Categoría completa

En matemáticas , una categoría completa es aquella en la que existen todos los límites pequeños . Es decir, una categoría C es completa si todo diagrama F  : J → C (donde J es pequeño ) tiene un límite en C. De manera similar , una categoría cocompleta es aquella en la que existen todos los colímites pequeños . Una categoría bicompleta es aquella que es a la vez completa y cocompleta.

La existencia de todos los límites (incluso cuando J es una clase propia ) es demasiado fuerte para ser relevante en la práctica. Cualquier categoría con esta propiedad es necesariamente una categoría delgada : para cualesquiera dos objetos puede haber como máximo un morfismo de un objeto al otro.

Una forma más débil de completitud es la de completitud finita. Una categoría es finitamente completa si existen todos los límites finitos (es decir, los límites de los diagramas indexados por una categoría finita J ). De manera similar, una categoría es finitamente cocompleta si existen todos los colímites finitos.

Del teorema de existencia de límites se deduce que una categoría es completa si y solo si tiene igualadores (de todos los pares de morfismos) y todos los productos (pequeños) . Dado que los igualadores pueden construirse a partir de retrocesos y productos binarios (consideremos el retroceso de ( f , g ) a lo largo de la diagonal Δ), una categoría es completa si y solo si tiene retrocesos y productos.

De manera dual, una categoría es cocompleta si y solo si tiene coecualizadores y todos los coproductos (pequeños) o, equivalentemente, empujes y coproductos.

La completitud finita se puede caracterizar de varias maneras. Para una categoría C , las siguientes son todas equivalentes:

• C es finitamente completo,
• C tiene ecualizadores y todos los productos finitos,
• C tiene ecualizadores, productos binarios y un objeto terminal ,
• C tiene retrocesos y un objeto terminal.

Las afirmaciones duales también son equivalentes.

Una categoría pequeña C es completa si y solo si es cocompleta. ^{[ 1 ]} Una categoría completa pequeña es necesariamente delgada.

Una categoría posetal tiene, de forma trivial, todos los igualadores y coigualadores, por lo que es (finitamente) completa si y solo si tiene todos los productos (finitos), y dualmente para la cocompletitud. Sin la restricción de finitud, una categoría posetal con todos los productos es automáticamente cocomplet, y dualmente, por un teorema sobre retículos completos.

• Las siguientes categorías son bicompletas:
  • Conjunto , la categoría de conjuntos ^{[ 2 ]}
  • Top , la categoría de espacios topológicos
  • Grp , la categoría de grupos
  • Ab , la categoría de grupos abelianos
  • Anillo , la categoría de anillos
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K
  • R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R
  • CmptH , la categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff
  • Gato , la categoría de todas las categorías pequeñas
  • Whl , la categoría de ruedas
  • sSet , la categoría de conjuntos simpliciales ^{[ 3 ]}
• Las siguientes categorías son finitamente completas y finitamente cocompletas, pero no son ni completas ni cocompletas:
  • La categoría de conjuntos finitos
  • La categoría de grupos abelianos finitos
  • La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita
• Cualquier categoría ( pre ) abeliana es finitamente completa y finitamente cocompleta.
• La categoría de retículos completos es completa pero no cocompleta.
• La categoría de espacios métricos , Met , es finitamente completa pero no tiene ni coproductos binarios ni productos infinitos.
• La categoría de campos , Campo , no es ni finitamente completa ni finitamente cocompleta.
• Un poset , considerado como una categoría pequeña, es completo (y cocompleto) si y solo si es un retículo completo .
• La clase parcialmente ordenada de todos los números ordinales es cocompleta pero no completa (ya que no tiene objeto terminal).
• Un grupo, considerado como una categoría con un solo objeto, es completo si y solo si es trivial . Un grupo no trivial tiene retrocesos y empujes, pero no productos, coproductos, ecualizadores, coecualizadores, objetos terminales ni objetos iniciales.

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª  ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.