Problema de Fermi

Un problema de Fermi (o cuestionario de Fermi , pregunta de Fermi , estimación de Fermi ), también conocido como problema de orden de magnitud (o estimación de orden de magnitud , estimación de orden ), es un problema de estimación en la educación en física o ingeniería , diseñado para enseñar análisis dimensional o aproximación de cálculos científicos extremos. Los problemas de Fermi suelen ser cálculos aproximados . La técnica de estimación recibe su nombre del físico Enrico Fermi , ya que era conocido por su capacidad para hacer buenos cálculos aproximados con pocos o ningún dato real. Los problemas de Fermi generalmente implican hacer conjeturas justificadas sobre cantidades y su varianza o límites inferiores y superiores. En algunos casos, las estimaciones de orden de magnitud también se pueden derivar utilizando análisis dimensional .

Un ejemplo es la estimación que hizo Enrico Fermi de la potencia de la bomba atómica que detonó en la prueba Trinity , basándose en la distancia recorrida por los trozos de papel que dejó caer de su mano durante la explosión. La estimación de Fermi de 10 kilotones de TNT estaba dentro de un orden de magnitud del valor ahora aceptado de 21 kilotones. ^{[1] [2] [3]}

Las preguntas de Fermi suelen ser de naturaleza extrema y normalmente no pueden resolverse utilizando información matemática o científica común.

Ejemplos de preguntas proporcionadas por la Competencia oficial de Fermi: ^{[ aclaración necesaria ]}

"Si la masa de una cucharadita de agua pudiera convertirse enteramente en energía en forma de calor, ¿qué volumen de agua, inicialmente a temperatura ambiente, podría llegar a hervir? (litros)".

"¿Cuánto se calienta el río Támesis al pasar por la presa Fanshawe ? (en grados Celsius)"

"¿Cuál es la masa de todos los automóviles desguazados en América del Norte este mes? (kilogramos)". ^{[4] [5]}

La pregunta de Fermi más famosa es la ecuación de Drake , que busca estimar el número de civilizaciones inteligentes en la galaxia. La pregunta básica de por qué, si hubo un número significativo de tales civilizaciones, la civilización humana nunca se encontró con ninguna otra se llama paradoja de Fermi . ^[6]

Los científicos suelen buscar estimaciones de Fermi de la respuesta a un problema antes de recurrir a métodos más sofisticados para calcular una respuesta precisa. Esto proporciona una comprobación útil de los resultados. Si bien la estimación es casi con certeza incorrecta, también es un cálculo simple que permite una fácil comprobación de errores y encontrar suposiciones erróneas si la cifra obtenida es mucho mayor de lo que podríamos esperar razonablemente. Por el contrario, los cálculos precisos pueden ser extremadamente complejos, pero con la expectativa de que la respuesta que producen sea correcta. El número mucho mayor de factores y operaciones involucradas puede ocultar un error muy significativo, ya sea en el proceso matemático o en las suposiciones en las que se basa la ecuación, pero aún así se puede suponer que el resultado es correcto porque se ha derivado de una fórmula precisa que se espera que produzca buenos resultados. Sin un marco de referencia razonable a partir del cual trabajar, rara vez está claro si un resultado es aceptablemente preciso o es muchos grados de magnitud (decenas o cientos de veces) demasiado grande o demasiado pequeño. La estimación de Fermi proporciona una forma rápida y sencilla de obtener este marco de referencia para lo que podría esperarse razonablemente que sea la respuesta.

Siempre que las suposiciones iniciales en la estimación sean cantidades razonables, el resultado obtenido dará una respuesta dentro de la misma escala que el resultado correcto y, en caso contrario, dará una base para entender por qué es así. Por ejemplo, supongamos que se le pidió a una persona que determinara el número de afinadores de pianos que hay en Chicago. Si su estimación inicial le dijo que debería haber unos cien, pero la respuesta precisa le dice que hay muchos miles, entonces sabe que necesita averiguar por qué hay esta divergencia con el resultado esperado. Primero hay que buscar errores y luego factores que la estimación no tuvo en cuenta: ¿hay en Chicago varias escuelas de música u otros lugares con una proporción desproporcionadamente alta de pianos por habitante? Ya sea cerca o muy lejos de los resultados observados, el contexto que proporciona la estimación proporciona información útil tanto sobre el proceso de cálculo como sobre las suposiciones que se han utilizado para analizar los problemas.

Las estimaciones de Fermi también son útiles para abordar problemas en los que la elección óptima del método de cálculo depende del tamaño esperado de la respuesta. Por ejemplo, una estimación de Fermi podría indicar si las tensiones internas de una estructura son lo suficientemente bajas como para que puedan describirse con precisión mediante elasticidad lineal ; o si la estimación ya guarda una relación significativa en escala con algún otro valor, por ejemplo, si una estructura será sobredimensionada para soportar cargas varias veces mayores que la estimación. ^{[ cita requerida ]}

Aunque los cálculos de Fermi no suelen ser precisos, ya que sus suposiciones pueden tener muchos problemas, este tipo de análisis nos informa sobre qué debemos buscar para obtener una mejor respuesta. En el ejemplo anterior, se podría intentar encontrar una mejor estimación del número de pianos que un afinador afina en un día típico, o buscar un número preciso de la población de Chicago. También proporciona una estimación aproximada que puede ser lo suficientemente buena para algunos propósitos: si una persona quiere abrir una tienda en Chicago que venda equipos para afinar pianos y calcula que necesita 10.000 clientes potenciales para seguir en el negocio, puede suponer razonablemente que la estimación anterior está lo suficientemente por debajo de 10.000 como para considerar un plan de negocios diferente (y, con un poco más de trabajo, podría calcular un límite superior aproximado para el número de afinadores de pianos considerando los valores razonables más extremos que podrían aparecer en cada una de sus suposiciones).

Las estimaciones de Fermi generalmente funcionan porque las estimaciones de los términos individuales suelen ser casi correctas, y las sobreestimaciones y subestimaciones contribuyen a cancelarse entre sí. Es decir, si no hay un sesgo constante, un cálculo de Fermi que implique la multiplicación de varios factores estimados (como el número de afinadores de pianos en Chicago) probablemente será más preciso de lo que se podría suponer en un principio.

En detalle, multiplicar las estimaciones corresponde a sumar sus logaritmos; así se obtiene una especie de proceso de Wiener o paseo aleatorio en la escala logarítmica , que se difunde como (en número de términos n ). En términos discretos, el número de sobreestimaciones menos las subestimaciones tendrá una distribución binomial . En términos continuos, si se hace una estimación de Fermi de n pasos, con desviación estándar σ unidades en la escala logarítmica a partir del valor real, entonces la estimación global tendrá desviación estándar , ya que la desviación estándar de una suma escala como en el número de sumandos. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ $Estilo de visualización: sigma$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Por ejemplo, si uno hace una estimación de Fermi de 9 pasos, en cada paso sobreestimando o subestimando el número correcto por un factor de 2 (o con una desviación estándar de 2), entonces después de 9 pasos el error estándar habrá crecido por un factor logarítmico de , por lo que 2 ³ = 8. Por lo tanto, uno esperará estar dentro de 1 ⁄ 8 a 8 veces el valor correcto, dentro de un orden de magnitud , y mucho menos que el peor caso de error por un factor de 2 ⁹ = 512 (alrededor de 2,71 órdenes de magnitud). Si uno tiene una cadena más corta o estima con mayor precisión, la estimación general será correspondientemente mejor. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

• Estimación aproximada
• Estimación de la muerte
• Saludo con la mano
• Heurístico
• Orden de aproximación
• El ejemplo de Stein
• Vaca esférica

Los siguientes libros contienen muchos ejemplos de problemas de Fermi con soluciones:

• John Harte, Consideremos una vaca esférica: Un curso de resolución de problemas ambientales, University Science Books. 1988. ISBN 0-935702-58-X . 
• John Harte, Consideremos una vaca cilíndrica: Más aventuras en la resolución de problemas medioambientales . University Science Books. 2001. ISBN 1-891389-17-3 . 
• Clifford Swartz, Física de la base del sobre Johns Hopkins University Press. 2003. ISBN 0-8018-7263-4 . ISBN 978-0801872631 .  
• Lawrence Weinstein y John A. Adam, Guesstimation: Solving the World's Problems on the Back of a Cocktail Napkin Princeton University Press. 2008. ISBN 0-691-12949-5 . ISBN 978-1-4008-2444-1 . Un libro de texto sobre los problemas de Fermi.  
• Aaron Santos, ¿Cuántos lametones?: O, cómo calcular casi cualquier cosa . Running Press. 2009. ISBN 0-7624-3560-7 . ISBN 978-0-7624-3560-9 .  
• Sanjoy Mahajan, Matemáticas de lucha callejera: el arte de adivinar con conocimiento de causa y resolver problemas de manera oportunista MIT Press. 2010. ISBN 026251429X . ISBN 978-0262514293 .  
• Göran Grimvall, ¡ Cuantifique! Un curso intensivo sobre pensamiento inteligente , Johns Hopkins University Press, 2010. ISBN 0-8018-9717-3 . ISBN 978-0-8018-9717-7 .  
• Lawrence Weinstein, Guesstimation 2.0: Resolver los problemas actuales en el reverso de una servilleta Princeton University Press. 2012. ISBN 978-0-691-15080-2 . 
• Sanjoy Mahajan, El arte de la introspección en la ciencia y la ingeniería MIT Press. 2014. ISBN 9780262526548 . 
• Dmitry Budker, Alexander O. Sushkov, Física en tus pies. Preguntas del examen de posgrado de Berkeley, Oxford University Press. 2015. ISBN 978-0199681655 . 
• Rob Eastaway, Matemáticas en el reverso de un sobre: ​​formas inteligentes de calcular (aproximadamente) cualquier cosa, HarperCollins. 2019. ISBN 978-0008324582 . 

• El Grupo de Educación en Física de la Universidad de Maryland mantiene una colección de problemas de Fermi.
• Preguntas de Fermi: una guía para profesores, estudiantes y supervisores de eventos por Lloyd Abrams.
• "¿Qué pasaría si... Pintar la Tierra?" del libro " ¿Qué pasaría si...? Respuestas científicas serias a preguntas hipotéticas absurdas" de Randall Munroe .
• Un ejemplo de un problema de Fermi relacionado con la gasolina total consumida por los automóviles desde la invención de los automóviles y una comparación con la producción de energía liberada por el sol.
• "Introducción a las estimaciones de Fermi" de Nuño Sempere, que contiene un bosquejo de prueba de por qué las descomposiciones al estilo Fermi producen mejores estimaciones.
• "¿Cómo se deben enseñar matemáticas a los no matemáticos?" por Timothy Gowers .

Existen o han existido varios cursos de nivel universitario dedicados a la estimación y la solución de problemas de Fermi. Los materiales de estos cursos son una buena fuente de ejemplos adicionales de problemas de Fermi y material sobre estrategias de solución:

• 6.055J / 2.038J El arte de la aproximación en ciencia e ingeniería impartido por Sanjoy Mahajan en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT).
• Física en el reverso de un sobre, impartido por Lawrence Weinstein en la Universidad Old Dominion .
• Física del orden de magnitud impartida por Sterl Phinney en el Instituto de Tecnología de California .
• Estimación del orden de magnitud impartida por Patrick Chuang en la Universidad de California, Santa Cruz .
• Resolución de problemas de orden de magnitud impartido por Linda Strubbe en la Universidad de Toronto .
• Física del orden de magnitud enseñada por Eugene Chiang en la Universidad de California, Berkeley .
• Capítulo 2: Descubrimientos en el reverso de un sobre de Fronteras de la Ciencia: Hábitos científicos de la mente, impartido por David Helfand en la Universidad de Columbia .