Regla de subdivisión finita

En matemáticas, una regla de subdivisión finita es una forma recursiva de dividir un polígono u otra figura bidimensional en piezas cada vez más pequeñas. Las reglas de subdivisión son, en cierto sentido, generalizaciones de los fractales geométricos regulares . En lugar de repetir exactamente el mismo diseño una y otra vez, presentan ligeras variaciones en cada etapa, lo que permite una estructura más rica sin perder la elegancia de los fractales. ^{[ 1 ]} Las reglas de subdivisión se han utilizado en arquitectura, biología e informática, así como en el estudio de variedades hiperbólicas . Los teselados de sustitución son un tipo de regla de subdivisión ampliamente estudiado.

Una regla de subdivisión toma un teselado del plano mediante polígonos y lo transforma en un nuevo teselado subdividiendo cada polígono en polígonos más pequeños. Es finita si solo existen un número finito de maneras en que cada polígono puede subdividirse. Cada forma de subdividir un teselado se denomina tipo de teselado . Cada tipo de teselado se representa mediante una etiqueta (generalmente una letra). Cada tipo de teselado se subdivide en tipos de teselado más pequeños. Cada arista también se subdivide según un número finito de tipos de aristas . Las reglas de subdivisión finitas solo pueden subdividir teselados formados por polígonos etiquetados con tipos de teselado. Dichos teselados se denominan complejos de subdivisión para la regla de subdivisión. Dado cualquier complejo de subdivisión para una regla de subdivisión, podemos subdividirlo repetidamente para obtener una secuencia de teselados. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, la subdivisión binaria tiene un tipo de tesela y un tipo de arista. Todos los cuadriláteros son teselas de tipo A. ^{[ 3 ]}

Dado que el único tipo de tesela es un cuadrilátero, la subdivisión binaria solo puede subdividir teselaciones formadas por cuadriláteros. Esto significa que los únicos complejos de subdivisión son teselaciones formadas por cuadriláteros. La teselación puede ser regular , pero no necesariamente. El siguiente ejemplo comienza con un complejo formado por cuatro cuadriláteros y lo subdivide dos veces. ^{[ 4 ]}

La subdivisión baricéntrica es un ejemplo de regla de subdivisión con un tipo de arista (que se subdivide en dos aristas) y un tipo de tesela (un triángulo que se subdivide en 6 triángulos más pequeños). Cualquier superficie triangulada es un complejo de subdivisión baricéntrica. ^{[ 1 ]}

El teselado de Penrose se puede generar mediante una regla de subdivisión en un conjunto de cuatro tipos de teselas (las líneas curvas en la tabla siguiente solo ayudan a mostrar cómo encajan las teselas): ^{[ 5 ]}

Ciertos mapas racionales dan lugar a reglas de subdivisión finitas. ^{[ 6 ]} Esto incluye la mayoría de los mapas de Lattès . ^{[ 7 ]}

Cada complemento de nudo o enlace alternante primo y no dividido tiene una regla de subdivisión, con algunas teselas que no se subdividen, correspondientes al límite del complemento de enlace. ^{[ 8 ]} Las reglas de subdivisión muestran cómo se vería el cielo nocturno para alguien que vive en un complemento de nudo ; debido a que el universo se enrolla sobre sí mismo (es decir, no está simplemente conectado ), un observador vería el universo visible repetirse en un patrón infinito. ^{[ 9 ]} La regla de subdivisión describe ese patrón. ^{[ 8 ]}

La regla de subdivisión se ve diferente para diferentes geometrías. Esta es una regla de subdivisión para el nudo de trébol , que no es un nudo hiperbólico : ^{[ 8 ]}

Y esta es la regla de subdivisión para los anillos borromeos , que es hiperbólica: ^{[ 8 ]}

En cada caso, la regla de subdivisión actuaría sobre algún teselado de una esfera (es decir, el cielo nocturno), pero es más fácil simplemente dibujar una pequeña parte del cielo nocturno, correspondiente a un solo teselado que se subdivide repetidamente. Esto es lo que sucede con el nudo de trébol: ^{[ 8 ]}

Y para los anillos borromeos: ^{[ 8 ]}

Las reglas de subdivisión se pueden generalizar fácilmente a otras dimensiones. ^{[ 10 ]} Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica se utiliza en todas las dimensiones. ^{[ 11 ]} Además, la subdivisión binaria se puede generalizar a otras dimensiones (donde los hipercubos se dividen por cada plano medio), como se utiliza en ciertas demostraciones en análisis matemático de dimensiones superiores, como para el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel . ^{[ 12 ]}

Una regla de subdivisión finita${\displaystyle R}$Consta de lo siguiente. ^{[ 2 ]}

1. Un complejo CW bidimensional finito${\displaystyle S_{R}}$, llamado complejo de subdivisión , con una estructura celular fija tal que${\displaystyle S_{R}}$es la unión de sus 2-celdas cerradas. Suponemos que para cada 2-celda cerrada${\displaystyle {\tilde {s}}}$de${\displaystyle S_{R}}$Hay una estructura CW${\displaystyle s}$en un sistema cerrado de 2 discos tal que${\displaystyle s}$tiene al menos dos vértices, los vértices y las aristas de${\displaystyle s}$están contenidos en${\displaystyle \partial s}$y el mapa característico${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$que se corresponde con${\displaystyle {\tilde {s}}}$restringe a un homeomorfismo en cada celda abierta. ^{[ 2 ]}
2. Un complejo CW bidimensional finito${\displaystyle R(S_{R})}$, que es una subdivisión de${\displaystyle S_{R}}$. ^{[ 2 ]}
3. Un mapa celular continuo${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$llamado mapa de subdivisión , cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo sobre una celda abierta. ^{[ 2 ]}

Cada complejo CW${\displaystyle s}$en la definición anterior (con su mapa característico dado)${\displaystyle \psi _{s}}$) se denomina tipo de baldosa . ^{[ 2 ]}

Un${\displaystyle R}$-complejo para una regla de subdivisión${\displaystyle R}$es un complejo CW bidimensional${\displaystyle X}$que es la unión de sus 2-celdas cerradas, junto con un mapa celular continuo${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo. Podemos subdividir${\displaystyle X}$en un complejo${\displaystyle R(X)}$al exigir que el mapa inducido${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$se restringe a un homeomorfismo en cada celda abierta.${\displaystyle R(X)}$es de nuevo un${\displaystyle R}$-complejo con mapa${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$. Al repetir este proceso se obtiene una secuencia de subdivisiones${\displaystyle R}$-complejos${\displaystyle R^{n}(X)}$con mapas${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$. ^{[ 2 ]}

Las reglas de subdivisión se pueden utilizar para estudiar las propiedades de cuasi-isometría de ciertos espacios. ^{[ 13 ]} Dada una regla de subdivisión${\displaystyle R}$y complejo de subdivisiones${\displaystyle X}$Se puede construir un gráfico llamado "gráfico de historial" que registra la acción de la regla de subdivisión. El gráfico consta de los gráficos duales de cada etapa.${\displaystyle R^{n}(X)}$, junto con los bordes que conectan cada baldosa en${\displaystyle R^{n}(X)}$con sus subdivisiones en${\displaystyle R^{n+1}(X)}$. ^{[ 14 ]}

Las propiedades de cuasi-isometría del grafo de historial pueden estudiarse utilizando reglas de subdivisión. Por ejemplo, el grafo de historial es cuasi-isométrico al espacio hiperbólico precisamente cuando la regla de subdivisión es "conforme", como se describe en el teorema de mapeo combinatorio de Riemann . ^{[ 13 ]}

Aplicaciones de las normas de subdivisión.

Un ejemplo de regla de subdivisión utilizada en el arte islámico conocida como girih .

Primeros tres pasos de la subdivisión de Catmull-Clark de un cubo con la superficie de subdivisión debajo.

La ramificación de los bronquios puede modelarse mediante reglas de subdivisión finitas.

Los mosaicos Girih islámicos en la arquitectura islámica son mosaicos autosimilares que pueden modelarse con reglas de subdivisión finitas. ^{[ 15 ]} En 2007, Peter J. Lu de la Universidad de Harvard y el profesor Paul J. Steinhardt de la Universidad de Princeton publicaron un artículo en la revista Science sugiriendo que los mosaicos girih poseían propiedades consistentes con mosaicos cuasicristalinos fractales autosimilares como los mosaicos de Penrose (presentación de 1974, trabajos predecesores que comienzan alrededor de 1964) que los preceden en cinco siglos. ^{[ 15 ]}

Las superficies de subdivisión en gráficos por computadora utilizan reglas de subdivisión para refinar una superficie a cualquier nivel de precisión dado. Estas superficies de subdivisión (como la superficie de subdivisión de Catmull-Clark ) toman una malla poligonal (del tipo que se usa en películas animadas en 3D) y la refinan a una malla con más polígonos agregando y desplazando puntos según diferentes fórmulas recursivas. Aunque muchos puntos se desplazan en este proceso, cada nueva malla es combinatoriamente una subdivisión de la malla anterior (lo que significa que para cada arista y vértice de la malla anterior, se puede identificar una arista y un vértice correspondientes en la nueva, además de varias aristas y vértices más). ^{[ 16 ]}

Cannon, Floyd y Parry (2000) aplicaron reglas de subdivisión al estudio de los patrones de crecimiento a gran escala de los organismos biológicos. ^{[ 17 ]} Desarrollaron un modelo matemático de crecimiento que demostró que algunos sistemas determinados por reglas de subdivisión finitas simples pueden dar lugar a objetos (en su ejemplo, el tronco de un árbol) cuya forma a gran escala oscila drásticamente con el tiempo, aunque las leyes de subdivisión locales permanezcan invariables. También aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de rata. Sugirieron que la naturaleza de "curvatura negativa" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no se asemejan a cristales o formas poliédricas, sino que, de hecho, en muchos casos, se parecen a fractales autosimilares . En particular, sugirieron que dicha estructura local de "curvatura negativa" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y conectada del cerebro y el tejido pulmonar. ^{[ 17 ]}

Cannon , Floyd y Parry estudiaron por primera vez las reglas de subdivisión finitas en un intento de demostrar la siguiente conjetura: ^{[ 13 ]}

Todo grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito actúa geométricamente sobre el espacio hiperbólico 3-dimensional .

Aquí, una acción geométrica es una acción cocompacta, propiamente discontinua por isometrías. Esta conjetura fue parcialmente resuelta por Grigori Perelman en su demostración de la conjetura de geometrización , que afirma (en parte) que cualquier grupo hiperbólico de Gromov que sea un grupo de 3-variedades debe actuar geométricamente sobre el espacio hiperbólico de 3 dimensiones. Sin embargo, aún queda por demostrar que un grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito es un grupo de 3-variedades. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

Cannon y Swenson demostraron ^{[ 21 ]} que un grupo hiperbólico con una 2-esfera en el infinito tiene una regla de subdivisión asociada. Si esta regla de subdivisión es conforme en cierto sentido, el grupo será un grupo de 3-variedades con la geometría del espacio hiperbólico tridimensional. ^{[ 13 ]}

Las reglas de subdivisión proporcionan una secuencia de teselaciones de una superficie, y estas teselaciones ofrecen una comprensión intuitiva de la distancia, la longitud y el área (asignando a cada tesela una longitud y un área de 1). En el límite, las distancias que resultan de estas teselaciones pueden converger, en cierto sentido, a una estructura analítica en la superficie. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann proporciona condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra. ^{[ 13 ]}

Su declaración necesita algunos antecedentes. Un mosaico${\displaystyle T}$de un anillo${\displaystyle R}$(es decir, un anillo cerrado) da dos invariantes,${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$y${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$, llamados módulos aproximados . Estos son similares al módulo clásico de un anillo . Se definen mediante el uso de "funciones de peso". Una función de peso${\displaystyle \rho }$asigna un número no negativo llamado "peso" a cada baldosa de${\displaystyle T}$. Cada camino en${\displaystyle R}$Se le puede dar una longitud, definida como la suma de los pesos de todas las baldosas en el camino. Defina la altura.${\displaystyle H(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$ser el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que conectan el límite interior de${\displaystyle R}$hasta el límite exterior. La circunferencia${\displaystyle C(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$es el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que rodean el anillo (es decir, no nulohomotópico en R). El área${\displaystyle A(\rho )}$de${\displaystyle R}$bajo${\displaystyle \rho }$se define como la suma de los cuadrados de todos los pesos en${\displaystyle R}$. Invariantes bajo escalamiento de la métrica, se pueden definir como: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\sup }(R,T)&=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},\\m_{\inf }(R,T)&=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Una secuencia${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$de teselaciones es conforme (${\displaystyle K}$) si la malla se aproxima a 0 y: ^{[ 13 ]}

1. Para cada anillo${\displaystyle R}$, los módulos aproximados${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$y${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$, para todos${\displaystyle i}$suficientemente grandes, se encuentran en un único intervalo de la forma${\displaystyle [r,Kr]}$; y
2. Dado un punto${\displaystyle x}$en la superficie, un vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle x}$y un número entero${\displaystyle I}$, hay un anillo${\displaystyle R}$en${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$separando x del complemento de${\displaystyle N}$, de tal manera que para todos los grandes${\displaystyle i}$los módulos aproximados de${\displaystyle R}$son todos mayores que${\displaystyle I}$.

• Página de investigación de Bill Floyd . Esta página contiene la mayoría de los trabajos de investigación de Cannon, Floyd y Parry sobre reglas de subdivisión, así como una galería de reglas de subdivisión.