Fractal de palabras de Fibonacci

El fractal de palabras de Fibonacci es una curva fractal definida en el plano a partir de la palabra de Fibonacci .

Esta curva se construye iterativamente aplicando la regla de dibujo par-impar a la palabra de Fibonacci 0100101001001...:

Para cada dígito en la posición k :

1. Si el dígito es 0:
   • Dibuja un segmento de línea y luego gira 90° a la izquierda si k es par.
   • Dibuja un segmento de línea y luego gira 90° a la derecha si k es impar.
2. Si el dígito es 1:
   • Dibuja un segmento de línea y mantente recto.

A una palabra de Fibonacci de longitud${\displaystyle F_{n}}$(el n ^-ésimo número de Fibonacci ) está asociado a una curva${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$hecho de${\displaystyle F_{n}}$segmentos. La curva muestra tres aspectos diferentes, ya sea que n tenga la forma 3k , 3k +  1 o 3k  +  2.

Algunas de las propiedades del fractal de palabras de Fibonacci incluyen: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• La curva${\displaystyle {\mathcal {F_{n}}}}$contiene${\displaystyle F_{n}}$segmentos,${\displaystyle F_{n-1}}$ángulos rectos y${\displaystyle F_{n-2}}$ángulos planos.
• La curva nunca se autointerseca y no contiene puntos dobles. En el límite, contiene una infinidad de puntos asintóticamente cercanos.
• La curva presenta autosimilitudes en todas las escalas. La relación de reducción es${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$Este número, también llamado proporción de plata , está presente en una gran cantidad de propiedades que se enumeran a continuación.
• El número de autosimilitudes en el nivel n es un número de Fibonacci \  −1. (más precisamente:${\displaystyle F_{3n+3}-1}$).
• La curva encierra una infinidad de estructuras cuadradas de tamaños decrecientes en una proporción${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$(véase la figura). El número de esas estructuras cuadradas es un número de Fibonacci.
• La curva${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$También se puede construir de diferentes maneras (ver galería a continuación):
  • Sistema de función iterada de homotecia de 4 y 1 razón${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})}$y${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$
  • Uniendo las curvas${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-2}}$
  • Sistema Lindenmayer
  • Mediante una construcción iterativa de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
  • Mediante una construcción iterativa de octógonos
• La dimensión de Hausdorff del fractal de palabras de Fibonacci es${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379}$, con${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$la proporción áurea .
• Generalizar a un ángulo${\displaystyle \alpha }$entre 0 y${\displaystyle \pi /2}$, su dimensión Hausdorff es${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$, con${\displaystyle a=\cos \alpha }$.
• La dimensión Hausdorff de su frontera es${\displaystyle {\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465}$.
• Al intercambiar los roles de "0" y "1" en la palabra de Fibonacci, o en la regla de dibujo, se obtiene una curva similar, pero orientada a 45°.
• A partir de la palabra de Fibonacci, se puede definir la «palabra densa de Fibonacci», sobre un alfabeto de 3 letras: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (secuencia A143667 en la OEIS ) . El uso, sobre esta palabra, de una regla de dibujo más simple, define un conjunto infinito de variantes de la curva, entre las cuales:
  • una "variante diagonal"
  • una "variante de esvástica"
  • una "variante compacta"
• Se conjetura que el fractal de palabras de Fibonacci aparece para cada palabra sturmiana para la cual la pendiente, escrita en expansión de fracción continua , termina con una secuencia infinita de  "1".

• 
  Curva después${\displaystyle \textstyle {F_ {23}}}$iteraciones.
• 
  Autosimilitudes a diferentes escalas.
• 
  Dimensiones.
• 
  Construcción por yuxtaposición (1)
• 
  Construcción por yuxtaposición (2)
• 
  Orden 18, con algunos subrectángulos coloreados.
• 
• 
  Construcción mediante la supresión iterativa de patrones cuadrados.
• 
  Construcción mediante octógonos iterados.
• 
  Construcción mediante la colección iterativa de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
• 
  Con un ángulo de 60°.
• 
  Inversión de "0" y "1".
• 
  Variantes generadas a partir de la densa palabra de Fibonacci.
• 
  La "variante compacta"
• 
  La "variante esvástica"
• 
  La "variante diagonal"
• 
  La " variante π /8"
• 
  Creación del artista (Samuel Monnier).

La yuxtaposición de cuatro${\displaystyle F_{3k}}$Las curvas permiten construir una curva cerrada que encierra una superficie cuya área no es nula. Esta curva se denomina "teselado de Fibonacci".

• La tesela de Fibonacci casi cubre todo el plano. La yuxtaposición de 4 teselas (véase la ilustración) deja en el centro un cuadrado libre cuya área tiende a cero cuando k tiende a infinito. En el límite, la tesela de Fibonacci infinita cubre completamente el plano.
• Si la baldosa está encerrada en un cuadrado de lado 1, entonces su área tiende a${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}=0.5857}$.

Copo de nieve de Fibonacci

El copo de nieve de Fibonacci es una tesela de Fibonacci definida por: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$si${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {3}}}$
• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$de lo contrario.

con${\displaystyle q_{0}=\epsilon }$y${\displaystyle q_{1}=R}$,${\displaystyle L=}$"gire a la izquierda" y${\displaystyle R=}$"gire a la derecha" y${\displaystyle {\overline {R}}=L}$.

Varias propiedades notables: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• Se trata de la tesela de Fibonacci asociada a la "variante diagonal" definida previamente.
• Recubre el plano en cualquier orden.
• Recubre el plano mediante traslación de dos maneras diferentes.
• su perímetro en el orden n es igual a${\displaystyle 4F(3n+1)}$, dónde${\displaystyle F(n)}$es el n- ^ésimo número de Fibonacci .
• Su área en el orden n sigue los índices sucesivos de la fila impar de la secuencia de Pell (definida por${\displaystyle P(n)=2P(n-1)+P(n-2)}$).

• proporción áurea
• Número de Fibonacci
• Fibonacci palabra
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

• " Generar un fractal de palabras de Fibonacci ", OnlineMathTools.com .