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Ley de Benford

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Una secuencia de barras azules decrecientes sobre un fondo de cuadrícula gris claro.
Distribución de los primeros dígitos, según la ley de Benford. Cada barra representa un dígito, y la altura de la barra indica el porcentaje de números que comienzan con ese dígito.
Frecuencia del primer dígito significativo de las constantes físicas representada gráficamente frente a la ley de Benford.

La ley de Benford , también conocida como ley de Newcomb-Benford , ley de los números anómalos o ley del primer dígito , es una observación que indica que en muchos conjuntos de datos numéricos de la vida real , es probable que el primer dígito sea pequeño. [ 1 ] En conjuntos que obedecen la ley, el número 1 aparece como el primer dígito significativo aproximadamente el 30% de las veces, mientras que el 9 aparece como el primer dígito significativo menos del 5% de las veces. Los dígitos distribuidos uniformemente aparecerían cada uno aproximadamente el 11,1% de las veces. [ 2 ] La ley de Benford también hace predicciones sobre la distribución de segundos dígitos, terceros dígitos, combinaciones de dígitos, etc.

La ley de Benford se puede derivar asumiendo que los valores del conjunto de datos se distribuyen uniformemente en una escala logarítmica. El gráfico de la derecha muestra la ley de Benford en base 10. Aunque la base decimal es la más común, el resultado se generaliza a cualquier base entera mayor que 2. Otras generalizaciones publicadas en 1995 [ 3 ] incluyeron enunciados análogos tanto para el enésimo dígito principal como para la distribución conjunta de los n dígitos principales , lo que conduce a un corolario en el que se demuestra que los dígitos significativos son una cantidad estadísticamente dependiente .

Se ha demostrado que este resultado se aplica a una amplia variedad de conjuntos de datos, incluyendo facturas de electricidad, direcciones postales, precios de acciones, precios de viviendas, números de población, tasas de mortalidad, longitudes de ríos y constantes físicas y matemáticas . [ 4 ] Al igual que otros principios generales sobre datos naturales —por ejemplo, el hecho de que muchos conjuntos de datos se aproximan bien mediante una distribución normal— existen ejemplos ilustrativos y explicaciones que cubren muchos de los casos en los que se aplica la ley de Benford, aunque hay muchos otros casos en los que se aplica la ley de Benford que resisten explicaciones simples. [ 5 ] [ 6 ] La ley de Benford tiende a ser más precisa cuando los valores se distribuyen en múltiples órdenes de magnitud , especialmente si el proceso que genera los números se describe mediante una ley de potencias (lo cual es común en la naturaleza).

La ley recibe su nombre del físico Frank Benford , quien la enunció en 1938 en un artículo titulado "La ley de los números anómalos" [ 7 ] , aunque Simon Newcomb ya la había enunciado en 1881. [ 8 ] [ 9 ]

La ley es similar en concepto, aunque no idéntica en su distribución, a la ley de Zipf .

Definición

Rectángulo con eje resaltado en negrita en la parte inferior izquierda y líneas gris claro que representan logaritmos.
Una barra de escala logarítmica . Si se elige una posición x aleatoria de forma uniforme en esta recta numérica, aproximadamente el 30% de las veces el primer dígito distinto de cero del número será 1.

Se dice que un conjunto de números satisface la ley de Benford si el dígito principal d ( d ∈ {1, ..., 9} ) aparece con probabilidad [ 10 ].     

PAG(d)=registro10⁡(d+1)−registro10⁡(d)=registro10⁡(d+1d)=registro10⁡(1+1d).{\displaystyle P(d)=\log _{10}(d+1)-\log _{10}(d)=\log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).}

Los dígitos principales de dicho conjunto tienen, por lo tanto, la siguiente distribución:

La cantidadPAG(d){\displaystyle P(d)}es proporcional al espacio entre d y d  +  1 en una escala logarítmica . Por lo tanto, esta es la distribución esperada si los logaritmos de los números (pero no los números mismos) están distribuidos de manera uniforme y aleatoria .

Por ejemplo, un número x , restringido a estar entre 1 y 10, comienza con el dígito 1 si 1  ≤ x < 2    , y comienza con el dígito 9 si 9  ≤ x < 10.    Por lo tanto, x comienza con el dígito 1 si log  1  ≤  log x < log 2     , o comienza con 9 si log  9  ≤  log x < log 10.     El intervalo [log  1,  log  2] es mucho más amplio que el intervalo [log  9,  log  10] (0,30 y 0,05 respectivamente); por lo tanto, si log x se distribuye de forma uniforme y aleatoria, es mucho más probable que caiga en el intervalo más amplio que en el más estrecho, es decir, es más probable que comience con 1 que con 9; las probabilidades son proporcionales a las amplitudes de los intervalos, lo que da como resultado la ecuación anterior (así como la generalización a otras bases además de la decimal).

La ley de Benford a veces se formula de manera más contundente, afirmando que la parte fraccionaria del logaritmo de los datos suele estar distribuida de forma casi uniforme entre 0 y 1; a partir de esto, se puede derivar la afirmación principal sobre la distribución de los primeros dígitos. [ 5 ]

En otras bases

Gráficas de P ( d ) para el dígito inicial d en varias bases. [ Notas 1 ] La línea punteada muestra P ( d ) si la distribución fuera uniforme. (En la imagen SVG , coloque el cursor sobre una gráfica para ver el valor de cada punto).

Una extensión de la ley de Benford predice la distribución de los primeros dígitos en otras bases además de la decimal ; de hecho, cualquier base b  ≥  2. La forma general es [ 11 ].

PAG(d)=registrob⁡(d+1)−registrob⁡(d)=registrob⁡(1+1d).{\displaystyle P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).}

Para los sistemas numéricos con b = 2, 1 ( binario y unario ), la ley de Benford es verdadera pero trivial: todos los números binarios y unarios (excepto el 0 o el conjunto vacío) comienzan con el dígito 1. (Por otro lado, la generalización de la ley de Benford a los dígitos siguientes no es trivial, incluso para los números binarios. [ 12 ] )

Ejemplos

Distribución de los primeros dígitos (en  %, barras rojas) en la población de los 237 países del mundo a julio de 2010. Los puntos negros indican la distribución prevista por la ley de Benford.

Al examinar una lista de las alturas de las 58 estructuras más altas del mundo por categoría, se observa que el 1 es, con mucho, el dígito principal más común, independientemente de la unidad de medida (véase "invariancia de escala" más abajo):

Otro ejemplo es el dígito principal de 2 n . La secuencia de los primeros 96 dígitos principales (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1,  ... (secuencia A008952 en la OEIS ) ) muestra una adhesión más cercana a la ley de Benford de lo que se esperaría para secuencias aleatorias de la misma longitud, porque se deriva de una secuencia geométrica. [ 13 ]

Historia

El descubrimiento de la ley de Benford se remonta a 1881, cuando el astrónomo canadiense-estadounidense Simon Newcomb notó que en las tablas de logaritmos las primeras páginas (que comenzaban con 1) estaban mucho más desgastadas que las demás. [ 8 ] El resultado publicado por Newcomb es el primer caso conocido de esta observación e incluye también una distribución en el segundo dígito. Newcomb propuso una ley según la cual la probabilidad de que un solo número N sea el primer dígito de un número era igual a log( N  +  1)  −  log( N ).

El fenómeno fue observado nuevamente en 1938 por el físico Frank Benford , [ 7 ] quien lo probó con datos de 20 dominios diferentes y se le atribuyó el mérito. Su conjunto de datos incluía las áreas superficiales de 335 ríos, los tamaños de 3259 poblaciones de EE. UU., 104 constantes físicas , 1800 pesos moleculares , 5000 entradas de un manual matemático, 308 números contenidos en un número de Reader's Digest , las direcciones de las primeras 342 personas listadas en American Men of Science y 418 tasas de mortalidad. El número total de observaciones utilizadas en el artículo fue de 20 229. Este descubrimiento fue posteriormente nombrado en honor a Benford (convirtiéndolo en un ejemplo de la ley de Stigler ).

En 1995, Ted Hill demostró el resultado sobre distribuciones mixtas mencionado a continuación . [ 14 ] [ 15 ]

Explicaciones

La ley de Benford tiende a aplicarse con mayor precisión a datos que abarcan varios órdenes de magnitud . Como regla general, cuanto mayor sea el rango de órdenes de magnitud que los datos cubran de manera uniforme, con mayor precisión se aplicará la ley de Benford. Por ejemplo, se puede esperar que la ley de Benford se aplique a una lista de números que representen las poblaciones de los asentamientos del Reino Unido. Pero si un "asentamiento" se define como una aldea con una población entre 300 y 999 habitantes, entonces la ley de Benford no se aplicará. [ 16 ] [ 17 ]

Consideremos las distribuciones de probabilidad que se muestran a continuación, referenciadas a una escala logarítmica . En cada caso, el área total en rojo representa la probabilidad relativa de que el primer dígito sea 1, y el área total en azul, la probabilidad relativa de que el primer dígito sea  8. Para la primera distribución, el tamaño de las áreas roja y azul es aproximadamente proporcional al ancho de cada barra roja y azul. Por lo tanto, los números extraídos de esta distribución seguirán aproximadamente la ley de Benford. Por otro lado, para la segunda distribución, la razón entre las áreas roja y azul es muy diferente de la razón entre los anchos de cada barra roja y azul. En cambio, las áreas relativas de rojo y azul están determinadas más por la altura de las barras que por su ancho. Por consiguiente, los primeros dígitos de esta distribución no satisfacen en absoluto la ley de Benford. [ 17 ]

Así, las distribuciones del mundo real que abarcan varios órdenes de magnitud de forma bastante uniforme (por ejemplo, los precios de las acciones y las poblaciones de pueblos y ciudades) probablemente satisfagan la ley de Benford con mucha precisión. Por otro lado, es improbable que una distribución que se encuentre mayoritariamente o totalmente dentro de un orden de magnitud (por ejemplo, las puntuaciones de CI o la estatura de los adultos) satisfaga la ley de Benford con mucha precisión, si es que la satisface en absoluto. [ 16 ] [ 17 ] Sin embargo, la diferencia entre los regímenes aplicables e inaplicables no es un límite abrupto: a medida que la distribución se estrecha, las desviaciones de la ley de Benford aumentan gradualmente.

(Esta discusión no es una explicación completa de la ley de Benford, ya que no ha explicado por qué es tan frecuente encontrar conjuntos de datos que, al representarse gráficamente como una distribución de probabilidad del logaritmo de la variable, resultan relativamente uniformes en varios órdenes de magnitud. [ 18 ] [ Notas 2 ] )

Una posible explicación proviene de la estructura de la notación posicional utilizada para escribir números. [ 19 ]

Explicación de la entropía de Krieger-Kafri

En 1970, Wolfgang Krieger demostró lo que ahora se conoce como el teorema del generador de Krieger. [ 20 ] [ 21 ] El teorema del generador de Krieger podría considerarse una justificación para la suposición en el modelo de bola y caja de Kafri de que, en una base dadaB{\displaystyle B}con un número fijo de dígitos 0, 1,  ..., n ,  ...,B−1{\displaystyle B-1}El dígito n es equivalente a una caja de Kafri que contiene n bolas que no interactúan entre sí. Otros científicos y estadísticos han sugerido explicaciones relacionadas con la entropía para la ley de Benford. [ 22 ] [ 23 ] [ 10 ] [ 24 ]

Fluctuaciones multiplicativas

Muchos ejemplos reales de la ley de Benford surgen de fluctuaciones multiplicativas. [ 25 ] Por ejemplo, si el precio de una acción comienza en $100 y luego cada día se multiplica por un factor elegido al azar entre 0,99 y 1,01, entonces durante un período prolongado la distribución de probabilidad de su precio satisface la ley de Benford con mayor precisión.

La razón es que el logaritmo del precio de las acciones está experimentando un paseo aleatorio , por lo que con el tiempo su distribución de probabilidad se volverá cada vez más amplia y suave (véase más arriba ). [ 25 ] (Más técnicamente, el teorema del límite central dice que multiplicar más y más variables aleatorias creará una distribución log-normal con una varianza cada vez mayor, por lo que eventualmente cubre muchos órdenes de magnitud casi uniformemente). Para estar seguros de una concordancia aproximada con la ley de Benford, la distribución debe ser aproximadamente invariante cuando se escala por cualquier factor hasta 10; un conjunto de datos con distribución log-normal y amplia dispersión tendría esta propiedad aproximada.

A diferencia de las fluctuaciones multiplicativas, las fluctuaciones aditivas no dan lugar a la ley de Benford: en cambio, dan lugar a distribuciones de probabilidad normales (de nuevo, por el teorema del límite central ), que no satisfacen la ley de Benford. Por el contrario, ese precio hipotético de las acciones descrito anteriormente puede expresarse como el producto de muchas variables aleatorias (es decir, el factor de variación del precio para cada día), por lo que es probable que siga bastante bien la ley de Benford.

Múltiples distribuciones de probabilidad

Anton Formann proporcionó una explicación alternativa al dirigir la atención a la interrelación entre la distribución de los dígitos significativos y la distribución de la variable observada . Mostró en un estudio de simulación que las distribuciones de cola derecha larga de una variable aleatoria son compatibles con la ley de Newcomb-Benford, y que para las distribuciones de la razón de dos variables aleatorias el ajuste generalmente mejora. [ 26 ] Para números extraídos de ciertas distribuciones ( puntuaciones de CI , alturas humanas) la ley de Benford no se cumple porque estas variables obedecen una distribución normal, que se sabe que no satisface la ley de Benford, [ 9 ] ya que las distribuciones normales no pueden abarcar varios órdenes de magnitud y el Significando de sus logaritmos no estará (ni siquiera aproximadamente) distribuido uniformemente. Sin embargo, si uno "mezcla" números de esas distribuciones, por ejemplo, tomando números de artículos de periódicos, la ley de Benford reaparece. Esto también puede demostrarse matemáticamente: si se elige repetidamente y de forma aleatoria una distribución de probabilidad (de un conjunto no correlacionado) y luego se elige aleatoriamente un número de acuerdo con esa distribución, la lista resultante de números obedecerá la ley de Benford. [ 14 ] [ 27 ] Se ha propuesto una explicación probabilística similar para la aparición de la ley de Benford en los números cotidianos, demostrando que surge de forma natural al considerar mezclas de distribuciones uniformes. [ 28 ]

Invariancia

En una lista de longitudes, la distribución de los primeros dígitos de los números puede ser generalmente similar, independientemente de si todas las longitudes se expresan en metros, yardas, pies, pulgadas, etc. Lo mismo se aplica a las unidades monetarias.

No siempre es así. Por ejemplo, la altura de los adultos casi siempre empieza con 1 o 2 cuando se mide en metros, y casi siempre empieza con 4, 5, 6 o 7 cuando se mide en pies. Pero en una lista de longitudes distribuidas uniformemente en muchos órdenes de magnitud —por ejemplo, una lista de 1000 longitudes mencionadas en artículos científicos que incluye mediciones de moléculas, bacterias, plantas y galaxias— es razonable esperar que la distribución de los primeros dígitos sea la misma, independientemente de si las longitudes se escriben en metros o en pies.

Cuando la distribución de los primeros dígitos de un conjunto de datos es invariante a la escala (independiente de las unidades en las que se expresan los datos), siempre viene dada por la ley de Benford. [ 29 ] [ 30 ]

Por ejemplo, el primer dígito (distinto de cero) de la lista de longitudes mencionada debería tener la misma distribución, independientemente de si la unidad de medida son pies o yardas. Pero hay tres pies en una yarda, por lo que la probabilidad de que el primer dígito de una longitud en yardas sea 1 debe ser la misma que la probabilidad de que el primer dígito de una longitud en pies sea 3, 4 o  5; de manera similar, la probabilidad de que el primer dígito de una longitud en yardas sea 2 debe ser la misma que la probabilidad de que el primer dígito de una longitud en pies sea 6, 7 u  8. Al aplicar esto a todas las escalas de medición posibles, se obtiene la distribución logarítmica de la ley de Benford.

La ley de Benford para los primeros dígitos es invariante de base para los sistemas numéricos. Existen condiciones y demostraciones de invariancia de suma, invariancia inversa e invariancia de suma y resta. [ 31 ] [ 32 ]

Aplicaciones

Detección de fraudes contables

En 1972, Hal Varian sugirió que la ley podría utilizarse para detectar posibles fraudes en listas de datos socioeconómicos presentadas para respaldar decisiones de planificación pública. Partiendo de la suposición plausible de que quienes falsifican cifras tienden a distribuir sus dígitos de forma bastante uniforme, una simple comparación de la distribución de frecuencia del primer dígito de los datos con la distribución esperada según la ley de Benford debería revelar cualquier resultado anómalo. [ 33 ]

Uso en juicios penales

En Estados Unidos, se han admitido pruebas basadas en la ley de Benford en casos penales a nivel federal, estatal y local. [ 34 ]

Datos electorales

Walter Mebane , politólogo y estadístico de la Universidad de Michigan, fue el primero en aplicar la prueba de la ley de Benford del segundo dígito (prueba 2BL) en el análisis forense de elecciones . [ 35 ] Este análisis se considera un método sencillo, aunque no infalible, para identificar irregularidades en los resultados electorales. [ 36 ] No se ha alcanzado un consenso científico en la literatura que respalde la aplicabilidad de la ley de Benford a las elecciones. Un estudio de 2011 realizado por los politólogos Joseph Deckert, Mikhail Myagkov y Peter C. Ordeshook argumentó que la ley de Benford es problemática y engañosa como indicador estadístico de fraude electoral. [ 37 ] Mebane criticó su método en una respuesta, aunque coincidió en que existen muchas salvedades en la aplicación de la ley de Benford a los datos electorales. [ 38 ]

La ley de Benford se ha utilizado como evidencia de fraude en las elecciones iraníes de 2009. [ 39 ] Un análisis de Mebane encontró que los segundos dígitos en los recuentos de votos para el presidente Mahmoud Ahmadinejad , el ganador de las elecciones, tendían a diferir significativamente de las expectativas de la ley de Benford, y que las urnas con muy pocas papeletas inválidas tuvieron una mayor influencia en los resultados, lo que sugiere un relleno de papeletas generalizado . [ 40 ] Otro estudio utilizó simulaciones bootstrap para encontrar que el candidato Mehdi Karroubi recibió casi el doble de recuentos de votos que comienzan con el dígito 7 de lo que se esperaría según la ley de Benford, [ 41 ] mientras que un análisis de la Universidad de Columbia concluyó que la probabilidad de que una elección justa produjera tanto muy pocos dígitos no adyacentes como las desviaciones sospechosas en las frecuencias del último dígito como se encontraron en las elecciones presidenciales iraníes de 2009 es menos del 0,5 por ciento. [ 42 ] La ley de Benford también se ha aplicado para auditoría forense y detección de fraude en datos de las elecciones a gobernador de California de 2003 , [ 43 ] las elecciones presidenciales de Estados Unidos de 2000 y 2004 , [ 44 ] y las elecciones federales alemanas de 2009. [ 45 ] Se determinó que la prueba de la ley de Benford era "digna de ser tomada en serio como prueba estadística para el fraude", aunque "la prueba no es sensible a las distorsiones que sabemos que afectaron significativamente a muchos votos. En particular, la prueba no indica problemas para Florida en 2000". [ 44 ]

La ley de Benford también se ha aplicado erróneamente para alegar fraude electoral. Al aplicar la ley a los resultados electorales de Joe Biden en Chicago , Milwaukee y otras localidades durante las elecciones presidenciales de Estados Unidos de 2020 , la distribución del primer dígito no se ajustó a la ley de Benford. Esta aplicación errónea se debió a que se analizaron datos con un rango muy reducido, lo que contradice el supuesto inherente a la ley de Benford de que el rango de los datos debe ser amplio. La prueba del primer dígito se aplicó a datos a nivel de distrito electoral, pero dado que los distritos rara vez reciben más de unos pocos miles o menos de unas pocas docenas de votos, no se puede esperar que la ley de Benford sea aplicable. Según Mebane, «Es ampliamente sabido que los primeros dígitos de los recuentos de votos de los distritos electorales no son útiles para intentar diagnosticar fraudes electorales». [ 46 ] [ 47 ]

Datos macroeconómicos

De manera similar, se demostró que los datos macroeconómicos que el gobierno griego presentó a la Unión Europea antes de ingresar a la eurozona eran probablemente fraudulentos según la ley de Benford, aunque años después de que el país se uniera. [ 48 ] [ 49 ]

Análisis de dígitos de precios

Los investigadores utilizaron la ley de Benford para detectar patrones de precios psicológicos en un estudio a nivel europeo sobre los precios de productos de consumo antes y después de la introducción del euro en 2002. [ 50 ] La idea era que, sin precios psicológicos, los dos o tres primeros dígitos del precio de los artículos deberían seguir la ley de Benford. Por consiguiente, si la distribución de los dígitos se desvía de la ley de Benford (por ejemplo, si hay muchos nueves), significa que los comerciantes podrían haber utilizado precios psicológicos.

Cuando el euro sustituyó a las monedas locales en 2002 , durante un breve periodo, el precio de los bienes en euros se convirtió simplemente a partir del precio en moneda local anterior a la sustitución. Dado que es prácticamente imposible aplicar simultáneamente precios psicológicos tanto en euros como en moneda local, durante el periodo de transición, estos precios psicológicos se vieron afectados, incluso si antes estaban presentes. Solo podrán restablecerse una vez que los consumidores se hayan acostumbrado de nuevo a los precios en una sola moneda, esta vez el euro.

Tal como esperaban los investigadores, la distribución del primer dígito del precio siguió la ley de Benford, pero la distribución del segundo y tercer dígito se desvió significativamente de dicha ley antes de la introducción, luego se desvió menos durante la introducción y, finalmente, se desvió aún más después de la introducción.

datos del genoma

El número de marcos de lectura abiertos y su relación con el tamaño del genoma difieren entre eucariotas y procariotas ; los primeros muestran una relación logarítmica lineal y los segundos una relación lineal. La ley de Benford se ha utilizado para comprobar esta observación, obteniéndose un ajuste excelente a los datos en ambos casos. [ 51 ]

detección de fraude científico

Una prueba de coeficientes de regresión en artículos publicados mostró concordancia con la ley de Benford. [ 52 ] Como grupo de comparación, se pidió a los sujetos que fabricaran estimaciones estadísticas. Los resultados fabricados se ajustaron a la ley de Benford en los primeros dígitos, pero no la cumplieron en los segundos.

Pruebas estadísticas

Si bien la prueba de chi-cuadrado se ha utilizado para comprobar el cumplimiento de la ley de Benford, tiene una baja potencia estadística cuando se utiliza con muestras pequeñas.

La prueba de Kolmogorov-Smirnov y la prueba de Kuiper son más potentes cuando el tamaño de la muestra es pequeño, especialmente cuando se utiliza el factor correctivo de Stephens. [ 53 ] Estas pruebas pueden ser excesivamente conservadoras cuando se aplican a distribuciones discretas. Morrow generó valores para la prueba de Benford. [ 54 ] Los valores críticos de los estadísticos de prueba se muestran a continuación:

Estos valores críticos proporcionan los valores mínimos del estadístico de prueba necesarios para rechazar la hipótesis de cumplimiento de la ley de Benford en los niveles de significancia dados .

Se han publicado dos pruebas alternativas específicas para esta ley: Primero, el estadístico max ( m ) [ 55 ] viene dado por

metro=norte⋅máximok=19{|Pr(incógnita tiene FSD=k)−registro10⁡(1+1k)|}.{\displaystyle m={\sqrt {N}}\cdot \max _{k=1}^{9}\left\{\left|\Pr \left(X{\text{ tiene FSD}}=k\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right|\right\}.}

El factor principalnorte{\displaystyle {\sqrt {N}}}no aparece en la fórmula original de Leemis; [ 55 ] fue añadida por Morrow en un artículo posterior. [ 54 ]

En segundo lugar, la estadística de distancia ( d ) [ 56 ] viene dada por

d=norte⋅∑l=19[Pr(incógnita tiene FSD=l)−registro10⁡(1+1l)]2,{\displaystyle d={\sqrt {N\cdot \sum _{l=1}^{9}\left[\Pr \left(X{\text{ tiene FSD}}=l\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{l}}\right)\right]^{2}}},}

donde FSD es el primer dígito significativo y N es el tamaño de la muestra. Morrow ha determinado los valores críticos para ambas estadísticas, que se muestran a continuación: [ 54 ]

Morrow también ha demostrado que para cualquier variable aleatoria X (con una función de densidad de probabilidad continua ) dividida por su desviación estándar ( σ ), se puede encontrar algún valor A tal que la probabilidad de la distribución del primer dígito significativo de la variable aleatoria|incógnita/σ|A{\displaystyle |X/\sigma |^{A}}diferirá de la ley de Benford en menos de ε > 0. [ 54 ] El valor de A depende del valor de ε y de la distribución de la variable aleatoria.

Se ha propuesto un método de detección de fraude contable basado en bootstrapping y regresión. [ 57 ]

Si el objetivo es concluir que existe concordancia con la ley de Benford, en lugar de discrepancia, entonces las pruebas de bondad de ajuste mencionadas anteriormente resultan inapropiadas. En este caso, deben aplicarse las pruebas específicas de equivalencia . Una distribución empírica se considera equivalente a la ley de Benford si la distancia (por ejemplo, la distancia de variación total o la distancia euclidiana habitual) entre las funciones de probabilidad es suficientemente pequeña. Este método de prueba, aplicado a la ley de Benford, se describe en Ostrovski. [ 58 ]

Ámbito de aplicación

Distribuciones que se sabe que cumplen con la ley de Benford.

Algunas secuencias infinitas de enteros bien conocidas satisfacen de forma demostrable la ley de Benford exactamente (en el límite asintótico a medida que se incluyen más y más términos de la secuencia). Entre ellas se encuentran los números de Fibonacci , [ 59 ] [ 60 ] los factoriales , [ 61 ] las potencias de  2, [ 13 ] y las potencias de casi cualquier otro número. [ Notas 3 ]

Asimismo, algunos procesos continuos satisfacen la ley de Benford de forma exacta (en el límite asintótico, a medida que el proceso avanza en el tiempo). Un ejemplo es un proceso de crecimiento o decrecimiento exponencial : si una magnitud aumenta o disminuye exponencialmente con el tiempo, entonces el porcentaje de tiempo que cada dígito inicial cumple la ley de Benford de forma asintótica (es decir, con una precisión creciente a medida que el proceso avanza en el tiempo).

Distribuciones que se sabe que incumplen la ley de Benford.

Las raíces cuadradas y los recíprocos de números naturales sucesivos no obedecen esta ley. [ 62 ] Los números primos en un rango finito siguen una ley de Benford generalizada, que se aproxima a la uniformidad a medida que el tamaño del rango se aproxima al infinito. [ 63 ] Las listas de números de teléfono locales violan la ley de Benford. [ 64 ] La ley de Benford es violada por las poblaciones de todos los lugares con una población de al menos 2500 individuos de cinco estados de EE. UU. según los censos de 1960 y 1970, donde solo el 19 % comenzó con el dígito 1 pero el 20 % comenzó con el dígito 2, porque el truncamiento en 2500 introduce un sesgo estadístico. [ 62 ] Los dígitos terminales en los informes de patología violan la ley de Benford debido al redondeo. [ 65 ]

Las distribuciones que no abarcan varios órdenes de magnitud no seguirán la ley de Benford. Algunos ejemplos son la altura, el peso y las puntuaciones de CI. [ 9 ] [ 66 ]

Criterios para las distribuciones que se espera y no se espera que obedezcan la ley de Benford.

Se han sugerido varios criterios, aplicables particularmente a los datos contables, en los que se puede esperar que se aplique la ley de Benford. [ 67 ]

Distribuciones que se espera que cumplan la ley de Benford
  • Cuando la media es mayor que la mediana y la asimetría es positiva.
  • Números que resultan de la combinación matemática de números: por ejemplo, cantidad × precio
  • Datos a nivel de transacción: por ejemplo, desembolsos, ventas
Distribuciones que no se esperaría que obedecieran la ley de Benford.
  • Cuando los números se asignan secuencialmente: por ejemplo, números de cheques, números de facturas.
  • Donde los números están influenciados por el pensamiento humano: por ejemplo, precios fijados por umbrales psicológicos (9,99 dólares).
  • Cuentas con un gran número de cifras específicas de la empresa: por ejemplo, cuentas configuradas para registrar reembolsos de 100 dólares.
  • Cuentas con un mínimo o máximo incorporado
  • Distribuciones que no abarcan un orden de magnitud de números.

Teorema de cumplimiento de la ley de Benford

Matemáticamente, la ley de Benford se aplica si la distribución que se está probando cumple con el "teorema de cumplimiento de la ley de Benford". [ 16 ] La derivación dice que la ley de Benford se cumple si la transformada de Fourier del logaritmo de la función de densidad de probabilidad es cero para todos los valores enteros. En particular, esto se cumple si la transformada de Fourier es cero (o despreciable) para n  ≥  1. Esto se cumple si la distribución es amplia (ya que una distribución amplia implica una transformada de Fourier estrecha). Smith resume [ 16 ] : 716 el asunto:

La ley de Benford se cumple para distribuciones amplias en comparación con la distancia unitaria en la escala logarítmica. Del mismo modo, no se cumple para distribuciones estrechas en comparación con la distancia unitaria  . Si la distribución es amplia en comparación con la distancia unitaria en el eje logarítmico, significa que la dispersión en el conjunto de números analizados es mucho mayor que diez.

En resumen, la ley de Benford exige que los números en la distribución que se está midiendo tengan una dispersión de al menos un orden de magnitud.

Pruebas con distribuciones comunes

La ley de Benford fue probada empíricamente con los números (hasta el décimo dígito) generados por varias distribuciones importantes, incluyendo la distribución uniforme , la distribución exponencial , la distribución normal y otras. [ 9 ]

Como era de esperar, la distribución uniforme no obedece la ley de Benford. En cambio, la distribución de la razón entre dos distribuciones uniformes se describe adecuadamente mediante la ley de Benford.

Ni la distribución normal ni la distribución de razón de dos distribuciones normales (la distribución de Cauchy ) obedecen la ley de Benford. Si bien la distribución seminormal no obedece la ley de Benford, la distribución de razón de dos distribuciones seminormales sí lo hace. Ni la distribución normal truncada a la derecha ni la distribución de razón de dos distribuciones normales truncadas a la derecha se describen adecuadamente mediante la ley de Benford. Esto no es sorprendente, ya que esta distribución tiende a tener valores mayores.

La ley de Benford también describe bien la distribución exponencial y la distribución de razón de dos distribuciones exponenciales. El ajuste de la distribución chi-cuadrado depende de los grados de libertad (gl), con una buena concordancia para gl = 1 y una concordancia decreciente a medida que aumentan los gl. La distribución F se ajusta bien para pocos grados de libertad. Con el aumento de los gl, el ajuste disminuye, pero mucho más lentamente que la distribución chi-cuadrado. El ajuste de la distribución log-normal depende de la media y la varianza de la distribución. La varianza tiene un efecto mucho mayor en el ajuste que la media. Valores mayores de ambos parámetros dan como resultado una mejor concordancia con la ley. La razón de dos distribuciones log-normales es una distribución log-normal, por lo que esta distribución no se examinó.

Otras distribuciones que se han examinado incluyen la distribución de Muth, la distribución de Gompertz , la distribución de Weibull , la distribución gamma , la distribución log-logística y la distribución de potencia exponencial, todas las cuales muestran una concordancia razonable con la ley. [ 55 ] [ 68 ] La distribución de Gumbel —una densidad que aumenta con el valor creciente de la variable aleatoria— no muestra concordancia con esta ley. [ 68 ]

Generalización a dígitos más allá del primero

Gráfico logarítmico de la probabilidad de que un número comience con el dígito n , para una distribución que satisface la ley de Benford. Los puntos muestran la fórmula exacta, P ( n ) = log₁₀ ( 1  +  1/ n ). El gráfico tiende hacia la asíntota punteada que pasa por (1, log₁₀e ) con una pendiente de -1 en escala logarítmica. El ejemplo en amarillo muestra que la probabilidad de que un número comience con 314 es de aproximadamente 0,00138. Las líneas punteadas muestran las probabilidades para una distribución uniforme a modo de comparación. (En la imagen SVG , coloque el cursor sobre un punto para ver sus valores).

Es posible extender la ley a dígitos más allá del primero. [ 69 ] En particular, para cualquier número dado de dígitos, la probabilidad de encontrar un número que comience con la cadena de dígitos n de esa longitud – descartando los ceros iniciales – viene dada por  

registro10⁡(norte+1)−registro10⁡(norte)=registro10⁡(1+1norte).{\displaystyle \log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right).}

Así, la probabilidad de que un número comience con los dígitos 3,  1,  4 (algunos ejemplos son 3.14, 3.142, π , 314280.7 y 0.00314005) es log 10 (1  +  1/314)  ≈  0.00138 , como en el recuadro con el gráfico log-log de la derecha. 

Este resultado se puede utilizar para encontrar la probabilidad de que un dígito en particular aparezca en una posición determinada dentro de un número. Por ejemplo, la probabilidad de que un "2" aparezca como segundo dígito es [ 69 ].

registro10⁡(1+112)+registro10⁡(1+122)+⋯+registro10⁡(1+192)≈0,109{\displaystyle \log _{10}\left(1+{\frac {1}{12}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{22}}\right)+\cdots +\log _{10}\left(1+{\frac {1}{92}}\right)\approx 0.109}.

La probabilidad de que d ( d  =  0,  1,  ...,  9) se encuentre como el n -ésimo ( n  >  1) dígito es

∑k=10norte−210norte−1−1registro10⁡(1+110k+d).{\displaystyle \sum _{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log _{10}\left(1+{\frac {1}{10k+d}}\right).}

La distribución del enésimo dígito, a medida que n aumenta, se aproxima rápidamente a una distribución uniforme con un 10 % para cada uno de los diez dígitos, como se muestra a continuación. [ 69 ] Cuatro dígitos suelen ser suficientes para asumir una distribución uniforme del 10 %, ya que el "0" aparece el 10,0176 % de las veces en el cuarto dígito, mientras que el "9" aparece el 9,9824 % de las veces.

Momentos

Se han calculado los promedios y momentos de las variables aleatorias para los dígitos del 1 al 9 que siguen esta ley: [ 70 ]

Para la distribución de dos dígitos según la ley de Benford también se conocen estos valores: [ 71 ]

Se dispone de una tabla de las probabilidades exactas de la ocurrencia conjunta de los dos primeros dígitos según la ley de Benford, [ 71 ] así como de la correlación poblacional entre el primer y el segundo dígito: [ 71 ] ρ = 0,0561 .

Véase también

Notas

  1. ↑ Deberían ser estrictamente barras, pero se muestran como líneas para mayor claridad.
  2. ↑ Berger y Hill describen este argumento, pero dicen que "aún deja abierta la cuestión de por qué es razonable suponer que el logaritmo de la dispersión, en contraposición a la dispersión misma —o, digamos, la dispersión log log— debería ser grande" y que "suponer una dispersión grande en una escala logarítmica es equivalente a suponer una conformidad aproximada con [la ley de Benford]" (cursiva añadida), algo que, según ellos, carece de una "explicación simple".
  3. ↑ En general, la secuencia k 1 , k 2 , k 3 , etc., satisface exactamente la ley de Benford, bajo la condición de que log 10 k sea un número irracional . Esta es una consecuencia directa del teorema de equidistribución .

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