homomorfismo de módulos

En álgebra , un homomorfismo de módulos es una función entre módulos que preserva las estructuras de los módulos. Explícitamente, si M y N son módulos izquierdos sobre un anillo R , entonces una función${\displaystyle f:M\to N}$se denomina homomorfismo de R - módulo o aplicación lineal de R si para cualesquiera x , y en M y r en R ,

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

En otras palabras, f es un homomorfismo de grupo (para los grupos aditivos subyacentes) que conmuta con la multiplicación escalar . Si M y N son R -módulos derechos, entonces la segunda condición se reemplaza por

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

La preimagen del elemento cero bajo f se llama núcleo de f . El conjunto de todos los homomorfismos de módulos de M a N se denota por${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$. Es un grupo abeliano (bajo la suma puntual) pero no es necesariamente un módulo a menos que R sea conmutativo .

La composición de homomorfismos de módulos es también un homomorfismo de módulos, y la aplicación identidad en un módulo es un homomorfismo de módulos. Por lo tanto, todos los módulos (digamos, los de la izquierda) junto con todos los homomorfismos de módulos entre ellos forman la categoría de módulos .

Un homomorfismo de módulos se denomina isomorfismo de módulos si admite un homomorfismo inverso; en particular, es una biyección . Recíprocamente, se puede demostrar que un homomorfismo de módulos biyectivo es un isomorfismo; es decir, su inverso es un homomorfismo de módulos. En particular, un homomorfismo de módulos es un isomorfismo si y solo si es un isomorfismo entre los grupos abelianos subyacentes.

Los teoremas de isomorfismo son válidos para los homomorfismos de módulos.

Un homomorfismo de módulos de un módulo M a sí mismo se llama endomorfismo y un isomorfismo de M a sí mismo se llama automorfismo . Se escribe${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$para el conjunto de todos los endomorfismos de un módulo M. No solo es un grupo abeliano, sino también un anillo con multiplicación dada por composición de funciones, llamado anillo de endomorfismos de M. El grupo de unidades de este anillo es el grupo de automorfismos de M.

El lema de Schur establece que un homomorfismo entre módulos simples (módulos sin submódulos no triviales ) debe ser cero o un isomorfismo. En particular, el anillo de endomorfismos de un módulo simple es un anillo de división .

En el lenguaje de la teoría de categorías , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo y un homomorfismo sobreyectivo, epimorfismo .

• La aplicación cero M → N que asigna a cada elemento el valor cero.
• Una transformación lineal entre espacios vectoriales .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Para un anillo conmutativo R e ideales I , J , existe la identificación canónica

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

dado por${\displaystyle f\mapsto f(1)}$. En particular,${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$es el aniquilador de I.

• Dado un anillo R y un elemento r , sea${\displaystyle l_{r}:R\to R}$denotemos la multiplicación izquierda por r . Entonces, para cualesquiera s , t en R ,

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

Eso es,${\displaystyle l_{r}}$es correcto R -lineal.

• Para cualquier anillo R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$como anillos cuando R se considera como un módulo derecho sobre sí mismo. Explícitamente, este isomorfismo viene dado por la representación regular izquierda.${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$.
  • Similarmente,${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$como anillos cuando R se considera como un módulo izquierdo sobre sí mismo. Los libros de texto u otras referencias suelen especificar qué convención se utiliza.
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$a través de${\displaystyle f\mapsto f(1)}$para cualquier módulo izquierdo M . ^{[ 1 ]} (La estructura de módulo en Hom aquí proviene de la acción derecha R sobre R ; ver #Estructuras de módulo en Hom más abajo.)
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$se denomina módulo dual de M ; es un módulo izquierdo (respectivamente, derecho) si M es un módulo derecho (respectivamente, izquierdo) sobre R con la estructura de módulo derivada de la acción de R sobre R. Se denota por${\displaystyle M^{*}}$.
• Dado un homomorfismo de anillos R → S de anillos conmutativos y un S -módulo M , una aplicación R -lineal θ: S → M se llama derivación si para cualesquiera f , g en S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
• Si S y T son álgebras asociativas unitarias sobre un anillo R , entonces un homomorfismo de álgebras de S a T es un homomorfismo de anillos que también es un homomorfismo de R -módulos.

En resumen, Hom hereda una acción de anillo que no se utilizó para formar Hom. Más precisamente, sean M y N R -módulos izquierdos . Supongamos que M tiene una acción derecha de un anillo S que conmuta con la acción de R ; es decir, M es un ( R , S )-módulo. Entonces

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

tiene la estructura de un S -módulo izquierdo definido por: para s en S y x en M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Está bien definido (es decir,${\displaystyle s\cdot f}$es R -lineal) ya que

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

y${\displaystyle s\cdot f}$es una acción de anillo ya que

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Nota: la verificación anterior "fallaría" si se utilizara la acción R izquierda en lugar de la acción S derecha . En este sentido, se suele decir que Hom "consume" la acción R.

De manera similar, si M es un R -módulo izquierdo y N es un ( R , S )-módulo, entonces${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$es un módulo S derecho por${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$.

La relación entre matrices y transformaciones lineales en álgebra lineal se generaliza de forma natural a homomorfismos de módulos entre módulos libres. Precisamente, dado un R -módulo derecho U , existe el isomorfismo canónico de los grupos abelianos.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

obtenido mediante visualización${\displaystyle U^{\oplus n}}$que consiste en vectores columna y luego escribir f como una matriz m × n . En particular, ver R como un R -módulo derecho y usar${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$, uno tiene

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

que resulta ser un isomorfismo de anillo (ya que una composición corresponde a una multiplicación de matrices ).

Nótese que el isomorfismo anterior es canónico; no implica ninguna elección. Por otro lado, si se nos da un homomorfismo de módulos entre módulos libres de rango finito , entonces la elección de una base ordenada corresponde a la elección de un isomorfismo.${\displaystyle F\simeq R^{n}}$El procedimiento anterior proporciona la representación matricial con respecto a dichas elecciones de bases. Para módulos más generales, las representaciones matriciales pueden carecer de unicidad o no existir.

En la práctica, a menudo se define un homomorfismo de módulos especificando sus valores en un conjunto generador . Más precisamente, sean M y N R -módulos izquierdos . Supongamos que un subconjunto S genera M ; es decir, existe una sobreyección.${\displaystyle F\to M}$con un módulo libre F con una base indexada por S y núcleo K (es decir, se tiene una presentación libre ). Entonces, para dar un homomorfismo de módulos${\displaystyle M\to N}$es dar un homomorfismo de módulos${\displaystyle F\to N}$que mata a K (es decir, asigna K a cero).

Si${\displaystyle f:M\to N}$y${\displaystyle g:M'\to N'}$son homomorfismos de módulos, entonces su suma directa es

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

y su producto tensorial es

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Dejar${\displaystyle f:M\to N}$Sea un homomorfismo de módulos entre módulos izquierdos. El grafo Γ _f de f es el submódulo de M ⊕ N dado por

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

que es la imagen del homomorfismo de módulos M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), llamado morfismo de grafos .

La transpuesta de f es

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Si f es un isomorfismo, entonces la transpuesta de la inversa de f se llama contragrediente de f .

Consideremos una secuencia de homomorfismos de módulos.

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Dicha secuencia se denomina cadena compleja (o a menudo simplemente compleja) si cada composición es cero; es decir,${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$o equivalentemente la imagen de${\displaystyle f_{i+1}}$está contenido en el núcleo de${\displaystyle f_{i}}$. (Si los números aumentan en lugar de disminuir, entonces se llama complejo de cocadenas; por ejemplo, complejo de De Rham ). Un complejo de cadenas se llama secuencia exacta si${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$Un caso especial de una sucesión exacta es una sucesión exacta corta:

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

dónde${\displaystyle f}$es inyectivo, el núcleo de${\displaystyle g}$es la imagen de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$es sobreyectiva.

Cualquier homomorfismo de módulo${\displaystyle f:M\to N}$define una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

dónde${\displaystyle K}$es el núcleo de${\displaystyle f}$, y${\displaystyle C}$es el cokernel , es decir, el cociente de${\displaystyle N}$por la imagen de${\displaystyle f}$.

En el caso de módulos sobre un anillo conmutativo , una sucesión es exacta si y solo si es exacta en todos los ideales máximos ; es decir, todas las sucesiones

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

son exactos, donde el subíndice${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$significa la localización en un ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Si${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$son homomorfismos de módulos, entonces se dice que forman un cuadrado de fibra (o cuadrado de retroceso ), denotado por M × _B N , si cabe en

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

dónde${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$.

Ejemplo: Deje${\displaystyle B\subset A}$Sean anillos conmutativos, y sea I el anulador del módulo cociente B -módulo A / B (que es un ideal de A ). Entonces, los mapas canónicos${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$formar un cuadrado de fibra con${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Dejar${\displaystyle \phi :M\to M}$Sea un endomorfismo entre R -módulos finitamente generados para un anillo conmutativo R. Entonces

• ${\displaystyle \phi }$es destruido por su polinomio característico relativo a los generadores de M ; véase el lema de Nakayama#Prueba .
• Si${\displaystyle \phi }$Si es sobreyectiva, entonces es inyectiva. ^{[ 2 ]}

Véase también: Cociente de Herbrand (que puede definirse para cualquier endomorfismo con ciertas condiciones de finitud).

Una relación aditiva${\displaystyle M\to N}$de un módulo M a un módulo N es un submódulo de${\displaystyle M\oplus N.}$^{[ 3 ]} En otras palabras, es un homomorfismo "multivaluado" definido en algún submódulo deM.El inverso${\displaystyle f^{-1}}$de f es el submódulo${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$Cualquier relación aditiva f determina un homomorfismo de un submódulo de M a un cociente de N.

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

dónde${\displaystyle D(f)}$consiste en todos los elementos x en M tales que ( x , y ) pertenece a f para algún y en N .

Una transgresión que surge de una secuencia espectral es un ejemplo de relación aditiva.

• Cono de mapeo (álgebra homológica)
• Forma normal de Smith
• Complejo de cadena
• Emparejamiento