Longitud de un módulo

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo (izquierdo o derecho) sobre algún anillo${\displaystyle R}$. Dada una cadena de submódulos de${\displaystyle M}$de la forma

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

uno dice que${\displaystyle n}$es la longitud de la cadena. ^{[ 1 ]} La longitud de${\displaystyle M}$es la longitud más grande de cualquiera de sus cadenas. Si no existe tal longitud máxima, decimos que${\displaystyle M}$tiene longitud infinita . Claramente, si la longitud de una cadena es igual a la longitud del módulo, se tiene${\displaystyle M_{0}=0}$y${\displaystyle M_{n}=M.}$

La longitud de un anillo${\displaystyle R}$es la longitud de la cadena más larga de ideales ; es decir, la longitud de${\displaystyle R}$considerado como un módulo sobre sí mismo por multiplicación izquierda. Por el contrario, la dimensión de Krull de${\displaystyle R}$es la longitud de la cadena más larga de ideales primos .

Si un${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$tiene longitud finita, entonces es finitamente generado . ^{[ 2 ]} Si R es un cuerpo, entonces lo contrario también es cierto.

Un${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$Tiene longitud finita si y solo si es a la vez un módulo noetheriano y un módulo artiniano ^{[ 1 ]} (cf. teorema de Hopkins ). Dado que todos los anillos artinianos son noetherianos, esto implica que un anillo tiene longitud finita si y solo si es artiniano.

Suponer$${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$es una secuencia corta y exacta de${\displaystyle R}$-módulos. Entonces M tiene longitud finita si y solo si L y N tienen longitud finita, y tenemos$${\displaystyle {\text{longitud}}_{R}(M)={\text{longitud}}_{R}(L)+{\text{longitud}}_{R}(N)}$$En particular, implica las dos propiedades siguientes.

• La suma directa de dos módulos de longitud finita tiene longitud finita.
• El submódulo de un módulo de longitud finita tiene una longitud finita, y su longitud es menor o igual que la de su módulo padre.

Una serie de composición del módulo M es una cadena de la forma

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

de tal manera que

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ es simple para }}i=0,\dots ,n-1}$

Un módulo M tiene longitud finita si y solo si tiene una serie de composición (finita) y la longitud de cada una de dichas series de composición es igual a la longitud de M.

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle k}$tiene una longitud finita. Dada una base${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}}$ahí está la cadena$${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$que es de longitud${\displaystyle n}$. Es máximo porque dada cualquier cadena,$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$La dimensión de cada inclusión aumentará al menos${\displaystyle 1}$Por lo tanto, su longitud y dimensión coinciden.

Sobre un anillo base${\displaystyle R}$Los módulos artinianos forman una clase de ejemplos de módulos finitos. De hecho, estos ejemplos sirven como herramientas básicas para definir el orden de anulación en la teoría de la intersección . ^{[ 3 ]}

Un caso especial de esta definición general de multiplicidad es el orden de anulación de una función algebraica no nula.${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$sobre una variedad algebraica. Dada una variedad algebraica${\displaystyle X}$y una subvariedad${\displaystyle V}$de codimensión 1 ^{[ 3 ]} el orden de anulación para un polinomio${\displaystyle f\in R(X)}$se define como ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$es el anillo local definido por el tallo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$a lo largo de la subvariedad${\displaystyle V}$^{[ 3 ] páginas 426-227}, o, equivalentemente, eltallode${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$en el punto genérico de${\displaystyle V}$^{[ 5 ] página 22}. Si${\displaystyle X}$es una variedad afín y${\displaystyle V}$se define por el lugar de desaparición${\displaystyle V(f)}$, luego está el isomorfismo$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$Esta idea puede extenderse a funciones racionales.${\displaystyle F=f/g}$sobre la variedad${\displaystyle X}$donde el orden se define como ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$lo cual es similar a definir el orden de los ceros y los polos en el análisis complejo .