Montículo de Fermi y agujero de Fermi

El montón de Fermi y el agujero de Fermi se refieren a dos fenómenos cuánticos estrechamente relacionados que ocurren en átomos con muchos electrones. Surgen debido al principio de exclusión de Pauli , según el cual dos electrones no pueden estar en el mismo estado cuántico en un sistema (lo que, considerando el espín de los electrones , significa que puede haber hasta dos electrones en el mismo orbital ). Debido a la indistinguibilidad de las partículas elementales, la probabilidad de que una medición produzca un cierto autovalor debe ser invariante cuando se intercambian electrones, lo que significa que la amplitud de probabilidad debe permanecer igual o cambiar de signo. Por ejemplo, consideremos un estado excitado del átomo de helio en el que el electrón 1 está en el orbital 1s y el electrón 2 ha sido excitado al orbital 2s. No es posible, ni siquiera en principio, distinguir el electrón 1 del electrón 2. En otras palabras, el electrón 2 podría estar en el orbital 1s y el electrón 1 en el orbital 2s. Como son fermiones , los electrones deben describirse mediante una función de onda antisimétrica que debe cambiar de signo bajo intercambio electrónico, lo que resulta en un hueco de Fermi (con menor probabilidad de encontrarse cerca unos de otros) o en un montón de Fermi (con mayor probabilidad de encontrarse cerca unos de otros). Dado que los electrones se repelen eléctricamente, los huecos y montones de Fermi tienen efectos drásticos en la energía de los átomos con muchos electrones, aunque el efecto puede ilustrarse en el caso del átomo de helio .

Si se desprecia la interacción espín-órbita , la función de onda para los dos electrones se puede escribir como${\displaystyle \Psi =\Psi _{0}\Psi _{s}}$, donde hemos dividido la función de onda en partes espaciales y de espín. Como se mencionó anteriormente,${\displaystyle \Psi }$Debe ser antisimétrico, por lo que la antisimetría puede surgir tanto de la parte de espín como de la parte espacial. Hay 4 posibles estados de espín para este sistema:

$${\displaystyle \chi _{+}(1)\chi _{+}(2)}$$$${\displaystyle \chi _{-}(1)\chi _{-}(2)}$$$${\displaystyle \chi _{+}(1)\chi _{-}(2)}$$$${\displaystyle \chi _{-}(1)\chi _{+}(2)}$$

Sin embargo, solo las dos primeras son simétricas o antisimétricas al intercambio de electrones (lo que corresponde al intercambio de 1 y 2). Las dos últimas deben reescribirse como:

$${\displaystyle \chi _{1,1}=\chi _{+}(1)\chi _{+}(2)}$$$${\displaystyle \chi _{1,-1}=\chi _{-}(1)\chi _{-}(2)}$$$${\displaystyle \chi _{1,0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\chi _{-}(1)\chi _{+}(2)+\chi _{+}(1)\chi _{-}(2))}$$$${\displaystyle \chi _{0,0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\chi _{-}(1)\chi _{+}(2)-\chi _{+}(1)\chi _{-}(2))}$$

Las tres primeras son simétricas, mientras que la última es antisimétrica. Supongamos que uno de los electrones del átomo de helio se excita al estado 2s. En este caso, su función de onda espacial tendrá que ser antisimétrica (lo que requiere una función de onda de espín simétrica):

$${\displaystyle \Psi _{0}=\psi _{1s}({\vec {r}}_{1})\psi _{2s}({\vec {r}}_{2})-\psi _{2s}({\vec {r}}_{1})\psi _{1s}({\vec {r}}_{2})}$$

O simétrica (que requiere una función de onda de espín antisimétrica):

$${\displaystyle \Psi _{0}=\psi _{1s}({\vec {r}}_{1})\psi _{2s}({\vec {r}}_{2})+\psi _{2s}({\vec {r}}_{1})\psi _{1s}({\vec {r}}_{2})}$$

En el primer caso, los posibles estados de espín son los tres simétricos enumerados anteriormente, y este estado se conoce comúnmente como triplete . El estado triplete no está permitido en el estado fundamental del átomo de helio, ya que la función espacial en este caso es simétrica y la función de espín debe ser antisimétrica. Podemos observar que si tomamos${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\aprox {\vec {r}}_{2}}$La amplitud de probabilidad tiende a cero, lo que significa que es poco probable que los electrones estén cerca unos de otros, lo que se conoce como agujero de Fermi y es responsable de las propiedades de ocupación de espacio de la materia.

De manera similar, en el segundo caso, solo hay un estado de espín posible,${\displaystyle \chi _{0,0}}$Por lo tanto, este estado se conoce comúnmente como singlete . También podemos observar que la amplitud de probabilidad es mayor cuando los electrones están cerca unos de otros, lo que significa que es ligeramente más probable que se observen juntos. Este fenómeno se conoce como montón de Fermi y desempeña un papel importante en el enlace químico al permitir que ambos electrones se localicen en la región internuclear, protegiendo así a los núcleos con carga positiva de la repulsión electrostática entre sí.

Dado que los electrones se repelen entre sí, los huecos y los montones de Fermi tienen efectos drásticos en la energía de los átomos con muchos electrones, como las propiedades periódicas de los elementos. Como reunir electrones requiere realizar trabajo, los montones de Fermi tienen mayor energía que los huecos de Fermi. Este resultado se generaliza en términos de multiplicidad mediante la regla de Hund , que establece que cuanto mayor sea la multiplicidad de espín de un estado (número de estados de espín que puede tener según el principio de exclusión), menor será su energía.

Aquí se muestran animaciones de los huecos de Fermi y los montículos de Fermi en el átomo de carbono. ^{[ 1 ]} Aquí se discuten los detalles del origen y la importancia de los huecos de Fermi y los montículos de Fermi en la estructura de los átomos. ^{[ 2 ]}

• Dill, Dan (2006). Notas sobre química general (2.ª ed.), Capítulo 3.5, Átomos con muchos electrones: agujeros de Fermi y montones de Fermi . WH Freeman. ISBN 0-393-97661-0.
• Atkins, Peter; Friedman, Ronald (2011). Mecánica cuántica molecular (5.ª  ed.). Oxford. pág.  223. ISBN 978-019954142-3.