espiral dorada

En geometría , una espiral áurea es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ , la proporción áurea . ^{[ 1 ]} Es decir, una espiral áurea se ensancha (o se aleja de su origen) por un factor de φ por cada cuarto de vuelta que da.

Hay varias espirales comparables que se aproximan, pero no son exactamente iguales, a una espiral áurea. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, una espiral áurea puede aproximarse comenzando con un rectángulo cuya relación entre longitud y anchura sea la proporción áurea. Este rectángulo puede dividirse en un cuadrado y otro rectángulo similar , y este último puede dividirse de la misma manera. Tras repetir este proceso un número arbitrario de veces, se obtendrá una partición casi completa del rectángulo en cuadrados. Las esquinas de estos cuadrados pueden conectarse mediante cuartos de círculo . El resultado, aunque no es una espiral logarítmica verdadera , se aproxima bastante a una espiral áurea. ^{[ 2 ]}

Otra aproximación es la espiral de Fibonacci , cuya construcción difiere ligeramente. Una espiral de Fibonacci comienza con un rectángulo dividido en dos cuadrados. En cada paso, se añade al rectángulo un cuadrado de la longitud del lado más largo. Dado que la proporción entre números de Fibonacci consecutivos se aproxima a la proporción áurea a medida que los números de Fibonacci tienden al infinito, esta espiral también se asemeja cada vez más a la aproximación anterior a medida que se añaden más cuadrados, como se ilustra en la imagen.

Un estudio exploró la preferencia estética entre diferentes espirales, centrándose en la espiral áurea y la espiral de Fibonacci. En un experimento en línea con 106 participantes, se encontró que la espiral áurea era significativamente preferida sobre la espiral de Fibonacci (79,2 % frente a 20,8 %), principalmente debido a la continuidad de su curvatura . ^{[ 3 ]}

A veces se afirma erróneamente que las galaxias espirales y las conchas de nautilo se ensanchan siguiendo el patrón de una espiral áurea, y por lo tanto están relacionadas tanto con φ como con la serie de Fibonacci. ^{[ 4 ]} En realidad, muchas conchas de moluscos, incluidas las de nautilo, exhiben un crecimiento espiral logarítmico, pero en una variedad de ángulos generalmente distintos del de la espiral áurea. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Aunque las galaxias espirales a menudo se han modelado como espirales logarítmicas, espirales arquimedianas o espirales hiperbólicas , sus ángulos de inclinación varían con la distancia al centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las cuales este ángulo no varía), y también en discrepancia con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlas. ^{[ 8 ]} La filotaxis , el patrón de crecimiento de las plantas, está en algunos casos conectada con la proporción áurea porque implica que las hojas o pétalos sucesivos estén separados por el ángulo áureo . Aunque esto a veces puede asociarse con formas espirales, como en las cabezas de las semillas de girasol , ^{[ 9 ]} estas están más estrechamente relacionadas con las espirales de Fermat que con las espirales logarítmicas. ^{[ 10 ]}

Una espiral áurea con radio inicial 1 es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas polares.${\displaystyle (r,\theta )}$satisfactorio $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi },}$$ dónde${\displaystyle \varphi }$es la proporción áurea. Esto significa que r se multiplica por un factor de${\displaystyle \varphi }$cada 90 grados girados.

La ecuación polar para una espiral áurea es la misma que para otras espirales logarítmicas , pero con un valor especial del factor de crecimiento b : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ o $${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$$ donde e es la base de los logaritmos naturales , a es el radio inicial de la espiral y b es tal que cuando θ es un ángulo recto (un cuarto de vuelta en cualquier dirección): $${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {derecha} }}=\varphi .}$$

Por lo tanto, b viene dado por $${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _ {\mathrm {derecha} }}.}$$

El valor numérico de b depende de si el ángulo recto se mide como 90 grados o como${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$radianes ; y dado que el ángulo puede estar en cualquier dirección, es más fácil escribir la fórmula para el valor absoluto de b (es decir, b también puede ser el negativo de este valor): $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468}$$ para θ en grados, o $${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489}$$ para θ en radianes. ^{[ 12 ]}

Una fórmula alternativa para una espiral logarítmica y áurea es ^{[ 13 ].}$${\displaystyle r=ac^{\theta }}$$ donde la constante c viene dada por $${\displaystyle c=e^{b}}$$ lo que para la espiral áurea da valores c de $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$$ si θ se mide en grados, y $${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456}$$ si θ se mide en radianes. ^{[ 14 ]}

Con respecto a las espirales logarítmicas, la espiral áurea tiene la propiedad distintiva de que para cuatro puntos espirales colineales A , B , C , D pertenecientes a los argumentos θ , θ + π , θ + 2π , θ + 3π el punto C es el conjugado armónico proyectivo de B con respecto a A , D , es decir, la razón cruzada ( A , D ; B , C ) tiene el valor singular −1. La espiral áurea es la única espiral logarítmica con ( A , D ; B , C ) = ( A , D ; C , B ).

Pendiente polar

En la ecuación polar para una espiral logarítmica : $${\displaystyle r=ae^{b\theta }}$$ El parámetro b está relacionado con el ángulo de pendiente polar.${\displaystyle \alpha }$: $${\displaystyle \tan \alpha =b.}$$

En una espiral dorada,${\displaystyle b}$siendo constante e igual a${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}$(para θ en radianes, como se definió anteriormente), el ángulo de pendiente${\displaystyle \alpha }$es $${\displaystyle \alpha =\arctan(|b|)=\arctan \left({\ln {\varphi } \over \pi /2}\right),}$$ por eso $${\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113}$$ si se mide en grados, o $${\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047}$$ si se mide en radianes. ^{[ 15 ]}

Su ángulo complementario$${\displaystyle \beta =\pi /2-\alpha \doteq 1.273525022}$$ en radianes, o $${\displaystyle \beta =90-\alpha \doteq 73}$$ En grados, es el ángulo que forman los brazos de la espiral áurea con una línea que parte del centro de la espiral.

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