Carácter finito

En matemáticas , una familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de conjuntos es de carácter finito si para cada${\displaystyle A}$,${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$si y solo si cada subconjunto finito de${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Eso es,

1. Para cada${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, cada subconjunto finito de${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.
2. Si cada subconjunto finito de un conjunto dado${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, entonces${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Una familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Los conjuntos de carácter finito gozan de las siguientes propiedades:

1. Para cada${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, cada subconjunto (finito o infinito) de${\displaystyle A}$pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.
2. Si tomamos como verdadero el axioma de elección, entonces toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento maximal con respecto a la inclusión ( lema de Tukey ): En${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, parcialmente ordenado por inclusión, la unión de cada cadena de elementos de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$también pertenece a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, por lo tanto, según el lema de Zorn ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$contiene al menos un elemento máximo.

Dejar${\displaystyle V}$Sea un espacio vectorial y sea${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sea ​​la familia de subconjuntos linealmente independientes de${\displaystyle V}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es una familia de carácter finito (porque un subconjunto${\displaystyle X\subsetequ V}$es linealmente dependiente si y solo si${\displaystyle X}$tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente). Por lo tanto, en cada espacio vectorial, existe una familia maximal de elementos linealmente independientes. Como una familia maximal es una base vectorial , cada espacio vectorial tiene una base vectorial (posiblemente infinita).

• Conjunto hereditariamente finito

• Jech, Thomas J. (2008) [1973]. El axioma de la elección . Dover Publications . ISBN 978-0-486-46624-8.
• Smullyan, Raymond M.; Fitting , Melvin (2010) [1996]. Teoría de conjuntos y el problema del continuo . Dover Publications. ISBN 978-0-486-47484-7.

Este artículo incorpora material de finite character en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .