Extensión de campo

En matemáticas , particularmente en álgebra , una extensión de cuerpo es un par de cuerpos.${\displaystyle K\subseteq L}$, de tal manera que las operaciones de K son las de L restringidas a K. En este caso, L es un cuerpo de extensión ^{de K, y K es un subcuerpo de L. [ 1} ] [ 2 ] [ 3 ] Por ejemplo ^{, bajo las nociones usuales de suma y} multiplicación , los números complejos son un cuerpo de extensión de los números reales ; los números reales son un subcuerpo de los números complejos.

Las extensiones de campo son fundamentales en la teoría algebraica de números y en el estudio de las raíces de polinomios a través de la teoría de Galois , y se utilizan ampliamente en la geometría algebraica .

Un subcampo${\displaystyle K}$de un campo${\displaystyle L}$es un subconjunto${\displaystyle K\subseteq L}$que es un campo con respecto a las operaciones de campo heredadas de${\displaystyle L}$De forma equivalente, un subcampo es un subconjunto que contiene la identidad multiplicativa.${\displaystyle 1}$y es cerrado bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación y tomar el inverso de un elemento distinto de cero de${\displaystyle K}$.

Como 1 – 1 = 0 , la última definición implica${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$tienen el mismo elemento cero .

Por ejemplo, el campo de los números racionales es un subcampo de los números reales , que a su vez es un subcampo de los números complejos. De manera más general, el campo de los números racionales es (o es isomorfo a) un subcampo de cualquier campo de característica${\displaystyle 0}$.

La característica de un subcampo es la misma que la característica del campo más grande.

Si${\displaystyle K}$es un subcampo de${\displaystyle L}$, entonces${\displaystyle L}$es un campo de extensión o simplemente extensión de${\displaystyle K}$y este par de campos es una extensión de campo . Dicha extensión de campo se denota${\displaystyle L/K}$(léase como "${\displaystyle L}$encima${\displaystyle K}$").

Si${\displaystyle L}$es una extensión de${\displaystyle F}$, que a su vez es una extensión de${\displaystyle K}$, entonces${\displaystyle F}$Se dice que es un campo intermedio (o extensión intermedia o subextensión ) de${\displaystyle L/K}$.

Dado un campo de extensión${\displaystyle L/K}$, el campo más grande${\displaystyle L}$es un${\displaystyle K}$- espacio vectorial . La dimensión de este espacio vectorial se llama grado de extensión y se denota por${\displaystyle [L:K]}$.

El grado de una extensión es 1 si y solo si los dos campos son iguales. En este caso, la extensión es unaExtensión trivial . Las extensiones de grado 2 y 3 se denominanextensiones cuadráticasycúbicas, respectivamente. Unaextensión finitaes una extensión de grado finito.

Dadas dos extensiones${\displaystyle L/K}$y${\displaystyle M/L}$, la extensión${\displaystyle M/K}$es finito si y solo si ambos${\displaystyle L/K}$y${\displaystyle M/L}$son finitos. En este caso, uno tiene

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Dado un campo de extensión${\displaystyle L/K}$y un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle L}$, existe un subcampo más pequeño de${\displaystyle L}$que contiene${\displaystyle K}$y${\displaystyle S}$Es la intersección de todos los subcampos de${\displaystyle L}$que contienen${\displaystyle K}$y${\displaystyle S}$y se denota por${\displaystyle K(S)}$(léase como "${\displaystyle K}$colindar${\displaystyle S}$"). Uno dice que${\displaystyle K(S)}$es el campo generado por${\displaystyle S}$encima${\displaystyle K}$y que${\displaystyle S}$es un conjunto generador de${\displaystyle K(S)}$encima${\displaystyle K}$. Cuando${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$es finito, escribe uno${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$en lugar de${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$y uno dice que${\displaystyle K(S)}$esgenerado finitamente sobre${\displaystyle K}$. Si${\displaystyle S}$consta de un solo elemento${\displaystyle s}$, la extensión${\displaystyle K(s)/K}$se denomina extensión simple ^{[ 4 ] [ 5 ]} y${\displaystyle s}$se denomina elemento primitivo de la extensión. ^{[ 6 ]}

Un campo de extensión del formulario${\displaystyle K(S)}$A menudo se dice que es el resultado de laadjunción de${\displaystyle S}$a${\displaystyle K}$. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

En característica cero, toda extensión finita es una extensión simple. Este es el teorema del elemento primitivo , que no se cumple para cuerpos de característica distinta de cero.

Si una extensión simple${\displaystyle K(s)/K}$no es finito, el campo${\displaystyle K(s)}$es isomorfo al campo de fracciones racionales en${\displaystyle s}$encima${\displaystyle K}$.

La notación L / K es puramente formal y no implica la formación de un anillo cociente o grupo cociente ni ningún otro tipo de división. En cambio, la barra diagonal expresa la palabra "sobre". Algunos autores usan las notaciones L  : K o L | K , mientras que otros pueden simplemente indicar verbalmente que${\displaystyle L\supset K}$es una extensión de campo. Las torres de extensiones a menudo se representan diagramáticamente. Por ejemplo, el diagrama a continuación representa la situación en la que L es una extensión de K y K es una extensión de F :

${\displaystyle {\begin{array}{c}L\\{\Big |}\\K\\{\Big |}\\F\end{array}}}$

A menudo resulta útil hablar de extensiones de cuerpo en situaciones donde el cuerpo menor no está contenido en el mayor, sino que está «naturalmente incrustado». Una incrustación natural es un homomorfismo de anillos inyectivo del cuerpo menor en el mayor, que es único o está definido de forma única por el contexto. Considerar dicha incrustación natural como una extensión de cuerpo es un abuso de la terminología que, con frecuencia, simplifica considerablemente la formulación.

Por ejemplo, existe un homomorfismo de campo único de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ , el campo de los números racionales, en cualquier campo de característica 0, y se suele decir que todo campo de característica cero es una extensión de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$Por otro lado, existen dos homomorfismos inyectivos del cuerpo .${\displaystyle K=\mathbb {Q} [X]/(X^{2}-X-1)}$en​​${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ , qué mapa ⁠${\displaystyle X}$ya sea a la proporción áurea${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$o a​${\displaystyle -1/\omega }$⁠ . Aunque los dos homomorfismos tienen la misma imagen , sería confuso decir que ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$es una extensión de${\displaystyle K}$⁠ .

De ahora en adelante, consideraremos los homomorfismos de cuerpos —siempre inyectivos— como inclusiones, cuando no pueda surgir ninguna confusión.

El campo de los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$es un campo de extensión del campo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$, y${\displaystyle \mathbb {R} }$a su vez es un campo de extensión del campo de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Claramente entonces,${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$También es una extensión de campo. Tenemos${\displaystyle [\mathbb {C}$ :\mathbb {R} ]=2} porque${\displaystyle \{1,i\}}$es una base, por lo que la extensión${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$es finito. Esta es una extensión simple porque${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$${\displaystyle [\mathbb {R}$ :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}} (la cardinalidad del continuo ), por lo que esta extensión es infinita.

El campo

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

es un campo de extensión de${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$También es claramente una extensión simple. El grado es 2 porque${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$puede servir de base.

El campo

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

es un campo de extensión de ambos${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$y${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$de grado 2 y 4 respectivamente. También es una extensión simple, ya que se puede demostrar que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

Extensiones finitas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$También se les llama cuerpos de números algebraicos y son importantes en la teoría de números . Otro cuerpo de extensión de los racionales, que también es importante en la teoría de números, aunque no es una extensión finita, es el cuerpo de los números p-ádicos.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$para un número primo p .

Es común construir un cuerpo de extensión de un cuerpo dado K como un anillo cociente del anillo de polinomios K [ X ] para "crear" una raíz para un polinomio dado f ( X ). Supongamos, por ejemplo, que K no contiene ningún elemento x tal que x ² = −1. Entonces el polinomio${\displaystyle X^{2}+1}$es irreducible en K [ X ], por consiguiente el ideal generado por este polinomio es maximal , y${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$es un campo de extensión de K que contiene un elemento cuyo cuadrado es −1 (es decir, la clase residual de X ).

Al iterar la construcción anterior, se puede construir un cuerpo de descomposición de cualquier polinomio a partir de K [ X ]. Este es un cuerpo de extensión L de K en el que el polinomio dado se descompone en un producto de factores lineales.

Si p es cualquier número primo y n es un entero positivo, existe un único campo finito (salvo isomorfismo).${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$con p ⁿ elementos; este es un campo de extensión del campo primo.${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$con p elementos.

Dado un cuerpo K , podemos considerar el cuerpo K ( X ) de todas las funciones racionales en la variable X con coeficientes en K ; los elementos de K ( X ) son fracciones de dos polinomios sobre K , y de hecho K ( X ) es el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios K [ X ]. Este cuerpo de funciones racionales es una extensión de K. Esta extensión es infinita.

Dada una superficie de Riemann M , el conjunto de todas las funciones meromorfas definidas en M es un cuerpo, denotado por${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$Es un campo de extensión trascendental de${\displaystyle \mathbb {C} }$si identificamos cada número complejo con la función constante correspondiente definida en M. Más generalmente, dada una variedad algebraica V sobre algún cuerpo K , el cuerpo de funciones K ( V ), que consiste en las funciones racionales definidas en V , es un cuerpo de extensión de K .

Un elemento x de una extensión de campo${\displaystyle L/K}$es algebraica sobre K si es una raíz de un polinomio no nulo con coeficientes en K. Por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es algebraica sobre los números racionales, porque es una raíz de${\displaystyle x^{2}-2.}$Si un elemento x de L es algebraico sobre K , el polinomio mónico de menor grado que tiene a x como raíz se llama polinomio mínimo de x . Este polinomio mínimo es irreducible sobre K.

Un elemento s de L es algebraico sobre K si y solo si la extensión simple K ( s ) / K es una extensión finita. En este caso , el grado de la extensión es igual al grado del polinomio mínimo, y una base del espacio vectorial K ( s ) consiste en${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$donde d es el grado del polinomio mínimo.

El conjunto de elementos de L que son algebraicos sobre K forman una subextensión, que se denomina clausura algebraica de K en L. Esto se deduce de la caracterización anterior: si s y t son algebraicos, las extensiones K ( s )/ K y K ( s )( t )/ K ( s ) son finitas. Por lo tanto, K ( s , t )/ K también es finito, al igual que las subextensiones K ( s ± t )/ K , K ( st )/ K y K (1/ s )/ K (si s ≠ 0 ). De ello se deduce que s ± t , st y 1/ s son todos algebraicos.

Una extensión algebraica${\displaystyle L/K}$es una extensión tal que cada elemento de L es algebraico sobre K. Equivalentemente, una extensión algebraica es una extensión que es generada por elementos algebraicos. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$es una extensión algebraica de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, porque${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}}$son algebraicos sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Una extensión simple es algebraica si y solo si es finita. Esto implica que una extensión es algebraica si y solo si es la unión de sus subextensiones finitas, y que toda extensión finita es algebraica.

Todo cuerpo K tiene una clausura algebraica, que es , salvo isomorfismo, el mayor cuerpo de extensión de K que es algebraico sobre K , y también el menor cuerpo de extensión tal que todo polinomio con coeficientes en K tiene una raíz en él. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {C} }$es un cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {R} }$, pero no un cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ya que no es algebraico sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$(por ejemplo, π no es algebraico sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

Dado un campo de extensión${\displaystyle L/K}$Un subconjunto S de L se denomina algebraicamente independiente sobre K si no existe ninguna relación polinómica no trivial con coeficientes en K entre los elementos de S. La mayor cardinalidad de un conjunto algebraicamente independiente se denomina grado de trascendencia de L / K . Siempre es posible encontrar un conjunto S , algebraicamente independiente sobre K , tal que L / K ( S ) sea algebraico. Dicho conjunto S se denomina base de trascendencia de L / K . Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión. Una extensión${\displaystyle L/K}$Se dice quepuramente trascendental si y solo si existe una base de trascendenciaSde${\displaystyle L/K}$de tal manera que L = K ( S ). Dicha extensión tiene la propiedad de que todos los elementos de L excepto los de K son trascendentales sobre K , pero, sin embargo, hay extensiones con esta propiedad que no son puramente trascendentales: una clase de tales extensiones toma la forma L / K donde tanto L como K son algebraicamente cerrados.

Si L / K es puramente trascendental y S es una base de trascendencia de la extensión, no necesariamente se deduce que L = K ( S ). Por el contrario, incluso cuando se conoce una base de trascendencia, puede ser difícil decidir si la extensión es puramente separable, y si lo es, puede ser difícil encontrar una base de trascendencia S tal que L = K ( S ).

Por ejemplo, considérese la extensión${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$dónde${\displaystyle x}$es trascendental sobre${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$y${\displaystyle y}$es una raíz de la ecuación${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$Dicha extensión puede definirse como${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$en el cual${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son las clases de equivalencia de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y.}$Obviamente, el conjunto unitario${\displaystyle \{x\}}$es trascendental sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y la extensión${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$es algebraico; por lo tanto${\displaystyle \{x\}}$es una base de trascendencia que no genera la extensión${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$. Similarmente,${\displaystyle \{y\}}$es una base de trascendencia que no genera toda la extensión. Sin embargo, la extensión es puramente trascendental ya que, si un conjunto${\displaystyle t=y/x,}$uno tiene${\displaystyle x=t^{2}}$y${\displaystyle y=t^{3},}$y por lo tanto${\displaystyle t}$genera toda la extensión.

Las extensiones puramente trascendentales de un cuerpo algebraicamente cerrado aparecen como cuerpos de funciones de variedades racionales . El problema de encontrar una parametrización racional de una variedad racional es equivalente al problema de encontrar una base de trascendencia que genere toda la extensión.

Una extensión algebraica${\displaystyle L/K}$Se denomina normal si todo polinomio irreducible en K [ X ] que tiene una raíz en L se factoriza completamente en factores lineales sobre L. Toda extensión algebraica F / K admite una clausura normal L , que es un cuerpo de extensión de F tal que${\displaystyle L/K}$es normal y lo cual es mínimo con esta propiedad.

Una extensión algebraica${\displaystyle L/K}$Se dice que un cuerpo es separable si el polinomio mínimo de cada elemento de L sobre K es separable , es decir, no tiene raíces repetidas en una clausura algebraica sobre K. Una extensión de Galois es una extensión de cuerpo que es a la vez normal y separable.

Una consecuencia del teorema del elemento primitivo establece que toda extensión separable finita tiene un elemento primitivo (es decir, es simple).

Dado cualquier campo de extensión${\displaystyle L/K}$, podemos considerar su grupo de automorfismos${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$, que consiste en todos los automorfismos de cuerpo α : L → L con α ( x ) = x para todo x en K . Cuando la extensión es de Galois, este grupo de automorfismos se llama grupo de Galois de la extensión. Las extensiones cuyo grupo de Galois es abeliano se llaman extensiones abelianas .

Para una extensión de campo determinada${\displaystyle L/K}$A menudo, uno se interesa por los campos intermedios F (subcampos de L que contienen a K ). La importancia de las extensiones de Galois y los grupos de Galois radica en que permiten una descripción completa de los campos intermedios: existe una biyección entre los campos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, descrita por el teorema fundamental de la teoría de Galois .

Las extensiones de cuerpos pueden generalizarse a extensiones de anillos que consisten en un anillo y uno de sus subanillos . Un análogo no conmutativo más cercano son las álgebras simples centrales (CSA), extensiones de anillos sobre un cuerpo, que son álgebras simples (sin ideales bilaterales no triviales, al igual que para un cuerpo) y donde el centro del anillo es precisamente el cuerpo. Por ejemplo, la única extensión de cuerpo finita de los números reales son los números complejos, mientras que los cuaterniones son un álgebra simple central sobre los reales, y todas las CSA sobre los reales son Brauer equivalentes a los reales o a los cuaterniones. Las CSA pueden generalizarse aún más a álgebras de Azumaya , donde el cuerpo base se reemplaza por un anillo local conmutativo .

Dada una extensión de cuerpo, se pueden " extender escalares " sobre objetos algebraicos asociados. Por ejemplo, dado un espacio vectorial real, se puede generar un espacio vectorial complejo mediante la complejización . Además de los espacios vectoriales, se pueden realizar extensiones de escalares para álgebras asociativas definidas sobre el cuerpo, como polinomios o álgebras de grupo y sus representaciones de grupo asociadas . La extensión de escalares de polinomios se usa a menudo de forma implícita, considerando simplemente los coeficientes como elementos de un cuerpo mayor, pero también puede considerarse de forma más formal. La extensión de escalares tiene numerosas aplicaciones, como se analiza en la sección "Extensión de escalares: aplicaciones" .

• teoría de campos
• Glosario de teoría de campos
• Torre de campos
• Extensión primaria
• Extensión regular

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