Polinomio disperso

En matemáticas, un polinomio disperso (también polinomio lacunar ^{[ 1 ]} o pocos términos ^{[ 2 ]} ) es un polinomio que tiene muchos menos términos de los que sugerirían su grado y número de variables . Por ejemplo,${\displaystyle x^{10}+3x^{3}+1}$es un polinomio disperso, ya que es un trinomio con un grado de${\displaystyle 10}$.

La motivación para estudiar polinomios dispersos es concentrarse en la estructura de los monomios de un polinomio en lugar de su grado, como se puede ver, por ejemplo, al comparar el teorema de Bernstein-Kushnirenko con el teorema de Bézout . La investigación sobre polinomios dispersos también ha incluido trabajos sobre algoritmos cuyo tiempo de ejecución crece en función del número de términos en lugar del grado, ^{[ 3 ]} para problemas que incluyen la multiplicación de polinomios ^{[ 4 ] [ 5 ]} , la división , ^{[ 6 ]} algoritmos de búsqueda de raíces , ^{[ 7 ]} y el máximo común divisor de polinomios . ^{[ 8 ]} Los polinomios dispersos también se han utilizado en matemáticas puras, especialmente en el estudio de grupos de Galois , porque ha sido más fácil determinar los grupos de Galois de ciertas familias de polinomios dispersos que para otros polinomios. ^{[ 9 ]}

Las variedades algebraicas determinadas por polinomios dispersos tienen una estructura simple, que también se refleja en la estructura de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales relacionadas . ^{[ 2 ]} Además, existe un teorema de positividad dispersa para polinomios dispersos univariados. Este teorema establece que la no negatividad de un polinomio puede certificarse mediante polinomios SOS cuyo grado solo depende del número de monomios del polinomio. ^{[ 10 ]}

Los polinomios dispersos suelen aparecer en ecuaciones de suma o diferencia de potencias. La suma de dos cubos establece que${\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}$. Aquí${\displaystyle x^{3}+y^{3}}$es un polinomio disperso, ya que de entre los${\displaystyle 16}$términos posibles, solamente${\displaystyle 2}$aparecen. Otros ejemplos incluyen las identidades${\displaystyle (xy)\sum _ {k=0}^{N-1}x^{k}y^{N-1-k}=x^{N}-y^{N}}$y también${\displaystyle (x+y)\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}x^{k}y^{2n-k}=x^{2n+1}+y^{2n+1},}$donde el producto de dos polinomios da un polinomio disperso. La forma normal de Bring-Jerrard de un polinomio quíntico,${\displaystyle x^{5}+px+q,}$También es un polinomio disperso.

• Askold Khovanskii , uno de los principales contribuyentes a la teoría de los fewnomiales.