Fractal de la palabra Fibonacci

La palabra fractal de Fibonacci es una curva fractal definida en el plano de la palabra de Fibonacci .

Esta curva se construye iterativamente aplicando la regla de dibujo de pares e impares a la palabra de Fibonacci 0100101001001...:

Para cada dígito en la posición k :

1. Dibujar un segmento hacia adelante
2. Si el dígito es 0:
   • Girar 90° a la izquierda si k es par
   • Girar 90° a la derecha si k es impar

A una palabra de Fibonacci de longitud (el n- ^ésimo número de Fibonacci ) se le asocia una curva formada por segmentos. La curva muestra tres aspectos diferentes, independientemente de si n tiene la forma 3 k , 3 k  + 1 o 3 k  + 2. $Estilo de visualización F_{n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$$Estilo de visualización F_{n}$

Algunas de las propiedades del fractal de Fibonacci incluyen: ^{[2] [3]}

• La curva contiene segmentos, ángulos rectos y ángulos planos.${\displaystyle {\mathcal {F_{n}}}}$$Estilo de visualización F_{n}$$Estilo de visualización F_{n-1}}$$Estilo de visualización F_{n-2}}$
• La curva nunca se corta a sí misma y no contiene puntos dobles. En el límite, contiene una infinidad de puntos asintóticamente cercanos.
• La curva presenta autosimilitudes en todas las escalas. El índice de reducción es . Este número, también llamado índice de plata , está presente en un gran número de propiedades que se enumeran a continuación.${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
• El número de autosimilitudes en el nivel n es un número de Fibonacci \ −1. (más precisamente: ).$Estilo de visualización F_{3n+3}-1$
• La curva encierra una infinidad de estructuras cuadradas de tamaño decreciente en proporción (ver figura). El número de esas estructuras cuadradas es un número de Fibonacci.${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
• La curva también se puede construir de diferentes maneras (ver galería a continuación): ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$
  • Sistema de funciones iteradas de homotecia de razón 4 y 1 y${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})}$${\displaystyle 1/(1+{\sqrt {2}})^{2}}$
  • Uniendo las curvas y${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-2}}$
  • Sistema Lindenmayer
  • Mediante una construcción iterada de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
  • Mediante una construcción iterada de octágonos
• La dimensión de Hausdorff del fractal de la palabra Fibonacci es , con la proporción áurea .${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\aproximadamente 1,6379}$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
• Generalizando a un ángulo entre 0 y , su dimensión de Hausdorff es , con .${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle 3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}}$${\displaystyle a=\cos \alpha}$
• La dimensión de Hausdorff de su frontera es .${\displaystyle {\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\aproximadamente 1,2465}$
• Intercambiando los roles de "0" y "1" en la palabra de Fibonacci, o en la regla del dibujo, se obtiene una curva similar, pero orientada a 45°.
• A partir de la palabra Fibonacci, se puede definir la «palabra densa de Fibonacci», en un alfabeto de 3 letras: 10221022110211021102210221102110221022102211021... (secuencia A143667 en la OEIS ). El uso, en esta palabra, de una regla de dibujo más simple, define un conjunto infinito de variantes de la curva, entre las que se encuentran:
  • una "variante diagonal"
  • Una "variante de la esvástica"
  • una "variante compacta"
• Se conjetura que la palabra fractal de Fibonacci aparece para cada palabra sturmiana cuya pendiente, escrita en expansión de fracción continua , termina con una secuencia infinita de "1".

• 
  Curva después de iteraciones.${\displaystyle \textstyle {F_{23}}}$
• 
  Autosimilitudes a diferentes escalas.
• 
  Dimensiones.
• 
  Construcción por yuxtaposición (1)
• 
  Construcción por yuxtaposición (2)
• 
  Orden 18, con algunos subrectángulos coloreados.
• 
• 
  Construcción por supresión iterada de patrones cuadrados.
• 
  Construcción mediante octógonos iterados.
• 
  Construcción mediante colección iterada de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
• 
  Con un ángulo de 60°.
• 
  Inversión de "0" y "1".
• 
  Variantes generadas a partir de la densa palabra Fibonacci.
• 
  La "variante compacta"
• 
  La "variante esvástica"
• 
  La "variante diagonal"
• 
  La variante "π/8"
• 
  Creación del artista (Samuel Monnier).

La yuxtaposición de cuatro curvas permite construir una curva cerrada que encierra una superficie cuya área no es nula. Esta curva se denomina "baldosa de Fibonacci". $Estilo de visualización F_{3k}}$

• La tesela de Fibonacci casi tesela el plano. La yuxtaposición de 4 teselas (ver ilustración) deja en el centro un cuadrado libre cuya área tiende a cero cuando k tiende a infinito. En el límite, la tesela infinita de Fibonacci tesela el plano.
• Si la baldosa está encerrada en un cuadrado de lado 1, entonces su área tiende a .${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}=0,5857}$

El copo de nieve de Fibonacci es una tesela de Fibonacci definida por: ^[5]

• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}}$si${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {3}}}$
• ${\displaystyle q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}}$de lo contrario.

con y , "girar a la izquierda" y "girar a la derecha", y . ${\displaystyle q_{0}=\epsilon}$$estilo de visualización q_{1}=R}$${\estilo de visualización L=}$${\estilo de visualización R=}$${\displaystyle {\overline {R}}=L}$

Varias propiedades notables: ^{[5] [6]}

• Es la tesela de Fibonacci asociada a la “variante diagonal” definida anteriormente.
• Tesela el plano en cualquier orden.
• Teselar el plano por traslación de dos maneras diferentes.
• su perímetro de orden n es igual a , donde es el n- ^ésimo número de Fibonacci .${\estilo de visualización 4F(3n+1)}$${\estilo de visualización F(n)}$
• su área de orden n sigue los índices sucesivos de la fila impar de la secuencia de Pell (definida por ).${\displaystyle P(n)=2P(n-1)+P(n-2)}$

• Proporción áurea
• Número de Fibonacci
• Palabra de Fibonacci
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff

• "Generar un fractal de palabras de Fibonacci", OnlineMathTools.com .