias con volumenΩ0{\displaystyle \Omega _{0}}Calculando utilizando estas funciones de onda y centrándonos en la emisión ( fotoluminiscencia ) en lugar de la absorción, llegamos a la tasa de transición. Γdov=2πℏ(miA0metro0)2|ε⋅μdov(k)|2δ(mido−miv−ℏω),{\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),} dóndeμdov{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}definido como el momento dipolar de transición óptica es cualitativamente el valor esperado⟨do|(cargar)×(distancia)|v⟩{\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }y en esta situación toma la forma μdov=−iℏΩ0∫Ω0dr′túnortedo,k∗(r′)∇túnortev,k(r′).{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').}

Finalmente, queremos conocer la tasa de transición total.Γ(ω){\displaystyle \Gamma (\omega )}Por lo tanto, necesitamos sumar sobre todos los posibles estados iniciales y finales que puedan satisfacer la conservación de la energía (es decir, una integral de la zona de Brillouin en el espacio k ), y tener en cuenta la degeneración de espín, lo que después del cálculo resulta en Γ(ω)=4πℏ(miA0metro0)2|ε⋅μdov|2ρdov(ω){\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )} dóndeρdov(ω){\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}es la densidad conjunta de estados de valencia y conducción (es decir, la densidad de pares de estados; un estado de valencia ocupado, un estado de conducción vacío). En 3D, esto es ρdov(ω)=2π(2metro∗ℏ2)3/2ℏω−migramo,{\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},} pero la DOS conjunta es diferente para 2D, 1D y 0D.

Observamos que de manera general podemos expresar la regla de oro de Fermi para semiconductores como [ 13 ].Γvdo=2πℏ∫BZdk4π3|Hvdo′|2δ(mido(k)−miv(k)−ℏω).{\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).}

De la misma manera, la fotocorriente continua estacionaria con amplitud proporcional al cuadrado del campo de luz es J=−2πmiτℏ∑i,F∫BZdk(2π)D|vi−vF|(Fi(k)−FF(k))|HiF′|2δ(miF(k)−mii(k)−ℏω),{\displaystyle {\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),} dóndeτ{\displaystyle \tau }es el tiempo de relajación,vi−vF{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}} yFi(k)−FF(k){\displaystyle f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})}son la diferencia de la velocidad de grupo y la distribución de Fermi-Dirac entre los posibles estados inicial y final. Aquí|HiF′|2{\displaystyle |H_{if}'|^{2}} define el dipolo de transición óptica. Debido a la relación de conmutación entre posiciónr{\displaystyle {\textbf {r}}}y el hamiltoniano, también podemos reescribir el dipolo de transición y la fotocorriente en términos de la matriz del operador de posición usando⟨i|pag|F⟩=−imetro0ω⟨i|r|F⟩{\displaystyle \langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle }Este efecto solo puede existir en sistemas con simetría de inversión rota y los componentes no nulos de la fotocorriente se pueden obtener mediante argumentos de simetría.

Microscopía de efecto túnel de barrido

En un microscopio de efecto túnel de barrido , la regla de oro de Fermi se utiliza para derivar la corriente de tunelización. Tiene la forma w=2πℏ|METRO|2δ(miψ−miχ),{\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),} dóndeMETRO{\displaystyle M}es el elemento de matriz de tunelización.

Óptica cuántica

Al considerar las transiciones de nivel de energía entre dos estados discretos, la regla de oro de Fermi se escribe como Γi→F=2πℏ|⟨F|H′|i⟩|2gramo(ℏω),{\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),} dóndegramo(ℏω){\displaystyle g(\hbar \omega )}es la densidad de estados de fotones a una energía dada,ℏω{\displaystyle \hbar \omega }es la energía del fotón , yω{\displaystyle \omega }es la frecuencia angular . Esta expresión alternativa se basa en el hecho de que existe un continuo de estados finales (de fotones), es decir, el rango de energías de fotones permitidas es continuo. [ 14 ]

Experimento de Drexhage

Tanto el patrón de radiación como la potencia total emitida (que es proporcional a la tasa de decaimiento) de un dipolo dependen de su distancia a un espejo.

La regla de oro de Fermi predice que la probabilidad de que un estado excitado decaiga depende de la densidad de estados. Esto se puede observar experimentalmente midiendo la tasa de decaimiento de un dipolo cerca de un espejo: dado que la presencia del espejo crea regiones de mayor y menor densidad de estados, la tasa de decaimiento medida depende de la distancia entre el espejo y el dipolo. [ 15 ] [ 16 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Mecánica cuántica (2.ª  ed.). Prentice Hall. pág.  443. ISBN 978-0-582-35691-7.
  2. ↑ Dirac, PAM (1 de marzo de 1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de la radiación" . Proceedings of the Royal Society A. 114 ( 767): 243–265 . Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR 94746 . Véanse las ecuaciones (24) y (32).
  3. ↑ Fermi, E. (1950). Física nuclear . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-24365-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) fórmula VIII.2
  4. ↑ Fermi, E. (1950). Física nuclear . University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-24365-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) fórmula VIII.19
  5. ↑ Notas de R Schwitters sobre derivación en la Universidad de Texas, archivadas el 4 de marzo de 2005 en Wayback Machine .
  6. ↑ Es notable que la tasa sea constante y no aumente linealmente con el tiempo, como podría esperarse ingenuamente para transiciones con estricta conservación de la energía. Esto se debe a la interferencia de las contribuciones oscilatorias de las transiciones a numerosos estados continuos con una conservación de la energía aproximada y no perturbada ; véase Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN. 0486414620, págs. 150–151.
  7. ↑ Landau, LD, & Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
  8. ↑ Merzbacher, Eugen (1998). "19.7" (PDF) . Mecánica cuántica (3.ª ed.). Wiley, John & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-88702-7.
  9. ↑ NA Sinitsyn, Q. Niu y AH MacDonald (2006). "Desplazamiento de coordenadas en la ecuación de Boltzmann semiclasica y efecto Hall anómalo". Phys. Rev. B . 73 (7) 075318. arXiv : cond-mat/0511310 . Bibcode : 2006PhRvB..73g5318S . doi : 10.1103/PhysRevB.73.075318 . S2CID 119476624 . 
  10. ^ Cohen -Tannoudji, Claude ; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (1977). Mecánica Cuántica Vol II Capítulo XIII Complemento D_{XIII} . Wiley. ISBN 978-0-471-16433-3.
  11. ↑ Bethe, Hans ; Salpeter, Edwin (1977). Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Springer, Boston, MA. ISBN 978-0-306-20022-9.
  12. ↑ Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). Fundamentos de semiconductores: física y propiedades de los materiales (4.ª ed.). Springer. p. 260. doi : 10.1007/978-3-642-00710-1 . ISBN   978-3-642-00709-5.
  13. ↑ Edvinsson, T. (2018). "Confinamiento cuántico óptico y propiedades fotocatalíticas en nanoestructuras bidimensionales, unidimensionales y cero-dimensionales" . Royal Society Open Science . 5 (9) 180387. Bibcode : 2018RSOS....580387E . doi : 10.1098/rsos.180387 . ISSN 2054-5703 . PMC 6170533. PMID 30839677 .   
  14. ↑ Fox, Mark (2006). Óptica cuántica: Una introducción . Oxford: Oxford University Press. pág. 51. ISBN  978-0-19-856673-1.
  15. ^ KH Drexhage; H. Kuhn; FP Schäfer (1968). "Variación del tiempo de decadencia de la fluorescencia de una molécula frente a un espejo". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie . 72 (2): 329. doi : 10.1002/bbpc.19680720261 . S2CID 94677437 . 
  16. ↑ KH Drexhage (1970). "Influencia de una interfaz dieléctrica en el tiempo de decaimiento de la fluorescencia". Journal of Luminescence . 1 : 693–701 . Bibcode : 1970JLum....1..693D . doi : 10.1016/0022-2313(70)90082-7 .
  • Más información sobre la regla de oro de Fermi
  • Derivación de la regla de oro de Fermi
  • Teoría de perturbaciones dependiente del tiempo
  • La regla de oro de Fermi: su derivación y su análisis mediante un modelo ideal.