Nivel de Fermi

El nivel de Fermi de un cuerpo sólido es el trabajo termodinámico necesario para añadir un electrón a dicho cuerpo. Es una magnitud termodinámica que se suele denotar por μ o E _F^{[ 1 ]} para abreviar. El nivel de Fermi no incluye el trabajo necesario para extraer el electrón de dondequiera que provenga. El concepto de nivel de Fermi es un componente importante del modelo de estructura de bandas electrónicas para determinar las propiedades electrónicas, especialmente en lo que respecta al voltaje y al flujo de carga en los circuitos electrónicos.

En la teoría de la estructura de bandas , utilizada en la física del estado sólido para analizar los niveles de energía en un sólido, el nivel de Fermi puede considerarse un nivel de energía hipotético de un electrón, de modo que en equilibrio termodinámico este nivel de energía tendría una probabilidad del 50% de estar ocupado en cualquier momento dado . ^{[ 2 ]} La posición del nivel de Fermi en relación con los niveles de energía de banda es un factor crucial para determinar las propiedades eléctricas. El nivel de Fermi no necesariamente corresponde a un nivel de energía real (en un aislante el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida ), ni requiere la existencia de una estructura de bandas. No obstante, el nivel de Fermi es una magnitud termodinámica definida con precisión, y las diferencias en el nivel de Fermi pueden medirse con un voltímetro .

Medición de voltaje

A veces se dice que las corrientes eléctricas son impulsadas por diferencias en el potencial electrostático ( potencial de Galvani ), pero esto no es del todo cierto. ^{[ 3 ]} Como contraejemplo, los dispositivos multimateriales, como las uniones p-n, contienen diferencias de potencial electrostático internas en equilibrio, pero sin ninguna corriente neta asociada; si se conecta un voltímetro a la unión, simplemente se mide cero voltios. ^{[ 4 ]} El potencial electrostático no es el único factor que influye en el flujo de carga en un material: la repulsión de Pauli , los gradientes de concentración de portadores, la inducción electromagnética y los efectos térmicos también desempeñan un papel importante.

De hecho, la magnitud denominada voltaje , medida en un circuito electrónico, guarda una relación sencilla con el potencial químico de los electrones (nivel de Fermi). Al conectar los terminales de un voltímetro a dos puntos de un circuito, el voltaje mostrado es una medida del trabajo total transferido cuando una unidad de carga se desplaza de un punto a otro. Si se conecta un simple cable entre dos puntos con diferente voltaje (formando un cortocircuito ), la corriente fluirá del voltaje positivo al negativo, transformando el trabajo disponible en calor.

El nivel de Fermi de un cuerpo expresa el trabajo requerido para agregarle un electrón, o igualmente el trabajo obtenido al extraer un electrón. Por lo tanto, V _A − V _B , la diferencia de voltaje observada entre dos puntos, A y B , en un circuito electrónico está relacionada exactamente con la diferencia de potencial químico correspondiente, μ _A − μ _B , en el nivel de Fermi mediante la fórmula ^[⁵^]. $V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }={\frac {\mu _{\mathrm {A} }-\mu _{\mathrm {B} }}{-e}}$ donde − e es la carga del electrón .

De la discusión anterior se desprende que los electrones se moverán de un cuerpo con μ alto (bajo voltaje) a uno con μ bajo (alto voltaje) si se les proporciona un camino simple. Este flujo de electrones provocará un aumento en el μ más bajo (debido a la carga u otros efectos de repulsión) y, de igual manera , una disminución en el μ más alto. Finalmente, μ se estabilizará en el mismo valor en ambos cuerpos. Esto nos lleva a un hecho importante con respecto al estado de equilibrio (apagado) de un circuito electrónico:

Un circuito electrónico en equilibrio termodinámico tendrá un nivel de Fermi constante en todas sus partes conectadas. ^{[ 6 ]}

Esto también significa que, en equilibrio, la tensión (medida con un voltímetro) entre dos puntos cualesquiera será cero. Cabe destacar que el equilibrio termodinámico requiere que el circuito esté conectado internamente y no contenga baterías ni otras fuentes de alimentación, ni variaciones de temperatura.

Estructura de bandas de los sólidos

Distribución de Fermi-Dirac $f(\epsilon )$ energía versus $\epsilon$ , con μ = 0,55 eV y para varias temperaturas en el rango 50 K ≤ T ≤ 375 K .

{\displaystyle f(\epsilon )} — Distribución de Fermi-Dirac $f(\epsilon )$ energía versus $\epsilon$ , con μ = 0,55 eV y para varias temperaturas en el rango 50 K ≤ T ≤ 375 K .

En la teoría de bandas de los sólidos, los electrones ocupan una serie de bandas compuestas por autoestados de energía de partícula única, cada uno etiquetado con ϵ . Si bien esta descripción de partícula única es una aproximación, simplifica enormemente la comprensión del comportamiento electrónico y, por lo general, proporciona resultados correctos cuando se aplica correctamente.

La distribución de Fermi-Dirac , $f(\epsilon )$ , da la probabilidad de que (en equilibrio termodinámico ) un estado con energía ϵ esté ocupado por un electrón: ^{[ 7 ]} $f(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{\mathrm {B} }T}+1}}$

Aquí, T es la temperatura absoluta y k _B es la constante de Boltzmann . Si existe un estado en el nivel de Fermi ( ϵ = μ ), entonces este estado tendrá un 50 % de probabilidad de estar ocupado. La distribución se muestra en la figura de la izquierda. Cuanto más cerca esté f de 1, mayor será la probabilidad de que este estado esté ocupado. Cuanto más cerca esté f de 0, mayor será la probabilidad de que este estado esté vacío.

La ubicación de μ dentro de la estructura de bandas de un material es importante para determinar el comportamiento eléctrico del material.

En un aislante , μ se encuentra dentro de una gran banda prohibida , lejos de cualquier estado que pueda transportar corriente.
En un metal, semimetal o semiconductor degenerado , μ se encuentra dentro de una banda deslocalizada. Un gran número de estados cercanos a μ son térmicamente activos y conducen fácilmente la corriente.
En un semiconductor intrínseco o ligeramente dopado, μ está lo suficientemente cerca de un borde de banda como para que exista un número reducido de portadores excitados térmicamente que residen cerca de ese borde de banda.

En semiconductores y semimetales, la posición de μ con respecto a la estructura de bandas generalmente se puede controlar de manera significativa mediante dopaje o polarización. Estos controles no modifican μ, que está fijada por los electrodos, sino que provocan un desplazamiento de toda la estructura de bandas (a veces también modificando su forma). Para obtener más información sobre los niveles de Fermi de los semiconductores, véase (por ejemplo) Sze. ^{[ 8 ]}

Referencia de la banda de conducción local, potencial químico interno y el parámetro ζ

Si el símbolo ℰ se utiliza para denotar un nivel de energía electrónica medido en relación con la energía del borde de su banda circundante, ϵ _C , entonces en general tenemos ${\textstyle {\text{ℰ}}=\varepsilon -\varepsilon _{\rm {C}}.}$ Podemos definir un parámetro ζ ^{[ 9 ]} que hace referencia al nivel de Fermi con respecto al borde de banda: $\zeta =\mu -\epsilon _{\rm {C}}.$ De ello se deduce que la función de distribución de Fermi-Dirac se puede escribir como: $f({\mathcal {E}})={\frac {1}{e^{({\mathcal {E}}-\zeta )/k_{\mathrm {B} }T}+1}}.$ La teoría de bandas de los metales fue desarrollada inicialmente por Sommerfeld a partir de 1927, quien se centró en la termodinámica y la mecánica estadística subyacentes. Resulta confuso que, en algunos contextos, la magnitud ζ, referida a la banda, pueda denominarse nivel de Fermi , potencial químico o potencial electroquímico , lo que genera ambigüedad con el nivel de Fermi, que se refiere a la banda de conducción. En este artículo, los términos nivel de Fermi referido a la banda de conducción o potencial químico interno se utilizan para referirse a ζ .

ζ está directamente relacionado con el número de portadores de carga activos, así como con su energía cinética típica, y por lo tanto, está directamente involucrado en la determinación de las propiedades locales del material (como la conductividad eléctrica ). Por esta razón, es común centrarse en el valor de ζ cuando se estudian las propiedades de los electrones en un material conductor homogéneo. Por analogía con los estados de energía de un electrón libre, la energía cinética de un estado es la energía cinética de ese estado y ϵ _C es su energía potencial . Teniendo esto en cuenta, el parámetro ζ también podría denominarse energía cinética de Fermi .

A diferencia de μ , el parámetro ζ no es constante en equilibrio, sino que varía de un lugar a otro en un material debido a variaciones en ϵ _C , que está determinado por factores como la calidad del material y las impurezas/dopantes. Cerca de la superficie de un semiconductor o semimetal, ζ puede controlarse fuertemente mediante campos eléctricos aplicados externamente, como se hace en un transistor de efecto de campo . En un material multibanda, ζ puede incluso tomar múltiples valores en un solo lugar. Por ejemplo, en una pieza de aluminio hay dos bandas de conducción que cruzan el nivel de Fermi (incluso más bandas en otros materiales); ^{[ 10 ]} cada banda tiene una energía de borde diferente, ϵ _C , y un ζ diferente .

El valor de ζ a temperatura cero se conoce comúnmente como energía de Fermi , a veces escrita como ζ _0. Curiosamente (de nuevo), el nombre energía de Fermi se usa a veces para referirse a ζ a temperatura distinta de cero.

Fuera de equilibrio

El nivel de Fermi, μ , y la temperatura, T , son constantes bien definidas para un dispositivo de estado sólido en equilibrio termodinámico, como cuando está inactivo. Cuando el dispositivo sale del equilibrio y se pone en funcionamiento, estrictamente hablando, el nivel de Fermi y la temperatura ya no están bien definidos. Afortunadamente, a menudo es posible definir un nivel y una temperatura cuasi-Fermi para una ubicación determinada, que describen con precisión la ocupación de los estados en términos de una distribución térmica. Se dice que el dispositivo está en cuasi-equilibrio cuando y donde dicha descripción es posible.

El enfoque de cuasi-equilibrio permite construir una imagen simple de algunos efectos de no equilibrio, como la conductividad eléctrica de una pieza de metal (como resultado de un gradiente de μ ) o su conductividad térmica (como resultado de un gradiente de T ). Los valores de cuasi -μ y cuasi- T pueden variar (o no existir en absoluto) en cualquier situación de no equilibrio, como por ejemplo:

Si el sistema contiene un desequilibrio químico (como en una batería ).
Si el sistema está expuesto a campos electromagnéticos cambiantes (como en capacitores , inductores y transformadores ).
Bajo la iluminación de una fuente de luz con una temperatura diferente, como el sol (como en las células solares ),
Cuando la temperatura no es constante dentro del dispositivo (como en los termopares ),
Cuando el dispositivo ha sido alterado, pero no ha tenido tiempo suficiente para volver a equilibrarse (como en el caso de sustancias piezoeléctricas o piroeléctricas ).

En ciertas situaciones, como inmediatamente después de que un material experimenta un pulso láser de alta energía, la distribución de electrones no puede describirse mediante ninguna distribución térmica. En este caso, no se puede definir el nivel cuasi-Fermi ni la cuasi-temperatura; simplemente se dice que los electrones no están termalizados . En situaciones menos drásticas, como en una célula solar bajo iluminación constante, puede ser posible una descripción de cuasi-equilibrio, pero requiere la asignación de valores distintos de μ y T a diferentes bandas (banda de conducción frente a banda de valencia). Incluso entonces, los valores de μ y T pueden saltar discontinuamente a través de una interfaz de material (por ejemplo, una unión p-n ) cuando se aplica una corriente, y estar mal definidos en la propia interfaz.

Aspectos técnicos

Nomenclatura

El término nivel de Fermi se utiliza principalmente al hablar de la física del estado sólido de los electrones en semiconductores , y es necesario un uso preciso de este término para describir diagramas de bandas en dispositivos que comprenden diferentes materiales con diferentes niveles de dopaje. Sin embargo, en estos contextos, también se puede ver el nivel de Fermi usado de forma imprecisa para referirse al nivel de Fermi referenciado a la banda , μ − ϵ _C , llamado ζ arriba. Es común ver a científicos e ingenieros referirse a "controlar", " fijar " o "ajustar" el nivel de Fermi dentro de un conductor, cuando en realidad están describiendo cambios en ϵ _C debido al dopaje o al efecto de campo . De hecho, el equilibrio termodinámico garantiza que el nivel de Fermi en un conductor siempre está fijo para ser exactamente igual al nivel de Fermi de los electrodos; solo la estructura de bandas (no el nivel de Fermi) puede cambiar por el dopaje o el efecto de campo (véase también diagrama de bandas ). Existe una ambigüedad similar entre los términos potencial químico y potencial electroquímico .

También es importante señalar que el nivel de Fermi no es necesariamente lo mismo que la energía de Fermi . En el contexto más amplio de la mecánica cuántica, el término energía de Fermi se refiere generalmente a la energía cinética máxima de un fermión en un gas de Fermi idealizado, sin interacciones, libre de desorden y a temperatura cero . Este concepto es muy teórico (no existe un gas de Fermi sin interacciones, y la temperatura cero es imposible de alcanzar). Sin embargo, se utiliza para describir de forma aproximada enanas blancas , estrellas de neutrones , núcleos atómicos y electrones en un metal . Por otro lado, en los campos de la física e ingeniería de semiconductores, la energía de Fermi se usa a menudo para referirse al nivel de Fermi descrito en este artículo. ^{[ 11 ]}

Referencia del nivel de Fermi y ubicación del nivel de Fermi cero

Al igual que la elección del origen en un sistema de coordenadas, el punto cero de energía puede definirse arbitrariamente. Los fenómenos observables solo dependen de las diferencias de energía. Sin embargo, al comparar cuerpos distintos, es importante que todos coincidan en la ubicación del punto cero de energía, de lo contrario se obtendrán resultados sin sentido. Por lo tanto, puede ser útil nombrar explícitamente un punto común para asegurar la concordancia entre los diferentes componentes. Por otro lado, si un punto de referencia es inherentemente ambiguo (como "el vacío", véase más adelante), generará más problemas.

Una opción práctica y justificada para un punto común es un conductor físico voluminoso, como la tierra eléctrica . Dicho conductor puede considerarse en buen equilibrio termodinámico, por lo que su μ está bien definido. Proporciona un reservorio de carga, de modo que se pueden añadir o eliminar grandes cantidades de electrones sin que se produzcan efectos de carga. Además, tiene la ventaja de ser accesible, por lo que el nivel de Fermi de cualquier otro objeto puede medirse fácilmente con un voltímetro.

Por qué no es aconsejable utilizar "la energía en el vacío" como cero de referencia

En principio, se podría considerar usar el estado de un electrón estacionario en el vacío como punto de referencia para las energías. Este enfoque no es recomendable a menos que se defina con precisión dónde se encuentra el vacío . ^{[ Nota 1 ]} El problema es que no todos los puntos del vacío son equivalentes.

En equilibrio termodinámico, es típico que existan diferencias de potencial eléctrico del orden de 1 V en el vacío ( potenciales de Volta ). El origen de esta variación del potencial de vacío reside en la variación de la función de trabajo entre los distintos materiales conductores expuestos al vacío. Justo fuera de un conductor, el potencial electrostático depende en gran medida del material, así como de la superficie seleccionada (su orientación cristalina, contaminación y otros detalles).

El parámetro que mejor se aproxima a la universalidad es el nivel de Fermi referenciado a la Tierra, sugerido anteriormente. Además, tiene la ventaja de que puede medirse con un voltímetro.

Efectos de carga discretos en sistemas pequeños

En los casos en que los "efectos de carga" debidos a un solo electrón no sean despreciables, conviene aclarar las definiciones anteriores. Por ejemplo, consideremos un condensador formado por dos placas paralelas idénticas. Si el condensador está descargado, el nivel de Fermi es el mismo en ambos lados, por lo que cabría pensar que no se requiere energía para mover un electrón de una placa a la otra. Sin embargo, una vez movido el electrón, el condensador se ha cargado (ligeramente), por lo que sí se requiere una pequeña cantidad de energía. En un condensador normal, esto es despreciable, pero en un condensador a nanoescala puede ser más importante.

En este caso, es necesario ser preciso en la definición termodinámica del potencial químico, así como en el estado del dispositivo: ¿está aislado eléctricamente o está conectado a un electrodo?

Cuando un cuerpo puede intercambiar electrones y energía con un electrodo (reservorio), se describe mediante el ensamble gran canónico . Se puede decir que el valor del potencial químico $μ está fijado por el electrodo, mientras que el número de electrones$ $N$ en el cuerpo puede fluctuar. En este caso, el potencial químico de un cuerpo es la cantidad infinitesimal de trabajo necesaria para aumentar el número promedio de electrones en una cantidad infinitesimal (aunque el número de electrones en cualquier momento sea un número entero, el número promedio varía continuamente). $\mu (\left\langle N\right\rangle ,T)=\left({\frac {\partial F}{\partial \left\langle N\right\rangle }}\right)_{T},$ dónde $F(N,T)=\Omega (N,T)+\mu N$ es la energía libre de Helmholtz del gran conjunto canónico.
Si el número de electrones en el cuerpo es fijo (pero el cuerpo aún está conectado térmicamente a un baño térmico), entonces está en el conjunto canónico . Podemos definir un "potencial químico" en este caso literalmente como el trabajo requerido para agregar un electrón a un cuerpo que ya tiene exactamente $N$ electrones, ^{[ 12 ]} $\mu '(N,T)=F(N+1,T)-F(N,T),$ donde $F (N, T)$ es la función de energía libre del conjunto canónico, alternativamente, $\mu ''(N,T)=F(N,T)-F(N-1,T)=\mu '(N-1,T).$

Estos potenciales químicos no son equivalentes, $μ \neq μ' \neq μ ″$ , excepto en el límite termodinámico . La distinción es importante en sistemas pequeños como aquellos que muestran bloqueo de Coulomb , ^{[ 13 ]} pero técnicamente afecta a semiconductores de gran tamaño a temperatura cero, al menos idealmente. ^{[ 12 ]} El parámetro $μ$ , (es decir, en el caso en que se permite que el número de electrones fluctúe) permanece exactamente relacionado con el voltaje del voltímetro, incluso en sistemas pequeños. Para ser precisos, entonces, el nivel de Fermi no se define por un evento de carga determinista por la carga de un electrón, sino más bien por un evento de carga estadística por una fracción infinitesimal de un electrón. ^{[ 14 ]}

Notas

Técnicamente, se puede considerar el vacío como un aislante y, de hecho, su nivel de Fermi se define si su entorno está en equilibrio. Sin embargo, normalmente el nivel de Fermi se sitúa entre dos y cinco electronvoltios por debajo de la energía potencial electrostática del vacío, dependiendo de la función de trabajo del material de la pared del vacío cercana. Solo a altas temperaturas el vacío en equilibrio se poblará con un número significativo de electrones (esta es la base de la emisión termoiónica ).

Referencias

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[12] Técnicamente, se puede considerar el vacío como un aislante y, de hecho, su nivel de Fermi se define si su entorno está en equilibrio. Sin embargo, normalmente el nivel de Fermi se sitúa entre dos y cinco electronvoltios por debajo de la energía potencial electrostática del vacío, dependiendo de la función de trabajo del material de la pared del vacío cercana. Solo a altas temperaturas el vacío en equilibrio se poblará con un número significativo de electrones (esta es la base de la emisión termoiónica ).

[1] Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido (7.ª ed.). Wiley.

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[9] Sommerfeld, Arnold (1964). Termodinámica y mecánica estadística . Academic Press.

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[11] Por ejemplo: D. Chattopadhyay (2006). Electrónica (fundamentos y aplicaciones) . New Age International. ISBN 978-81-224-1780-7.y Balkanski y Wallis (1 de septiembre de 2000). Física y aplicaciones de semiconductores . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-851740-5.

[Shegelski-13] 1 2 Shegelski, Mark RA (mayo de 2004). "El potencial químico de un semiconductor intrínseco ideal" . American Journal of Physics . 72 (5): 676– 678. Bibcode : 2004AmJPh..72..676S . doi : 10.1119/1.1629090 .

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