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Esquema axiomático

Esquema axiomático de reemplazo: la imagen F [ A ] {\displaystyle F[A]} del conjunto de dominios A {\displaystyle A} bajo la función de clase definible F {\displaystyle F} es en...

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Esquema axiomático de reemplazo: la imagenF[A]{\displaystyle F[A]}del conjunto de dominiosA{\displaystyle A}bajo la función de clase definibleF{\displaystyle F}es en sí mismo un conjunto,B{\displaystyle B}.

En lógica matemática , un esquema axiomático (plural: esquemas axiomáticos ) es una regla o plantilla que especifica una familia de axiomas . Un esquema contiene marcadores de posición junto con condiciones adicionales que indican cómo se pueden reemplazar dichos marcadores; cada reemplazo permitido es una instancia del esquema. [ 1 ] [ 2 ] Los esquemas axiomáticos se utilizan comúnmente para proporcionar descripciones finitas de teorías cuyos axiomas incluyen un número infinito de fórmulas. [ 3 ]

Definición formal

DejarL{\displaystyle L}ser el lenguaje objeto de una teoría formal. Un esquema axiomático es una expresión metalingüística, o plantilla de esquema, que contiene uno o más marcadores de posición para expresiones deL{\displaystyle L}, junto con condiciones laterales que especifican las expresiones que pueden reemplazar los marcadores de posición. [ 1 ] [ 2 ] Las fórmulas resultantes del lenguaje objeto son las instancias del esquema y se toman como axiomas de la teoría.

Los marcadores de posición en un esquema axiomático pueden representar términos, fórmulas, predicados o relaciones, según el sistema formal. Las condiciones secundarias suelen requerir que un término esté libre para una variable en una fórmula, que una variable aparezca libre en una fórmula o que una variable no aparezca libre en una fórmula específica. [ 3 ] Dichas condiciones forman parte del esquema, no son axiomas adicionales del lenguaje objeto.

Esto distingue una letra esquemática de una variable de lenguaje objeto ordinaria. Por ejemplo, una letra esquemática puede ser un marcador de posición para cualquier fórmula de un lenguaje, mientras que una variable de lenguaje objeto abarca objetos en el dominio de interpretación. [ 1 ]

Ejemplos

Lógica de primer orden

Muchas presentaciones de lógica de primer orden al estilo de Hilbert utilizan esquemas axiomáticos. Por ejemplo, el esquema axiomático del cuantificador.

∀incógnitaΦ(incógnita)→Φ(t){\displaystyle \forall x\,\Phi (x)\rightarrow \Phi (t)}

tiene como instancias las fórmulas obtenidas al reemplazarΦ{\displaystyle \Phi }con una fórmula de lenguaje objeto yt{\displaystyle t}con un plazo, sujeto a la condición de quet{\displaystyle t}es gratis paraincógnita{\displaystyle x}enΦ{\displaystyle \Phi }. [ 3 ] Las reglas o esquemas axiomáticos de este tipo evitan enumerar por separado cada fórmula obtenida mediante las sustituciones permitidas.

Aritmética

Una presentación estándar de primer orden de la aritmética de Peano incluye el esquema de inducción. Para cada fórmulaφ(incógnita,y→){\displaystyle \varphi (x,{\vec {y}})}en el lenguaje de la aritmética, con posibles parámetrosy→{\displaystyle {\vec {y}}}, el esquema tiene una instancia de la forma

(φ(0,y→)∧∀incógnita(φ(incógnita,y→)→φ(Sincógnita,y→)))→∀incógnitaφ(incógnita,y→).{\displaystyle {\bigl (}\varphi (0,{\vec {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\vec {y}})\rightarrow \varphi (Sx,{\vec {y}})){\bigr )}\rightarrow \forall x\,\varphi (x,{\vec {y}}).}

Por lo tanto, el principio de inducción no es un único axioma de primer orden, sino una familia de axiomas, uno para cada fórmula admisible.φ{\displaystyle \varphi }. [ 3 ] [ 4 ]

Czesław Ryll-Nardzewski demostró que la aritmética de Peano de primer orden no es finitamente axiomatizable en su lenguaje habitual. [ 5 ] En consecuencia, el esquema de inducción no puede ser reemplazado, en ese lenguaje, por una lista finita de axiomas con las mismas consecuencias deductivas.

teoría de conjuntos

La axiomatización estándar de primer orden ZFC contiene esquemas de axiomas, incluyendo el esquema de separación y el esquema de reemplazo . En el esquema de reemplazo, cada fórmula que define una relación funcional proporciona un axioma que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo esa función definible también es un conjunto. [ 6 ] [ 7 ]

Richard Montague demostró un resultado de axiomatizabilidad no finita para teorías de conjuntos de estilo ZF; en particular, asumiendo consistencia, ZFC no es finitamente axiomatizable en su lenguaje ordinario de primer orden. [ 8 ] Por lo tanto, los esquemas de reemplazo y separación no pueden simplemente eliminarse de ZFC reemplazándolos con un número finito de axiomas en el mismo lenguaje.

Axiomatización finita

Una teoría es finitamente axiomatizable si existe un conjunto finito de oraciones cuyo cierre deductivo es exactamente la teoría. [ 9 ] Un esquema axiomático puede ser finitamente descriptible y, aun así, especificar infinitos axiomas, ya que el esquema es una receta metateórica para generar instancias en lugar de un conjunto finito de oraciones en lenguaje objeto. [ 10 ]

La posibilidad de axiomatizar una teoría de forma finita depende del lenguaje en el que esté formulada. Una teoría que no sea axiomatizable de forma finita en un lenguaje puede tener una extensión conservativa axiomatizada de forma finita en un lenguaje más rico.

La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) extiende el lenguaje de la teoría de conjuntos añadiendo clases. NBG es una extensión conservadora de ZFC para enunciados sobre conjuntos, pero a diferencia de ZFC, puede axiomatizarse de forma finita: su teorema de existencia de clases se obtiene a partir de un número finito de axiomas de existencia de clases en lugar de a partir de un esquema. [ 7 ] [ 11 ]

New Foundations (NF), introducido por WVO Quine , se presenta habitualmente con extensionalidad y un esquema de comprensión estratificada. [ 12 ] Theodore Hailperin demostró en 1944 que este principio de comprensión es equivalente a una conjunción finita de instancias, lo que da lugar a una axiomatización finita de NF. [ 13 ] Presentaciones posteriores de NF y sistemas relacionados pueden tomar axiomas finitos como base y demostrar la comprensión estratificada como un teorema. [ 14 ]

En lógica de orden superior

Algunos esquemas axiomáticos en teorías de primer orden pueden reemplazarse por axiomas individuales en un lenguaje de orden superior. Por ejemplo, el esquema de inducción de primer orden para la aritmética tiene un análogo de segundo orden en el que una variable cuantifica directamente sobre propiedades o clases:

∀F((F(0)∧∀incógnita(F(incógnita)→F(Sincógnita)))→∀incógnitaF(incógnita)).{\displaystyle \forall F{\bigl (}(F(0)\land \forall x(F(x)\rightarrow F(Sx)))\rightarrow \forall x\,F(x){\bigr )}.}

En esta oración de segundo orden,F{\displaystyle F}es una variable genuina que abarca propiedades o clases, no un marcador de posición metalingüístico. [ 3 ] Por lo tanto, el axioma de inducción de segundo orden y el esquema de inducción de primer orden son formalmente diferentes, y el axioma de segundo orden es más fuerte bajo la semántica estándar para la lógica de segundo orden. [ 3 ]

De forma análoga, algunos esquemas de teoría de conjuntos de primer orden pueden representarse cuantificando sobre clases u objetos de orden superior en un lenguaje expandido. Esta es una de las razones por las que las teorías de clases como NBG pueden proporcionar axiomatizaciones finitas sin dejar de ser conservadoras con respecto a ZFC para oraciones de teoría de conjuntos. [ 7 ] [ 11 ]

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 Corcoran 2016 , §1.
  2. 1 2 Corcoran 2006 , págs. 219–220.
  3. 1 2 3 4 5 6 Corcoran 2016 , §2.
  4. ↑ Mendelson 1997 , Cap. 3.
  5. ↑ Ryll-Nardzewski 1952 , págs. 239–263.
  6. ↑ Potter 2004 , Caps. 1–2.
  7. 1 2 3 Mendelson 1997 , Cap. 4.
  8. ↑ Montague 1961 , págs. 45–69.
  9. ↑ Mendelson 1997 , Cap. 2.
  10. ↑ Corcoran 2016 , §§1–2.
  11. 1 2 Potter 2004 , Cap. 13.
  12. ↑ Forster 2025 , §3.
  13. ↑ Hailperin 1944 , págs. 1–19.
  14. ↑ Holmes 1998 , Cap. 8.

Referencias

  • Corcoran, John (2006), "Esquemas: El concepto de esquema en la historia de la lógica" (PDF) , Boletín de lógica simbólica , 12 (2): 219–240 , doi : 10.2178/bsl/1146620060 , S2CID 6909703 
  • Corcoran, John (2016). "Esquema" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  • Forster, Thomas (2025). "Los nuevos fundamentos de Quine" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
  • Hailperin, Theodore (1944), "Un conjunto de axiomas para la lógica", Journal of Symbolic Logic , 9 (1): 1– 19, doi : 10.2307/2267307 , JSTOR 2267307 
  • Holmes, M. Randall (1998), Teoría elemental de conjuntos con un conjunto universal , Cahiers du Centre de Logique, vol.  10, Academia-Bruylant, ISBN 9782872094882
  • Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4.ª  ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7
  • Montague, Richard (1961), "Cierre semántico y axiomatizabilidad no finita I", Métodos infinitistas: Actas del simposio sobre fundamentos de las matemáticas, Varsovia, 2-9 de septiembre de 1959 , Państwowe Wydawnictwo Naukowe y Pergamon Press, págs. 45-69 . 
  • Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Oxford University Press, ISBN 9780199269730
  • Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "El papel del axioma de inducción en la aritmética elemental" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 (1): 239– 263, doi : 10.4064/fm-39-1-239-263