Orden (teoría de grupos)

En matemáticas , el orden de un grupo finito es el número de sus elementos. Si un grupo no es finito, se dice que su orden es infinito . El orden de un elemento de un grupo (también llamado período ) es el orden del subgrupo generado por dicho elemento. Si la operación de grupo se denota como una multiplicación , el orden de un elemento a de un grupo es, por lo tanto, el entero positivo más pequeño m tal que a ^m = e , donde e denota el elemento identidad del grupo y a ^m denota el producto de m copias de a . Si no existe tal m , el orden de a es infinito.

El orden de un grupo G se denota por ord( G ) o | G | , y el orden de un elemento a se denota por ord( a ) o | a | , en lugar de${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle ),}$donde los corchetes denotan el grupo generado.

El teorema de Lagrange establece que para cualquier subgrupo H de un grupo finito G , el orden del subgrupo divide al orden del grupo; es decir, | H | es un divisor de | G | . En particular, el orden | a | de cualquier elemento es un divisor de | G | .

El grupo simétrico S ₃ tiene la siguiente tabla de multiplicación .

Este grupo tiene seis elementos, por lo que ord(S ₃ )  = 6 . Por definición, el orden de la identidad, e , es uno, ya que e ¹ = e . Cada uno de s , t , y w es cuadrado de e , por lo que estos elementos del grupo tienen orden dos: | s | = | t | = | w | = 2 . Finalmente, u y v tienen orden 3, ya que u ³  = vu  = e , y v ³  = uv  = e .

El orden de un grupo G y el orden de sus elementos proporcionan mucha información sobre la estructura del grupo. En términos generales, cuanto más compleja sea la factorización de | G |, más compleja será la estructura de G.

Para | G | = 1, el grupo es trivial . En cualquier grupo, solo el elemento identidad a = e tiene ord( a) = 1. Si cada elemento distinto de la identidad en G es igual a su inverso (de modo que a² = ^e ) , entonces ord( a ) = 2; esto implica que G es abeliano ya que${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$Lo contrario no es cierto; por ejemplo, el grupo cíclico (aditivo) Z ₆ de enteros módulo 6 es abeliano, pero el número 2 tiene orden 3:

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

La relación entre los dos conceptos de orden es la siguiente: si escribimos

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

para el subgrupo generado por a , entonces

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$

Para cualquier entero k , tenemos

a ^k = e  si y solo si  ord( a ) divide a k .

En general, el orden de cualquier subgrupo de G divide el orden de G. Más precisamente: si H es un subgrupo de G , entonces

ord( G ) / ord( H ) = [ G  : H ], donde [ G  : H ] es el índice de H en G , un número entero. Este es el teorema de Lagrange . (Sin embargo, esto solo es cierto cuando G tiene orden finito. Si ord( G ) = ∞, el cociente ord( G ) / ord( H ) no tiene sentido).

Como consecuencia inmediata de lo anterior, vemos que el orden de cada elemento de un grupo divide el orden del grupo. Por ejemplo, en el grupo simétrico mostrado arriba, donde ord(S ₃ )  = 6, los posibles órdenes de los elementos son 1, 2, 3 o 6.

El siguiente recíproco parcial es cierto para grupos finitos : si d divide el orden de un grupo G y d es un número primo , entonces existe un elemento de orden d en G (esto a veces se denomina teorema de Cauchy ). La afirmación no se cumple para órdenes compuestos ; por ejemplo, el grupo de Klein de orden cuatro no tiene un elemento de orden cuatro. Esto se puede demostrar mediante una prueba inductiva . ^{[ 1 ]} Las consecuencias del teorema incluyen: el orden de un grupo G es una potencia de un primo p si y solo si ord( a ) es alguna potencia de p ^para todo a en G. ^{[ 2} ]

Si a tiene orden infinito, entonces todas las potencias de a distintas de cero también tienen orden infinito. Si a tiene orden finito, tenemos la siguiente fórmula para el orden de las potencias de a :

ord( a ^k ) = ord( a ) / mcd (ord( a ), k ) ^{[ 3 ]}

para cada entero k . En particular, a y su inverso a ⁻¹ tienen el mismo orden.

En cualquier grupo,

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

No existe una fórmula general que relacione el orden de un producto ab con los órdenes de a y b . De hecho, es posible que tanto a como b tengan orden finito mientras que ab tenga orden infinito, o que tanto a como b tengan orden infinito mientras que ab tenga orden finito. Un ejemplo del primer caso es a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− x con ab ( x ) = x −1 en el grupo${\displaystyle Sym(\mathbb {Z} )}$Un ejemplo de esto último es a ( x ) = x + 1, b ( x ) = x - 1 con ab ( x ) = x . Si ab = ba , podemos decir al menos que ord( ab ) divide a mcm (ord( a ), ord( b )). Como consecuencia, se puede demostrar que en un grupo abeliano finito, si m denota el máximo de todos los órdenes de los elementos del grupo, entonces el orden de cada elemento divide a m .

Supongamos que G es un grupo finito de orden n y d es un divisor de n . El número de elementos de orden d en G es un múltiplo de φ( d ) (posiblemente cero), donde φ es la función totiente de Euler , que da el número de enteros positivos no mayores que d y coprimos con él. Por ejemplo, en el caso de S3 _, φ(3)  = 2, y tenemos exactamente dos elementos de orden 3. El teorema no proporciona información útil sobre elementos de orden 2, porque φ(2)  = 1, y solo es de utilidad limitada para d compuesto como d = 6, ya que φ(6) = 2, y hay cero elementos de orden 6 en _S3 .

Los homomorfismos de grupo tienden a reducir los órdenes de los elementos: si f : G → H es un homomorfismo, y a es un elemento de G de orden finito, entonces ord( f ( a )) divide a ord( a ). Si f es inyectiva , entonces ord( f ( a )) = ord( a ). Esto se puede usar a menudo para demostrar que no hay homomorfismos o homomorfismos inyectivos entre dos grupos dados explícitamente. (Por ejemplo, no puede haber un homomorfismo no trivial h : S ₃ → Z ₅ , porque todo número excepto el cero en Z ₅ tiene orden 5, que no divide los órdenes 1, 2 y 3 de los elementos en S ₃ ). Una consecuencia adicional es que los elementos conjugados tienen el mismo orden.       

Un resultado importante sobre los órdenes es la ecuación de clases ; relaciona el orden de un grupo finito G con el orden de su centro Z( G ) y los tamaños de sus clases de conjugación no triviales :

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

donde los d _i son los tamaños de las clases de conjugación no triviales; estos son divisores propios de | G | mayores que uno, y también son iguales a los índices de los centralizadores en G de los representantes de las clases de conjugación no triviales. Por ejemplo, el centro de S ₃ es simplemente el grupo trivial con el único elemento e , y la ecuación se lee |S ₃ |  = 1+2+3.

• subgrupo de torsión

• Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstracta, ISBN 978-0471433347, págs. 20, 54–59, 90
• Artin, Michael. Álgebra, ISBN 0-13-004763-5págs. 46–47