Financiación

En matemáticas y lógica , una operación es finita si tiene aridad finita , es decir, si tiene un número finito de valores de entrada. De manera similar, una operación infinita es aquella que tiene un número infinito de valores de entrada.

En matemáticas estándar, una operación es finita por definición. Por lo tanto, estos términos generalmente solo se utilizan en el contexto de la lógica infinitaria .

Un argumento finito es aquel que puede traducirse en un conjunto finito de proposiciones simbólicas a partir de un conjunto finito ^{[ 1 ]} de axiomas . En otras palabras, es una demostración (incluyendo todas las suposiciones) que puede escribirse en una hoja de papel suficientemente grande.

Por el contrario, la lógica infinitaria estudia lógicas que permiten enunciados y demostraciones de longitud infinita . En dicha lógica, se puede considerar el cuantificador existencial , por ejemplo, como derivado de una disyunción infinitaria .

A principios del siglo XX, los lógicos se propusieron resolver el problema de los fundamentos , como por ejemplo: "¿Cuál es la verdadera base de las matemáticas?". El objetivo era reescribir todas las matemáticas utilizando un lenguaje completamente sintáctico, sin semántica . En palabras de David Hilbert (refiriéndose a la geometría ): "Da igual que llamemos a las cosas sillas , mesas y jarras de cerveza , o puntos , líneas y planos ".

El énfasis en la finitud provenía de la idea de que el pensamiento matemático humano se basa en un número finito de principios y que todos los razonamientos siguen esencialmente una regla: el modus ponens . El proyecto consistía en fijar un número finito de símbolos (esencialmente los numerales 1, 2, 3, ... las letras del alfabeto y algunos símbolos especiales como "+", "⇒", "(", ")", etc.), dar un número finito de proposiciones expresadas en esos símbolos, que se tomarían como "fundamentos" (los axiomas), y algunas reglas de inferencia que modelarían la forma en que los humanos llegan a conclusiones. A partir de estos, independientemente de la interpretación semántica de los símbolos, los teoremas restantes deberían derivarse formalmente utilizando solo las reglas establecidas (lo que hace que las matemáticas parezcan más un juego de símbolos que una ciencia ) sin necesidad de recurrir al ingenio. La esperanza era demostrar que a partir de estos axiomas y reglas se podían deducir todos los teoremas de las matemáticas. Ese objetivo se conoce como logicismo .

• Entrada sobre lógica infinita en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford