Teorema de Fieller

En estadística , el teorema de Fieller permite calcular un intervalo de confianza para la razón de dos medias .

Las variables a y b pueden medirse en unidades diferentes, por lo que no hay forma de combinar directamente los errores estándar, ya que también pueden estar en unidades diferentes. La explicación más completa de esto la ofrece Fieller (1954). ^{[ 1 ]}

Fieller demostró que si a y b son medias (posiblemente correlacionadas ) de dos muestras con expectativas${\displaystyle \mu _{a}}$y${\displaystyle \mu _{b}}$y variaciones${\displaystyle \nu _ {11}\sigma ^{2}}$y${\displaystyle \nu _ {22}\sigma ^{2}}$y covarianza${\displaystyle \nu _ {12}\sigma ^{2}}$y si${\displaystyle \nu _{11},\nu _{12},\nu _{22}}$Si todos son conocidos, entonces un intervalo de confianza (1 − α ) ( m _L , m _U ) para   ${\displaystyle \mu _{a}/\mu _{b}}$es dado por

${\displaystyle (m_{L},m_{U})={\frac {1}{(1-g)}}\left[{\frac {a}{b}}-{\frac {g\nu _{12}}{\nu _{22}}}\mp {\frac {t_{r,\alpha }s}{b}}{\sqrt {\nu _{11}-2{\frac {a}{b}}\nu _{12}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\nu _{22}-g\left(\nu _{11}-{\frac {\nu _{12}^{2}}{\nu _{22}}}\right)}}\right]}$

dónde

${\displaystyle g={\frac {t_{r,\alpha }^{2}s^{2}\nu _{22}}{b^{2}}}.}$

Aquí${\displaystyle s^{2}}$es un estimador insesgado de${\displaystyle \sigma ^{2}}$basado en r grados de libertad, y${\displaystyle t_{r,\alpha }}$es el${\displaystyle \alpha }$-nivel se desvía de la distribución t de Student en función de r grados de libertad.

En este contexto, tres características de esta fórmula son importantes:

a) La expresión dentro de la raíz cuadrada tiene que ser positiva, de lo contrario el intervalo resultante será imaginario.

b) Cuando g está muy cerca de 1, el intervalo de confianza es infinito.

c) Cuando g es mayor que 1, el divisor general fuera de los corchetes es negativo y el intervalo de confianza es exclusivo.

Un problema es que, cuando g no es pequeño, el intervalo de confianza puede divergir al usar el teorema de Fieller. Andy Grieve ha proporcionado una solución bayesiana donde los intervalos de confianza siguen siendo razonables, aunque amplios. ^{[ 2 ]} El método de remuestreo (bootstrapping) ofrece otra alternativa que no requiere la suposición de normalidad. ^{[ 3 ]}

Edgar C. Fieller ( 1907-1960 ) comenzó a trabajar en este problema en el grupo de Karl Pearson en el University College de Londres , donde trabajó durante cinco años tras graduarse en Matemáticas en el King's College de Cambridge . Posteriormente, trabajó para la Boots Pure Drug Company como estadístico e investigador operativo antes de convertirse en subdirector de investigación operativa en el RAF Fighter Command durante la Segunda Guerra Mundial , tras lo cual fue nombrado primer jefe de la Sección de Estadística del Laboratorio Nacional de Física . ^{[ 4 ]}

• distribución de razón gaussiana

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