Finitismo

El finitismo es una filosofía de las matemáticas que acepta la existencia únicamente de objetos matemáticos finitos . Se comprende mejor al compararlo con la filosofía de las matemáticas convencional, donde se acepta la existencia de objetos matemáticos infinitos (por ejemplo, conjuntos infinitos ).

La idea principal de las matemáticas finitistas es no aceptar la existencia de objetos infinitos, como los conjuntos infinitos. Si bien se acepta la existencia de todos los números naturales , el conjunto de todos los números naturales no se considera un objeto matemático. Por lo tanto, la cuantificación sobre dominios infinitos no se considera significativa. La teoría matemática frecuentemente asociada con el finitismo es la aritmética recursiva primitiva de Thoralf Skolem .

La introducción de objetos matemáticos infinitos se produjo hace algunos siglos, cuando su uso ya era un tema controvertido entre los matemáticos. El asunto cobró nueva dimensión cuando Georg Cantor, en 1874, introdujo lo que hoy se conoce como teoría ingenua de conjuntos y la utilizó como base para su trabajo sobre números transfinitos . Cuando se descubrieron paradojas como la de Russell , la de Berry y la de Burali-Forti en la teoría ingenua de conjuntos de Cantor, el tema se convirtió en un asunto candente entre los matemáticos.

Los matemáticos adoptaron diversas posturas. Todos coincidían en la existencia de objetos matemáticos finitos, como los números naturales. Sin embargo, existían discrepancias respecto a los objetos matemáticos infinitos. Una de estas posturas era la matemática intuicionista , defendida por L. E. J. Brouwer , que rechazaba la existencia de objetos infinitos hasta que fueran construidos.

Otra postura fue respaldada por David Hilbert : los objetos matemáticos finitos son objetos concretos, los objetos matemáticos infinitos son objetos ideales, y aceptar objetos matemáticos ideales no plantea ningún problema con respecto a los objetos matemáticos finitos. De manera más formal, Hilbert creía que es posible demostrar que cualquier teorema sobre objetos matemáticos finitos que se pueda obtener utilizando objetos infinitos ideales también se puede obtener sin ellos. Por lo tanto, permitir objetos matemáticos infinitos no causaría ningún problema con respecto a los objetos finitos. Esto condujo al programa de Hilbert de probar tanto la consistencia como la completitud de la teoría de conjuntos utilizando métodos finitistas, ya que esto implicaría que añadir objetos matemáticos ideales es conservador con respecto a la parte finitista. Las ideas de Hilbert también están asociadas con la filosofía formalista de las matemáticas . El objetivo de Hilbert de probar la consistencia y la completitud de la teoría de conjuntos, o incluso de la aritmética, mediante métodos finitistas resultó ser una tarea imposible debido a los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel . Sin embargo, la gran conjetura de Harvey Friedman implicaría que la mayoría de los resultados matemáticos son demostrables utilizando métodos finitistas.

Hilbert no ofreció una explicación rigurosa de lo que consideraba finitista y a lo que se refería como elemental. Sin embargo, basándose en su trabajo con Paul Bernays, algunos expertos como Tait (1981) han argumentado que la aritmética recursiva primitiva puede considerarse un límite superior de lo que Hilbert consideraba matemáticas finitistas. ^{[ 1 ]}

Como resultado de los teoremas de Gödel, al quedar claro que no hay esperanza de demostrar tanto la consistencia como la completitud de las matemáticas, y con el desarrollo de teorías de conjuntos axiomáticas aparentemente consistentes , como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la mayoría de los matemáticos modernos no se centran en este tema.

En su libro * La filosofía de la teoría de conjuntos* , Mary Tiles caracterizó a quienes admiten objetos potencialmente infinitos como finitistas clásicos , y a quienes no los admiten como finitistas estrictos : por ejemplo, un finitista clásico admitiría afirmaciones como "todo número natural tiene un sucesor " y aceptaría la validez de las series infinitas en el sentido de límites de sumas parciales finitas, mientras que un finitista estricto no lo haría. Históricamente, la historia escrita de las matemáticas fue, por lo tanto, clásicamente finitista hasta que Cantor creó la jerarquía de los cardinales transfinitos a finales del siglo XIX.

Leopold Kronecker siguió siendo un acérrimo opositor a la teoría de conjuntos de Cantor: ^{[ 2 ]}

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.

Reuben Goodstein fue otro defensor del finitismo. Parte de su trabajo consistió en desarrollar el análisis a partir de fundamentos finitistas.

Aunque él lo negó, gran parte de los escritos de Ludwig Wittgenstein sobre matemáticas tienen una fuerte afinidad con el finitismo. ^{[ 4 ]}

Si se contrapone a los finitistas con los transfinitistas (defensores, por ejemplo, de la jerarquía de infinitos de Georg Cantor ), entonces también Aristóteles puede ser caracterizado como finitista. Aristóteles promovió especialmente el infinito potencial como una opción intermedia entre el finitismo estricto y el infinito actual (este último como una actualización de algo que nunca termina en la naturaleza, en contraste con el infinito actual cantorista que consiste en los números cardinales y ordinales transfinitos , que no tienen nada que ver con las cosas en la naturaleza):

Pero, por otro lado, suponer que el infinito no existe de ninguna manera conlleva, obviamente, muchas consecuencias imposibles: habría un principio y un fin del tiempo, una magnitud no sería divisible en magnitudes, el número no sería infinito. Si, entonces, en vista de las consideraciones anteriores, ninguna de las alternativas parece posible, es necesario recurrir a un árbitro.

El ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo) tiene una actitud aún más conservadora hacia los objetos matemáticos que el finitismo, y objeta la existencia de objetos matemáticos finitos cuando son demasiado grandes.

Hacia finales del siglo XX, John Penn Mayberry desarrolló un sistema de matemáticas finitas que denominó "aritmética euclidiana". El principio más llamativo de su sistema es el rechazo total y riguroso del estatus fundamental que normalmente se otorga a los procesos iterativos, incluyendo en particular la construcción de los números naturales mediante la iteración "+1". En consecuencia, Mayberry discrepa profundamente de quienes pretenden equiparar las matemáticas finitas con la aritmética de Peano o cualquiera de sus fragmentos, como la aritmética recursiva primitiva .

• Constructivismo (filosofía de las matemáticas)
• intuicionismo
• Teoría de conjuntos de Kripke-Platek#Opuesto al infinito
• Trigonometría racional
• Finitismo temporal
• Problema transcomputacional

• Feng Ye (2011)
• Van Bendegem (2019)

• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C., eds. (2004). «17 ¿Discuten los matemáticos? §17.7 Cantor contra Kronecker». Derivadas y geometría en IR3 . Matemáticas aplicadas: cuerpo y alma. Vol.  1. Springer. ISBN 9783540008903.

• Feng Ye (2011). Finitismo estricto y la lógica de las aplicaciones matemáticas . Springer. ISBN 978-94-007-1347-5.

• Rodych, Victor (2018) [2007]. "La filosofía de las matemáticas de Wittgenstein" . En Edward N. Zalta (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . Recuperado el 1 de octubre de 2023 .

• Schirn, Mathias; Niebergall, Karl-Georg (2005). "¿Finitismo = PRA? Sobre una tesis de WW Tait" (PDF) . Reports on Mathematical Logic . 39 : 3–26 .

• Tait, William W. (1981). "Finitismo". The Journal of Philosophy . 78 (9): 524– 546. doi : 10.2307/2026089 . JSTOR 2026089 . 

• Van Bendegem, Jean Paul (2019) [2002]. "Finitismo en geometría" . En Edward N. Zalta (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . Recuperado el 1 de octubre de 2023 .

• Weber, Heinrich Martín (1893). Leopoldo Kronecker . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. vol.  2, 1891–92 . Georg Reimer.