Distribución de dimensión finita

En matemáticas , las distribuciones de dimensión finita son una herramienta para el estudio de medidas y procesos estocásticos . ^{[ 1 ]} Se puede obtener mucha información estudiando la "proyección" de una medida (o proceso) sobre un espacio vectorial de dimensión finita (o un conjunto finito de tiempos). Se puede describir utilizando un sistema de distribución normal multivariada para cualquier número de coordenadas. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$sea ​​un espacio de medida . Las distribuciones de dimensión finita de${\displaystyle \mu }$son las medidas de impulso${\displaystyle f_{*}(\mu )}$, dónde${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$,${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$es cualquier función medible.

Dejar${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$Sea un espacio de probabilidad y sea${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$ser un proceso estocástico . Las distribuciones de dimensión finita de${\displaystyle X}$son las medidas de impulso${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}}$en el espacio de productos${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$para${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$definido por

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}.}$

Muy a menudo, esta condición se expresa en términos de rectángulos medibles :

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,para\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

La definición de las distribuciones de dimensión finita de un proceso${\displaystyle X}$está relacionado con la definición de una medida${\displaystyle \mu }$de la siguiente manera: recuerde que la ley${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$de${\displaystyle X}$es una medida sobre la colección${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$de todas las funciones de${\displaystyle I}$en${\displaystyle \mathbb {X} }$En general, este es un espacio de dimensión infinita. Las distribuciones de dimensión finita de${\displaystyle X}$son las medidas de impulso${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$en el espacio producto de dimensión finita${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$, dónde

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

es la "evaluación natural en ocasiones"${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}}$" función.

Se puede demostrar que si una secuencia de medidas de probabilidad${\displaystyle (\mu _ {n})_{n=1}^{\infty }}$es ajustado y todas las distribuciones de dimensión finita de la${\displaystyle \mu _{n}}$convergen débilmente a las distribuciones de dimensión finita correspondientes de alguna medida de probabilidad.${\displaystyle \mu }$, entonces${\displaystyle \mu _{n}}$converge débilmente a${\displaystyle \mu }$.

• Ley (procesos estocásticos)