estadística de Fermi-Dirac

A partir de la distribución de Fermi-Dirac de partículas sobre estados, se puede encontrar la distribución de partículas sobre energía. ^{[ nb 3 ]} El número promedio de fermiones con energía${\displaystyle \varepsilon _{i}}$se puede encontrar multiplicando la distribución de Fermi-Dirac${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$por la degeneración${\displaystyle g_{i}}$(es decir, el número de estados con energía${\displaystyle \varepsilon _{i}}$), ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$$

Cuando${\displaystyle g_{i}\geq 2}$, es posible que${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$, ya que hay más de un estado que puede ser ocupado por fermiones con la misma energía${\displaystyle \varepsilon _{i}}$.

Cuando un cuasicontinuo de energías${\displaystyle \varepsilon }$tiene una densidad de estados asociada${\displaystyle g(\varepsilon )}$(es decir, el número de estados por unidad de rango de energía por unidad de volumen ^{[ 20 ]} ), el número promedio de fermiones por unidad de rango de energía por unidad de volumen es

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$$

dónde${\displaystyle F(\varepsilon )}$Se denomina función de Fermi y es la misma función que se utiliza para la distribución de Fermi-Dirac.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$: ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$$

de modo que

$${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

La distribución de Fermi-Dirac, que se aplica solo a un sistema cuántico de fermiones no interactuantes, se deriva fácilmente del ensamble gran canónico . ^{[ 24 ]} En este ensamble, el sistema puede intercambiar energía e intercambiar partículas con un reservorio (temperatura T y potencial químico μ fijados por el reservorio).

Debido a su naturaleza no interactiva, cada nivel de partícula única disponible (con nivel de energía ϵ ) forma un sistema termodinámico separado en contacto con el reservorio. En otras palabras, cada nivel de partícula única es un pequeño conjunto gran canónico separado. Por el principio de exclusión de Pauli, solo existen dos microestados posibles para el nivel de partícula única: ninguna partícula (energía E = 0) o una partícula (energía E = ε ). Por lo tanto, la función de partición resultante para ese nivel de partícula única tiene solo dos términos: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$$ y el número promedio de partículas para ese subestado de nivel de partícula única viene dado por $${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$$ Este resultado se aplica a cada nivel de partícula individual y, por lo tanto, proporciona la distribución de Fermi-Dirac para todo el estado del sistema. ^{[ 24 ]}

También se puede derivar la varianza en el número de partículas (debido a fluctuaciones térmicas ) (el número de partículas tiene una distribución de Bernoulli simple ): $${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$$

Esta cantidad es importante en fenómenos de transporte como las relaciones de Mott para la conductividad eléctrica y el coeficiente termoeléctrico para un gas de electrones , ^{[ 25 ]} donde la capacidad de un nivel de energía para contribuir a los fenómenos de transporte es proporcional a${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$.

También es posible derivar la estadística de Fermi-Dirac en el ensamble canónico . Consideremos un sistema de muchas partículas compuesto por N fermiones idénticos que tienen una interacción mutua despreciable y están en equilibrio térmico. ^{[ 15 ]} Dado que hay una interacción despreciable entre los fermiones, la energía${\displaystyle E_{R}}$de un estado${\displaystyle R}$La energía de un sistema de muchas partículas se puede expresar como una suma de energías de partículas individuales:

$${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r},}$$

dónde${\displaystyle n_{r}}$se denomina número de ocupación y es el número de partículas en el estado de partícula única.${\displaystyle r}$con energía${\displaystyle \varepsilon _{r}}$La suma se realiza sobre todos los posibles estados de una sola partícula.${\displaystyle r}$.

La probabilidad de que el sistema de muchas partículas esté en el estado${\displaystyle R}$viene dada por la distribución canónica normalizada : ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}},}$$

dónde${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$,${\displaystyle e^{-\beta E_{R}}}$se llama factor de Boltzmann y la suma se realiza sobre todos los estados posibles.${\displaystyle R'}$del sistema de muchas partículas. El valor promedio para un número de ocupación${\displaystyle n_{i}}$es ^{[ 26 ]}

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\sum _{R}n_{i}P_{R}.}$$

Tenga en cuenta que el estado${\displaystyle R}$del sistema de muchas partículas se puede especificar mediante la ocupación de partículas de los estados de una sola partícula, es decir, especificando${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,}$de modo que

$${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta (n_{1}'\varepsilon _{1}+n_{2}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$$

y la ecuación para${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$se convierte

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}P_{n_{1},n_{2},\dots }\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}},\end{aligned}}}$$

donde la suma se realiza sobre todas las combinaciones de valores de${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$que obedecen al principio de exclusión de Pauli, y${\displaystyle n_{r}=0}$= 0 o${\displaystyle 1}$para cada${\displaystyle r}$. Además, cada combinación de valores de${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$satisface la restricción de que el número total de partículas es${\displaystyle N}$:

$${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$$

Reorganizando las sumas,

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$$

donde el índice superior${\displaystyle (i)}$El signo de sumatoria indica que la suma no es mayor que...${\displaystyle n_{i}}$y está sujeto a la restricción de que el número total de partículas asociadas con la suma es${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$aún depende de${\displaystyle n_{i}}$a través del${\displaystyle N_{i}}$restricción, ya que en un caso${\displaystyle n_{i}=0}$y${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$se evalúa con${\displaystyle N_{i}=N,}$mientras que en el otro caso${\displaystyle n_{i}=1,}$y${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$se evalúa con${\displaystyle N_{i}=N-1.}$Para simplificar la notación y para indicar claramente que${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$aún depende de${\displaystyle n_{i}}$a través de${\displaystyle N-n_{i},}$definir

$${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )},}$$

de modo que la expresión anterior para${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$puede ser reescrito y evaluado en términos de la${\displaystyle Z_{i}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}}\\&={\frac {0+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}}\\&={\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\,e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}.\end{aligned}}}$$

La siguiente aproximación ^{[ 27 ]} se utilizará para encontrar una expresión para sustituir${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}.}$

Si el número de partículas${\displaystyle N}$es lo suficientemente grande como para que el cambio en el potencial químico${\displaystyle \mu }$es muy pequeño cuando se agrega una partícula al sistema, entonces${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\text{B}}T.}$^{[ 28 ]} Aplicando la función exponencial a ambos lados, sustituyendo por${\displaystyle \alpha _{i}}$y reorganizando,

$${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\text{B}}T}.}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación para${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$y utilizando una definición previa de${\displaystyle \beta }$sustituir${\displaystyle 1/k_{\text{B}}T}$para${\displaystyle \beta }$, da como resultado la distribución de Fermi-Dirac:

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$

Al igual que la distribución de Maxwell-Boltzmann y la distribución de Bose-Einstein , la distribución de Fermi-Dirac también puede derivarse mediante el método de Darwin-Fowler de valores medios. ^{[ 29 ]}

Se puede obtener un resultado analizando directamente las multiplicidades del sistema y utilizando multiplicadores de Lagrange . ^{[ 30 ]}

Supongamos que tenemos varios niveles de energía, etiquetados con el índice i , cada nivel con energía ε _i y que contiene un total de n _i partículas. Supongamos que cada nivel contiene g _i subniveles distintos, todos con la misma energía y que son distinguibles. Por ejemplo, dos partículas pueden tener momentos diferentes (es decir, sus momentos pueden estar en direcciones diferentes), en cuyo caso son distinguibles entre sí, pero aún pueden tener la misma energía. El valor de g _i asociado al nivel i se denomina "degeneración" de ese nivel de energía. El principio de exclusión de Pauli establece que solo un fermión puede ocupar cualquier subnivel de este tipo.

El número de formas de distribuir n _i partículas indistinguibles entre los g _i subniveles de un nivel de energía, con un máximo de una partícula por subnivel, viene dado por el coeficiente binomial , utilizando su interpretación combinatoria : $${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

Por ejemplo, distribuir dos partículas en tres subniveles dará como resultado números de población de 110, 101 o 011 para un total de tres formas que es igual a  3!/(2!1!).

El número de maneras en que se puede realizar un conjunto de números de ocupación n _{i es el producto de las maneras en que se puede poblar cada nivel de energía individual:}

$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$$

Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para derivar la estadística de Maxwell-Boltzmann , deseamos encontrar el conjunto de n _i para el cual W se maximiza, sujeto a la restricción de que haya un número fijo de partículas y una energía fija. Restringimos nuestra solución utilizando multiplicadores de Lagrange que forman la función:

$${\displaystyle f(n_{i})=\ln W+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$$

Utilizando la aproximación de Stirling para los factoriales, derivando con respecto a n _i , igualando el resultado a cero y resolviendo para n _i se obtienen los números de población de Fermi-Dirac:

$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$$

Mediante un proceso similar al descrito en el artículo sobre la estadística de Maxwell-Boltzmann , se puede demostrar termodinámicamente que${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\text{B}}T}}}$y${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$, de modo que finalmente, la probabilidad de que un estado esté ocupado es

$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$$