Grado de extensión de campo

En matemáticas , más concretamente en teoría de cuerpos , el grado de una extensión de cuerpo es una medida aproximada del "tamaño" de dicha extensión . Este concepto desempeña un papel importante en muchas ramas de las matemáticas, como el álgebra y la teoría de números ; de hecho, en cualquier área donde los cuerpos tengan un papel destacado.

Definición y notación

Supongamos que E / F es una extensión de cuerpo . Entonces E puede considerarse como un espacio vectorial sobre F (el cuerpo de escalares). La dimensión de este espacio vectorial se llama grado de la extensión de cuerpo y se denota por [ E : F ].

El grado puede ser finito o infinito, denominándose extensión finita o infinita , respectivamente. Una extensión E / F también se denomina a veces simplemente finita si es una extensión finita; esto no debe confundirse con el hecho de que los propios campos sean campos finitos (campos con un número finito de elementos).

El grado no debe confundirse con el grado de trascendencia de un campo; por ejemplo, el campo Q ( X ) de funciones racionales tiene grado infinito sobre Q , pero grado de trascendencia igual a 1.

La fórmula de multiplicatividad para grados

Dados tres campos dispuestos en una torre , digamos K un subcampo de L que a su vez es un subcampo de M , existe una relación simple entre los grados de las tres extensiones L / K , M / L y M / K :

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

En otras palabras, el grado que va del cuerpo "inferior" al "superior" es simplemente el producto de los grados que van del cuerpo "inferior" al "medio" y luego del "medio" al "superior". Es bastante análogo al teorema de Lagrange en la teoría de grupos , que relaciona el orden de un grupo con el orden y el índice de un subgrupo ; de hecho, la teoría de Galois demuestra que esta analogía es más que una simple coincidencia.

La fórmula es válida tanto para extensiones de grado finito como infinito. En el caso infinito, el producto se interpreta en el sentido de productos de números cardinales . En particular, esto significa que si M / K es finito, entonces tanto M / L como L / K son finitos.

Si M / K es finito, la fórmula impone fuertes restricciones sobre los tipos de campos que pueden existir entre M y K , mediante simples consideraciones aritméticas. Por ejemplo, si el grado [ M : K ] es un número primo p , entonces para cualquier campo intermedio L , pueden ocurrir dos cosas: o [ M : L ] = p y [ L : K ] = 1, en cuyo caso L es igual a K , o [ M : L ] = 1 y [ L : K ] = p , en cuyo caso L es igual a M. Por lo tanto, no existen campos intermedios (aparte de M y K ).

Demostración de la fórmula de multiplicatividad en el caso finito

Supongamos que K , L y M forman una torre de cuerpos como en la fórmula de grado anterior, y que tanto d = [ L : K ] como e = [ M : L ] son finitos. Esto significa que podemos seleccionar una base { u ₁ , ..., u _d } para L sobre K , y una base { w ₁ , ..., w _e } para M sobre L . Demostraremos que los elementos u _m w _n , para m que varía de 1, 2, ..., d y n que varía de 1, 2, ..., e , forman una base para M / K ; dado que hay precisamente de de ellos, esto prueba que la dimensión de M / K es de , que es el resultado deseado.

Primero comprobamos que generan M / K. Si x es cualquier elemento de M , entonces, dado que los w _n forman una base para M sobre L , podemos encontrar elementos a _n en L tales que

x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.

Entonces, dado que los u _m forman una base para L sobre K , podemos encontrar elementos b _{m , n} en K tales que para cada n ,

a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.

Luego, utilizando la ley distributiva y la asociatividad de la multiplicación en M, tenemos

x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),

lo que demuestra que x es una combinación lineal de u _m w _n con coeficientes de K ; en otras palabras , abarcan M sobre K.

En segundo lugar, debemos comprobar que son linealmente independientes sobre K. Así pues, supongamos que

0=\sum _ {n=1}^{e}\sum _ {m=1}^{d}b_ {m,n}(u_ {m}w_ {n})

para algunos coeficientes b _{m , n} en K . Usando nuevamente la distributividad y la asociatividad, podemos agrupar los términos como

0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},

y vemos que los términos entre paréntesis deben ser cero, porque son elementos de L y los w _n son linealmente independientes sobre L. Es decir,

0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}

para cada n . Entonces, dado que los coeficientes b _{m , n} están en K , y los u _m son linealmente independientes sobre K , debemos tener que b _{m , n} = 0 para todo m y todo n . Esto demuestra que los elementos u _m w _n son linealmente independientes sobre K . Esto concluye la demostración.

Demostración de la fórmula en el caso infinito

En este caso, partimos de las bases u _α y w _β de L / K y M / L respectivamente, donde α se toma de un conjunto de índices A y β de un conjunto de índices B. Usando un argumento completamente similar al anterior, encontramos que los productos u _α w _β forman una base para M / K. Estos están indexados por el producto cartesiano A × B , que por definición tiene una cardinalidad igual al producto de las cardinalidades de A y B.

Ejemplos

Los números complejos son una extensión de cuerpo sobre los números reales con grado [ C : R ] = 2, y por lo tanto no hay cuerpos no triviales entre ellos.
La extensión de cuerpo Q ( √ 2 , √ 3 ), obtenida al adjuntar √ 2 y √ 3 al cuerpo Q de los números racionales , tiene grado 4, es decir, [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4. El cuerpo intermedio Q ( √ 2 ) tiene grado 2 sobre Q ; concluimos de la fórmula de multiplicatividad que [ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2.
El cuerpo finito (o cuerpo de Galois) GF (125) = GF (5 ³ ) tiene grado 3 sobre su subcuerpo GF (5). Más generalmente, si p es un primo y n , m son enteros positivos con n dividiendo a m , entonces [ GF ( p ^m ): GF ( p ⁿ )] = m / n .
La extensión de cuerpo C ( T )/ C , donde C ( T ) es el cuerpo de funciones racionales sobre C , tiene grado infinito (de hecho, es una extensión puramente trascendental ). Esto se puede ver al observar que los elementos 1, T , T ² , etc., son linealmente independientes sobre C .
La extensión de campo C ( T ² ) también tiene grado infinito sobre C . Sin embargo, si consideramos C ( T ² ) como un subcampo de C ( T ), entonces de hecho [ C ( T ): C ( T ² )] = 2. Más generalmente, si X e Y son curvas algebraicas sobre un campo K , y F : X → Y es un morfismo sobreyectivo entre ellas de grado d , entonces los campos de funciones K ( X ) y K ( Y ) son ambos de grado infinito sobre K , pero el grado [ K ( X ): K ( Y )] resulta ser igual a d .

Generalización

Dados dos anillos de división E y F , con F contenido en E y siendo la multiplicación y suma de F la restricción de las operaciones en E , podemos considerar E como un espacio vectorial sobre F de dos maneras: haciendo que los escalares actúen por la izquierda, lo que da una dimensión [ E : F ] _l , y haciendo que actúen por la derecha, lo que da una dimensión [ E : F ] _r . Las dos dimensiones no tienen por qué coincidir. Sin embargo, ambas dimensiones satisfacen una fórmula de multiplicación para torres de anillos de división; la demostración anterior se aplica a escalares que actúan por la izquierda sin cambios.

Referencias

página 215, Jacobson, N. (1985). Álgebra básica I. WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.Demostración de la fórmula de multiplicatividad.
página 465, Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9.Se analiza brevemente el caso de dimensión infinita.