Series geométricas

En matemáticas , una serie geométrica es una serie que suma los términos de una sucesión geométrica infinita , en la que la razón entre términos consecutivos es constante. Por ejemplo, la serie${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$es una serie geométrica con razón común${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠ , que converge a la suma de ⁠${\displaystyle 1}$Cada término de una serie geométrica es la media geométrica del término anterior y del término posterior, del mismo modo que cada término de una serie aritmética es la media aritmética de sus vecinos.

Si bien las paradojas del matemático griego Zenón sobre el tiempo y el movimiento (siglo V a. C.) se han interpretado como series geométricas, estas fueron estudiadas y aplicadas formalmente uno o dos siglos después por matemáticos griegos ; por ejemplo, Arquímedes las utilizó para calcular el área de una parábola (siglo III a. C.). Hoy en día, las series geométricas se utilizan en finanzas matemáticas , en el cálculo de áreas de fractales y en diversos temas de informática.

Aunque las series geométricas involucran más comúnmente números reales o complejos , también existen resultados y aplicaciones importantes para series geométricas con valores matriciales , series geométricas con valores de funciones,${\displaystyle p}$- series geométricas de números ádicos y, más generalmente, series geométricas de elementos de cuerpos algebraicos abstractos , anillos y semianillos .

Una serie geométrica es una serie derivada de un tipo especial de secuencia llamada progresión geométrica . Una progresión geométrica es una secuencia obtenida a partir de un término inicial, produciendo el siguiente término multiplicándolo por una constante del término anterior, y continuando el proceso con la misma constante. Dicha constante se llama razón común. ^{[ a ]} ​​Sea${\displaystyle a}$ser el término inicial y${\displaystyle r}$sea ​​la razón común de una progresión geométrica. Para un número finito de términos, la sucesión geométrica consta de los elementos hasta${\displaystyle n}$-ésimo término, que se escribe como${\textstyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\ldots ,ar^{n}}$. La suma de todos los términos anteriores produce una serie geométrica finita , expresada como ^{[ 1 ].}$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _ {k=0}^{n}ar^{k}.}$$

Cuando${\displaystyle r>1}$, a menudo se le llama tasa de crecimiento o tasa de expansión. Cuando${\displaystyle 0<r<1}$A menudo se le llama tasa de decaimiento o tasa de contracción, donde la idea de que es una "tasa" proviene de la interpretación${\displaystyle k}$como una especie de variable de tiempo discreta. Cuando un área de aplicación tiene vocabulario especializado para tipos específicos de crecimiento, expansión, contracción y decadencia, ese vocabulario también se utilizará a menudo para nombrar${\displaystyle r}$parámetros de series geométricas. En economía , por ejemplo, las tasas de aumento y disminución de los niveles de precios se denominan tasas de inflación y deflación , mientras que las tasas de aumento del valor de las inversiones incluyen las tasas de rendimiento y las tasas de interés . ^{[ 2 ]}

Para${\displaystyle r\neq 1}$, la suma de una serie geométrica finita${\displaystyle S_{n}}$comenzando desde el término 0 hasta${\displaystyle n}$El término -ésimo se formula como: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}.}$$

Cuando hay infinitos términos en una progresión geométrica, la serie geométrica es: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.}$$El resultado de una serie infinita puede ser convergente o divergente . La convergencia significa que hay un valor después de sumar infinitos términos, mientras que la divergencia significa que no hay ningún valor después de la suma. La convergencia de una serie geométrica se puede describir en función del valor de una razón común. Por ejemplo, la serie de Grandi es una serie geométrica divergente que se puede expresar como${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$, donde el término inicial es${\displaystyle 1}$y la razón común es${\displaystyle -1}$Esto se debe a que tiene tres valores diferentes. Los números decimales que tienen patrones repetidos que continúan indefinidamente pueden interpretarse como series geométricas y, por lo tanto, convertirse en expresiones de la razón de dos enteros . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, la fracción decimal repetida${\displaystyle 0.7777\ldots }$se puede escribir como la serie geométrica$${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,}$$donde el término inicial es${\displaystyle a={\tfrac {7}{10}}}$y la razón común es${\displaystyle r={\tfrac {1}{10}}}$.

Para determinar su convergencia, se puede consultar la magnitud de la razón común.${\displaystyle r}$solo:

• Si${\displaystyle \vert r\vert <1}$, los términos de la serie se aproximan a cero (volviéndose cada vez más pequeños en magnitud) y la secuencia de sumas parciales${\displaystyle S_{n}}$convergen a un valor límite de${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$. ^{[ 3 ]}
• Si${\displaystyle \vert r\vert >1}$, los términos de la serie se vuelven cada vez más grandes en magnitud y las sumas parciales de los términos también se vuelven cada vez más grandes en magnitud, por lo que la serie diverge . ^{[ 3 ]}
• Si${\displaystyle \vert r\vert =1}$, los términos de la serie no se vuelven ni mayores ni menores en magnitud y la sucesión de sumas parciales de la serie no converge. Cuando${\displaystyle r=1}$, todos los términos de la serie son los mismos y el${\displaystyle |S_{n}|}$crecer hasta el infinito. Cuando${\displaystyle r=-1}$Los términos toman dos valores.${\displaystyle a}$y${\displaystyle -a}$alternativamente, y por lo tanto la secuencia de sumas parciales de los términos oscila entre los dos valores.${\displaystyle a}$y 0. Un ejemplo se puede encontrar en la serie de Grandi . Cuando la razón común es la unidad imaginaria.${\displaystyle r=i}$y${\displaystyle a=1}$Las sumas parciales circulan periódicamente entre los números complejos .${\displaystyle 1}$,​​${\displaystyle 1+i}$,​​${\displaystyle i}$,​​${\displaystyle 0}$,​​${\displaystyle 1}$,​​${\displaystyle 1+i}$,​​${\displaystyle i}$,​​${\displaystyle 0}$⁠ , ..., nunca converge a un límite. Cuando la razón común es una raíz de la unidad${\displaystyle r=e^{2\pi ip/q}}$para un número racional${\displaystyle p/q}$en los términos más bajos y con cualquier${\displaystyle a\neq 0}$, las sumas parciales de la serie circularán indefinidamente con un período de${\displaystyle q}$, sin converger nunca a un límite. ^{[ 5 ]}

La tasa de convergencia muestra cuán rápidamente se aproxima la sucesión a su límite. En el caso de la serie geométrica , la sucesión relevante es${\displaystyle S_{n}}$y su límite es${\displaystyle S}$— la tarifa y el orden se encuentran a través de $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},}$$ dónde${\displaystyle q}$representa el orden de convergencia. Usando${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$y eligiendo el orden de convergencia${\displaystyle q=1}$da: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.}$$ Cuando la serie converge, la tasa de convergencia se vuelve más lenta a medida que${\displaystyle |r|}$aproches${\displaystyle 1}$. ^{[ 6 ]} El patrón de convergencia también depende del signo o argumento complejo de la razón común. Si${\displaystyle r>0}$y${\displaystyle |r|<1}$entonces todos los términos comparten el mismo signo y las sumas parciales de los términos se aproximan a su límite final de forma monótona .${\displaystyle r<0}$y${\displaystyle |r|<1}$, los términos adyacentes en la serie geométrica alternan entre positivos y negativos, y las sumas parciales${\displaystyle S_{n}}$Los términos oscilan por encima y por debajo de su límite final.${\displaystyle S}$. Para complejos${\displaystyle r}$y${\displaystyle |r|<1,}$el${\displaystyle S_{n}}$convergen en un patrón en espiral.

Prueba de convergencia

La convergencia se demuestra de la siguiente manera. La suma parcial de los primeros${\displaystyle n+1}$términos de una serie geométrica, hasta e incluyendo el${\displaystyle r^{n}}$término, $${\displaystyle S_{n}=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},}$$ se da mediante la forma cerrada $${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle r}$es la razón común. El caso${\displaystyle r=1}$es simplemente una suma simple, un caso de una serie aritmética . La fórmula para las sumas parciales${\displaystyle S_{n}}$con${\displaystyle r\neq 1}$se puede derivar de la siguiente manera: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}}$$ para${\displaystyle r\neq 1}$. Como${\displaystyle r}$aproximaciones 1, división polinómica o regla de L'Hôpital recupera el caso${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$. ^{[ 10 ]}

Como${\displaystyle n}$Cuando tiende a infinito, el valor absoluto de r debe ser menor que uno para que esta sucesión de sumas parciales converja a un límite. Cuando lo hace, la serie converge absolutamente . La serie infinita se convierte entonces en $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}},\end{aligned}}}$$ para${\displaystyle |r|<1}$. ^{[ 7 ]}

Este resultado de convergencia se aplica ampliamente para demostrar la convergencia de otras series, siempre que los términos de dichas series puedan acotarse superiormente mediante una serie geométrica adecuada; esta estrategia de demostración constituye la base del criterio de la razón y del criterio de la raíz para la convergencia de series infinitas. ^{[ 11 ]}

Al igual que la serie geométrica, una  serie de potencias  tiene un parámetro para una variable común elevada a potencias sucesivas que corresponden a la serie geométrica. ${\displaystyle r}$pero tiene parámetros adicionales ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$uno para cada término de la serie, para los coeficientes distintos de cada uno ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$, en lugar de un solo parámetro adicional ${\displaystyle a}$ para todos los términos, el coeficiente común de ${\displaystyle r^{k}}$ en cada término de una serie geométrica. Por lo tanto, la serie geométrica puede considerarse una clase de series de potencias en la que la secuencia de coeficientes satisface ${\displaystyle a_{k}=a}$ a pesar de ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle x=r}$. ^{[ 12 ]}

Esta clase especial de series de potencias desempeña un papel importante en matemáticas, por ejemplo, en el estudio de  las funciones generadoras ordinarias  en combinatoria y en la  suma  de series divergentes en análisis. Muchas otras series de potencias pueden escribirse como transformaciones y combinaciones de series geométricas, lo que convierte a la fórmula de la serie geométrica en una herramienta conveniente para calcular fórmulas también para dichas series de potencias. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Como serie de potencias, la serie geométrica tiene un radio de convergencia de 1. ^{[ 15 ]} Esto podría verse como una consecuencia del teorema de Cauchy-Hadamard y del hecho de que$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$$para cualquier${\displaystyle a}$o como consecuencia de la prueba de razón para la convergencia de series infinitas, con$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|ar^{n+1}|}{|ar^{n}|}}=|r|}$$ lo que implica convergencia solo para${\displaystyle |r|<1.}$Sin embargo, tanto el criterio de la razón como el teorema de Cauchy-Hadamard se demuestran utilizando la fórmula de la serie geométrica como un resultado lógicamente previo, por lo que tal razonamiento sería sutilmente circular. ^{[ 16 ]}

Como se mencionó anteriormente, las series geométricas se pueden aplicar en el campo de la economía . Esto lleva a la razón común de una serie geométrica que puede referirse a las tasas de aumento y disminución de los niveles de precios , llamadas tasas de inflación y deflación ; en contraste, las tasas de aumento en los valores de las inversiones incluyen las tasas de retorno y las tasas de interés . Más específicamente, en finanzas matemáticas y matemáticas actuariales , las series geométricas también se pueden aplicar al valor temporal del dinero ; es decir, para representar los valores presentes de las anualidades perpetuas , sumas de dinero que se pagan cada año indefinidamente en el futuro. Este tipo de cálculo se utiliza para calcular la tasa de porcentaje anual de un préstamo, como un préstamo hipotecario . También se puede utilizar para estimar el valor presente de los dividendos esperados de acciones o el valor terminal de un activo financiero suponiendo una tasa de crecimiento estable. Sin embargo, la suposición de que los tipos de interés son constantes suele ser incorrecta, y es improbable que los pagos continúen indefinidamente, ya que el emisor de la renta vitalicia perpetua puede perder su capacidad o rescindir su compromiso de realizar pagos continuos; por lo tanto, estimaciones como estas son solo directrices heurísticas para la toma de decisiones, en lugar de predicciones científicas de los valores actuales reales. ^{[ 2 ]}

Además de hallar el área encerrada por una parábola y una línea en la obra de Arquímedes , La cuadratura de la parábola , ^{[ 17 ]} la serie geométrica también puede aplicarse para hallar el área del copo de nieve de Koch, descrito como la unión de infinitos triángulos equiláteros (véase la figura). Cada lado del triángulo verde es exactamente${\textstyle {\frac {1}{3}}}$el tamaño de un lado del gran triángulo azul y por lo tanto tiene exactamente${\textstyle {\frac {1}{9}}}$el área. De manera similar, cada triángulo amarillo tiene${\textstyle {\frac {1}{9}}}$el área de un triángulo verde, y así sucesivamente. Todos estos triángulos se pueden representar en términos de series geométricas: el área del triángulo azul es el primer término, el área de los tres triángulos verdes es el segundo término, el área de los doce triángulos amarillos es el tercer término, y así sucesivamente. Excluyendo el 1 inicial, esta serie tiene una razón común.${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$y tomando el triángulo azul como unidad de área, el área total del copo de nieve es: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots =1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}.}$$

Hace 2500 años, los matemáticos griegos creían que una lista infinita de números positivos debía sumar infinito. Por lo tanto, Zenón de Elea creó una paradoja , demostrando lo siguiente: para ir de un lugar a otro, primero hay que recorrer la mitad de la distancia de ida, luego la mitad de la distancia restante, y así sucesivamente, cubriendo infinitos intervalos antes de llegar. Al hacerlo, dividió una distancia fija en una lista infinita de distancias restantes divididas por la mitad, cada una con una longitud mayor que cero. La paradoja de Zenón reveló a los griegos que su suposición de que una lista infinita de números positivos debía sumar infinito era incorrecta. ^{[ 19 ]}

Ilustración de los Elementos de Euclides , Libro IX, Proposición 35.

La disección de un segmento parabólico en infinitos triángulos por Arquímedes

Los Elementos de Euclides tienen la distinción de ser el libro de texto matemático de uso continuo más antiguo del mundo, e incluyen una demostración de la suma de series geométricas finitas en el Libro IX, Proposición 35, ilustrada en una figura adyacente. ^{[ 20 ]} La proposición cita lo siguiente:

"Si existe una multitud de números continuamente proporcionales, y se resta al primero, al segundo y al último, entonces, como el exceso del segundo con respecto al primero, así será el exceso del último con respecto a todos los anteriores."

Arquímedes, en su obra La cuadratura de la parábola, utilizó la suma de una serie geométrica para calcular el área encerrada por una parábola y una línea recta. El teorema de Arquímedes establece que el área total bajo la parábola es${\textstyle {\frac {4}{3}}}$del área del triángulo azul. Su método fue diseccionar el área en infinitos triángulos, como se muestra en la figura adyacente. Determinó que cada triángulo verde tiene${\textstyle {\frac {1}{8}}}$el área del triángulo azul, cada triángulo amarillo tiene${\textstyle {\frac {1}{8}}}$el área de un triángulo verde, y así sucesivamente. Suponiendo que el triángulo azul tiene un área de 1, entonces, el área total es la suma de la serie infinita. $${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$$ Aquí, el primer término representa el área del triángulo azul, el segundo término es el área de los dos triángulos verdes, el tercer término es el área de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Simplificando las fracciones se obtiene $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ,}$$ una serie geométrica con razón común${\displaystyle r={\tfrac {1}{4}}}$y su suma es: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$$

Además de su prueba elegantemente simple de la divergencia de la serie armónica , Nicole Oresme ^{[ 21 ]} demostró que la serie aritmético-geométrica conocida como Escalera de Gabriel, ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\cdots =2.}$$

Mientras que las series geométricas con parámetros de números reales y complejos${\displaystyle a}$y${\displaystyle r}$son las series geométricas más comunes de términos más generales como funciones , matrices y${\displaystyle p}$Los números ádicos también encuentran aplicación. ^{[ 23 ]} Las operaciones matemáticas utilizadas para expresar una serie geométrica dados sus parámetros son simplemente la suma y la multiplicación repetida, por lo que es natural, en el contexto del álgebra moderna , definir series geométricas con parámetros de cualquier anillo o cuerpo . ^{[ 24 ]} Una mayor generalización a series geométricas con parámetros de semianillos es más inusual, pero también tiene aplicaciones; por ejemplo, en el estudio de la iteración de punto fijo de funciones de transformación , como en las transformaciones de autómatas mediante series racionales . ^{[ 25 ]}

Para analizar la convergencia de estas series geométricas generales, además de la suma y la multiplicación, es necesario contar con alguna métrica de distancia entre sumas parciales de la serie. Esto puede introducir nuevas sutilezas en las cuestiones de convergencia, como las distinciones entre convergencia uniforme y convergencia puntual en series de funciones, y puede generar fuertes contrastes con las intuiciones de los números reales, como en la convergencia de la serie.${\displaystyle 1+2+4+8+\cdots }$con${\displaystyle a=1}$y${\displaystyle r=2}$a$${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}=-1}$$en los números 2-ádicos usando el valor absoluto 2-ádico como métrica de convergencia. En ese caso, el valor absoluto 2-ádico del coeficiente común es${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}={\tfrac {1}{2}}}$y si bien esto es contraintuitivo desde la perspectiva del valor absoluto de los números reales (donde${\displaystyle |2|=2,}$naturalmente), no obstante, está bien justificado en el contexto del análisis p-ádico . ^{[ 23 ]}

Cuando la multiplicación de los parámetros no es conmutativa , como suele ocurrir con las matrices o los operadores físicos generales , particularmente en mecánica cuántica , entonces la forma estándar de escribir la serie geométrica,

$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,}$$

multiplicarse desde la derecha puede necesitar distinguirse de la alternativa

$${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+\cdots ,}$$

multiplicando desde la izquierda, y también la simétrica

$${\displaystyle a+r^{\frac {1}{2}}ar^{\frac {1}{2}}+rar+r^{\frac {3}{2}}ar^{\frac {3}{2}}+\cdots ,}$$

multiplicando la mitad en cada lado. Estas elecciones pueden corresponder a alternativas importantes con diferentes fortalezas y debilidades en las aplicaciones, como en el caso de ordenar las interferencias mutuas de deriva y difusión de manera diferente en escalas temporales infinitesimales en la integración de Ito y la integración de Stratonovitch en el cálculo estocástico .

• "Progresión geométrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Series geométricas" . MathWorld .
• Series geométricas en PlanetMath .
• Peppard, Kim. "Tutorial de álgebra universitaria sobre sucesiones y series geométricas" . Universidad West Texas A&M.
• Casselman, Bill. "Una interpretación geométrica de la serie geométrica" . Archivado del original (Applet) el 29 de septiembre de 2007.
• "Series geométricas" de Michael Schreiber, Proyecto de demostraciones de Wolfram , 2007.