Secuencia de marionetas

En matemáticas , la sucesión de Puppe es una construcción de la teoría de la homotopía , llamada así en honor a Dieter Puppe . Se presenta en dos formas: una sucesión exacta larga , construida a partir de la fibra de mapeo (una fibración ), y una sucesión coexacta larga, construida a partir del cono de mapeo (que es una cofibración ). ^{[ 1 ]} Intuitivamente, la sucesión de Puppe nos permite pensar en la teoría de la homología como un functor que transforma espacios en sucesiones exactas largas de grupos. También es útil como herramienta para construir sucesiones exactas largas de grupos de homotopía relativa .

Secuencia exacta de la marioneta

Una secuencia de espacios puntiagudos y mapas puntiagudos $\dots \to X_{n+1}\to X_{n}\to X_{n-1}\to \dots$ Se denomina exacto si la secuencia inducida $\dots \to [Z,X_{n+1}]\to [Z,X_{n}]\to [Z,X_{n-1}]\to \dots$ es exacto como una secuencia de conjuntos apuntados (tomando como núcleo de una aplicación aquellos elementos mapeados al punto base) para cada espacio apuntado $Z$ .

Dejar $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ sea un mapa continuo entre espacios señalados y deje que $Mf$ Denotemos la fibra de mapeo (la fibración dual al cono de mapeo ). Entonces se obtiene una secuencia exacta:

Mf\to X\to Y

donde la fibra de mapeo se define como: ^{[ 1 ]}

Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ y }}\omega (1)=f(x)\}

Observe que el espacio de bucle $\Omega Y$ inyecta en la fibra de mapeo: $\Omega Y\to Mf$ , ya que consta de aquellos mapas que comienzan y terminan en el punto base. $y_{0}$ Entonces se puede demostrar que la secuencia anterior se extiende a la secuencia más larga.

\Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

La construcción se puede iterar para obtener la secuencia exacta de Puppe.

\cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y

La secuencia exacta suele ser más conveniente que la secuencia coexacta en aplicaciones prácticas, como explica Joseph J. Rotman : ^{[ 1 ]}

Las diversas construcciones (de la secuencia coexacta) involucran espacios cociente en lugar de subespacios, por lo que todos los mapas y homotopías requieren un escrutinio más minucioso para asegurar que estén bien definidos y sean continuos.

Ejemplos

Ejemplo: Homotopía relativa

Como caso especial, ^{[ 1 ]} se puede tomar X como un subespacio A de Y que contiene el punto base y ₀ , y f como la inclusión $i:A\hookrightarrow Y$ de A en Y. Entonces se obtiene una sucesión exacta en la categoría de espacios apuntados :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \left[S^{0},Mi\right]\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

donde el $\pi _{n}$ son los grupos de homotopía , $S^{0}$ es la esfera cero (es decir, dos puntos) y $[U,W]$ denota la equivalencia homotópica de las aplicaciones de U a W. Nótese que $\pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)$ Entonces se puede demostrar que

\left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi)\right]=\left[S^{n},Mi\right]=\pi _{n}(Mi)

está en biyección con el grupo de homotopía relativa $\pi _{n+1}(Y,A)$ , dando lugar así a la secuencia de homotopía relativa de pares

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(A)\to \pi _{n+1}(Y)\to \pi _{n+1}(Y,A)\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(Y)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(A)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,A)\to \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(Y)\end{aligned}}

El objeto $\pi _{n}(Y,A)$ es un grupo para $n\geq 2$ y es abeliano para $n\geq 3$ .

Ejemplo: Fibración

Como caso especial, ^{[ 1 ]} se puede tomar f como una fibración $p:E\to B$ . Entonces la fibra de mapeo Mp tiene la propiedad de levantamiento de homotopía y se deduce que Mp y la fibra $F=p^{-1}(b_{0})$ tienen el mismo tipo de homotopía . De ello se deduce trivialmente que los mapas de la esfera en Mp son homotópicos a los mapas de la esfera en F , es decir,

\pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp\right]\simeq \left[S^{n},F\right]=\pi _{n}(F).

A partir de esto, la secuencia de Puppe da la secuencia de homotopía de una fibración :

{\begin{aligned}\cdots &\to \pi _{n+1}(E)\to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \cdots \\\cdots &\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)\to \pi _{0}(B)\end{aligned}}

Ejemplo: Fibración débil

Las fibraciones débiles son estrictamente más débiles que las fibraciones, sin embargo, el resultado principal anterior sigue siendo válido, aunque la demostración debe modificarse. La observación clave, debida a Jean-Pierre Serre , es que, dada una fibración débil $p\colon E\to B$ y la fibra en el punto base dada por $F=p^{-1}(b_{0})$ , que existe una biyección

p_{*}\colon \pi _{n}(E,F)\to \pi _{n}(B,b_{0})

.

Esta biyección se puede utilizar en la secuencia de homotopía relativa anterior para obtener la secuencia de homotopía de una fibración débil , que tiene la misma forma que la secuencia de fibración, aunque con un mapa de conexión diferente.

Secuencia de Puppe Coexacta

Dejar $f\colon A\to B$ ser un mapa continuo entre complejos CW y dejar $C(f)$ denotemos un cono de mapeo de f , (es decir, la cofibra del mapeo f ), de modo que tengamos una secuencia (de cofibra):

A\to B\to C(f)

.

Ahora podemos formar $\Sigma A$ y $\Sigma B,$ suspensiones de A y B respectivamente, y también $\Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B$ (esto se debe a que la suspensión podría verse como un functor ), obteniendo una secuencia:

\Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)

.

Cabe destacar que la suspensión preserva las secuencias de cofibras.

Debido a este poderoso hecho sabemos que $C(\Sigma f)$ ¿Es la homotopía equivalente a? $\Sigma C(f).$ Al colapsar $B\subset C(f)$ Hasta cierto punto, uno tiene un mapa natural. $C(f)\to \Sigma A.$ Así pues, tenemos una secuencia:

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).

Iterando esta construcción, obtenemos la secuencia de Puppe asociada a $A\to B$ :

A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots

Algunas propiedades y consecuencias

Es un ejercicio sencillo de topología ver que cada tres elementos de una secuencia de Puppe son, salvo homotopía, de la forma:

X\to Y\to C(f)

.

Por "hasta una homotopía", queremos decir aquí que cada 3 elementos en una secuencia de Puppe son de la forma anterior si se consideran como objetos y morfismos en la categoría de homotopía .

Si ahora se da un functor topológico semi-exacto , la propiedad anterior implica que, después de actuar con el functor en cuestión sobre la secuencia de Puppe asociada a $A\to B$ , se obtiene una secuencia exacta larga .

Un resultado, debido a John Milnor , ^{[ 2 ]} es que si se toman los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la teoría de homología , y se reemplaza la escisión por la secuencia exacta de una fibración débil de pares, entonces se obtiene la analogía homotópica del teorema de Eilenberg-Steenrod : existe una secuencia única de functores $\pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}$ donde P es la categoría de todos los pares apuntados de espacios topológicos.

Observaciones

Como hay dos "tipos" de suspensión , no reducida y reducida , también se pueden considerar secuencias de Puppe no reducidas y reducidas (al menos si se trata de espacios con punto , cuando es posible formar una suspensión reducida).

Referencias

1 2 3 4 5 Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Véase el capítulo 11 para la construcción).
↑ John Milnor "Construcción de haces universales I" (1956) Anales de Matemáticas , 63 pp. 272-284.

Edwin Spanier , Topología algebraica , Springer-Verlag (1982) Reimpresión, McGraw Hill (1966)

[rotman-1] 1 2 3 4 5 Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1(Véase el capítulo 11 para la construcción).

[2] John Milnor "Construcción de haces universales I" (1956) Anales de Matemáticas , 63 pp. 272-284.

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