Morfismo finito

En geometría algebraica , un morfismo finito entre dos variedades afines.${\displaystyle X,Y}$es un mapa regular denso que induce inclusión isomorfa${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$entre sus anillos de coordenadas , de tal manera que${\displaystyle k\left[X\right]}$es integral sobre${\displaystyle k\left[Y\right]}$. ^{[ 1 ]} Esta definición puede extenderse a las variedades cuasiproyectivas , de modo que un mapa regular${\displaystyle f\colon X\to Y}$entre variedades cuasiproyectivas es finito si cualquier punto${\displaystyle y\in Y}$tiene un entorno afín V tal que${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$es afín y${\displaystyle f\colon U\to V}$es una aplicación finita (en vista de la definición anterior, porque está entre variedades afines). ^{[ 2 ]}

Un morfismo f : X → Y de esquemas es un morfismo finito si Y tiene una cubierta abierta mediante esquemas afines.

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Especificación}}\;B_{i}}$

de tal manera que para cada i ,

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

es un subesquema afín abierto Spec A _i , y la restricción de f a U _i , que induce un homomorfismo de anillo

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

hace que A _i sea un módulo finitamente generado sobre B _i (en otras palabras, un álgebra B _i finita ). ^{[ 3 ]} También se dice que X es finito sobre Y.

De hecho, f es finito si y solo si para cada subesquema afín abierto V = Spec B en Y , la imagen inversa de V en X es afín, de la forma Spec A , con A un B -módulo finitamente generado . ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, para cualquier campo k ,${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$es un morfismo finito ya que${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$como${\displaystyle k[t]}$-módulos. Geométricamente, esto es obviamente finito ya que se trata de una cubierta ramificada de n hojas de la línea afín que degenera en el origen. Por el contrario, la inclusión de A ¹ − 0 en A ¹ no es finita. (De hecho, el anillo de polinomios de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] no es finitamente generado como un módulo sobre k [ y ].) Esto restringe nuestra intuición geométrica a familias sobreyectivas con fibras finitas .

• La composición de dos morfismos finitos es finita.
• Cualquier cambio de base de un morfismo finito f : X → Y es finito. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es finito. Esto corresponde a la siguiente afirmación algebraica: si A y C son B -álgebras (conmutativas) y A es finitamente generado como B -módulo, entonces el producto tensorial A ⊗ _B C es finitamente generado como C -módulo. De hecho, los generadores pueden tomarse como los elementos a _i ⊗ 1, donde a _i son los generadores dados de A como B -módulo.
• Las inmersiones cerradas son finitas, ya que están dadas localmente por A → A / I , donde I es el ideal (sección del haz ideal ) correspondiente al subesquema cerrado.
• Los morfismos finitos son cerrados, por lo tanto (debido a su estabilidad bajo cambio de base) son propios . ^{[ 4 ]} Esto se deduce del teorema ascendente de Cohen-Seidenberg en álgebra conmutativa.
• Los morfismos finitos tienen fibras finitas (es decir, son cuasi-finitos ). ^{[ 4 ]} Esto se deduce del hecho de que para un cuerpo k , toda k- álgebra finita es un anillo artiniano . Una afirmación relacionada es que para un morfismo sobreyectivo finito f : X → Y , X e Y tienen la misma dimensión .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y solo si es propio y cuasifinito. ^{[ 5 ]} Esto lo había demostrado Grothendieck si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo cual se deduce de las demás suposiciones si Y es noetheriano . ^{[ 6 ]}
• Los morfismos finitos son tanto proyectivos como afines . ^{[ 4 ]}

• Glosario de geometría algebraica
• Morfismo de tipo finito