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First-order partial differential equation

In mathematics , a first-order partial differential equation is a partial differential equation that involves the first derivatives of an unknown function u {\displaystyle u} of...

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In mathematics, a first-order partial differential equation is a partial differential equation that involves the first derivatives of an unknown function u{\displaystyle u} of n≥2{\displaystyle n\geq 2} variables. The equation takes the form[1]F(x1,…,xn,u,ux1,…uxn)=0,{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0,} using subscript notation to denote the partial derivatives of u{\displaystyle u}.

Such equations arise in the construction of characteristic surfaces for hyperbolic partial differential equations, in the calculus of variations, in some geometrical problems, and in simple models for gas dynamics whose solution involves the method of characteristics, e.g., the advection equation. If a family of solutions of a single first-order partial differential equation can be found, then additional solutions may be obtained by forming envelopes of solutions in that family. In a related procedure, general solutions may be obtained by integrating families of ordinary differential equations.

General solution and complete integral

The general solution to the first order partial differential equation is a solution which contains an arbitrary function. But, the solution to the first order partial differential equations with as many arbitrary constants as the number of independent variables is called the complete integral. The following n-parameter family of solutions

ϕ(x1,x2,…,xn,u,a1,a2,…,an){\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},u,a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}

is a complete integral if det|ϕxiaj|≠0{\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}.[2] The below discussions on the type of integrals are based on the textbook A Treatise on Differential Equations (Chaper IX, 6th edition, 1928) by Andrew Forsyth.[3]

Complete integral

The solutions are described in relatively simple manner in two or three dimensions with which the key concepts are trivially extended to higher dimensions. A general first-order partial differential equation in three dimensions has the form

F(x,y,z,u,p,q,r)=0,{\displaystyle F(x,y,z,u,p,q,r)=0,\,}

where p=ux,q=uy,r=uz.{\displaystyle p=u_{x},\,q=u_{y},\,r=u_{z}.} Suppose ϕ(x,y,z,u,a,b,c)=0{\displaystyle \phi (x,y,z,u,a,b,c)=0} be the complete integral that contains three arbitrary constants (a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}. From this we can obtain three relations by differentiation

ϕx+pϕu=0{\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=0}
ϕy+qϕu=0{\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=0}
ϕz+rϕu=0{\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=0}

Along with the complete integral ϕ=0{\displaystyle \phi =0}, the above three relations can be used to eliminate three constants and obtain an equation (original partial differential equation) relating (x,y,z,u,p,q,r){\displaystyle (x,y,z,u,p,q,r)}. Note that the elimination of constants leading to the partial differential equation need not be unique, i.e., two different equations can result in the same complete integral, for example, elimination of constants from the relation u=(x−a)2+(y−b)2+z−c{\displaystyle u={\sqrt {(xa)^{2}+(yb)^{2}}}+zc} leads to p2+q2=1{\displaystyle p^{2}+q^{2}=1} and r=1{\displaystyle r=1}.

General integral

Once a complete integral is found, a general solution can be constructed from it. The general integral is obtained by making the constants functions of the coordinates, i.e., a=a(x,y,z),b=b(x,y,z),c=c(x,y,z){\displaystyle a=a(x,y,z),\,b=b(x,y,z),\,c=c(x,y,z)}Estas funciones se eligen de tal manera que las formas de(pag,q,r){\displaystyle (p,q,r)}permanecen inalterados para que se pueda utilizar el proceso de eliminación de la integral completa. La diferenciación de la integral completa ahora proporciona

ϕincógnita+pagϕtú=−(aincógnitaϕa+bincógnitaϕb+doincógnitaϕdo){\displaystyle \phi _{x}+p\phi _{u}=-(a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})}
ϕy+qϕtú=−(ayϕa+byϕb+doyϕdo){\displaystyle \phi _{y}+q\phi _{u}=-(a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})}
ϕz+rϕtú=−(azϕa+bzϕb+dozϕdo){\displaystyle \phi _{z}+r\phi _{u}=-(a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})}

en la que requerimos que los términos del lado derecho de las tres ecuaciones se anulen idénticamente para que la eliminación de(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}deϕ{\displaystyle \phi }da como resultado la ecuación diferencial parcial. Este requisito se puede escribir de forma más compacta escribiéndolo como

Jϕa=0,Jϕb=0,Jϕdo=0{\displaystyle J\phi _{a}=0,\quad J\phi _{b}=0,\quad J\phi _{c}=0}

dónde

J=∂(a,b,do)∂(incógnita,y,z)=|aincógnitaayazbincógnitabybzdoincógnitadoydoz|{\displaystyle J={\frac {\partial (a,b,c)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{aligned}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

es el determinante jacobiano . La condiciónJ=0{\displaystyle J=0}conduce a la solución general. Siempre queJ=0{\displaystyle J=0}, entonces existe una relación funcional entre(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}porque siempre que un determinante es cero, las columnas (o filas) no son linealmente independientes. Consideremos esta relación funcional como

do=ψ(a,b).{\displaystyle c=\psi (a,b).}

Una vez(a,b){\displaystyle (a,b)}Se encuentra, el problema está resuelto. De la relación anterior, tenemosddo=ψada+ψbdb{\displaystyle dc=\psi _{a}da+\psi _{b}db}. Sumando las ecuaciones originales(aincógnitaϕa+bincógnitaϕb+doincógnitaϕdo)=0{\displaystyle (a_{x}\phi _{a}+b_{x}\phi _{b}+c_{x}\phi _{c})=0},(ayϕa+byϕb+doyϕdo)=0{\displaystyle (a_{y}\phi _{a}+b_{y}\phi _{b}+c_{y}\phi _{c})=0}y(azϕa+bzϕb+dozϕdo)=0{\displaystyle (a_{z}\phi _{a}+b_{z}\phi _{b}+c_{z}\phi _{c})=0}encontramosϕada+ϕbdb+ϕdoddo=0{\displaystyle \phi _{a}da+\phi _{b}db+\phi _{c}dc=0}Ahora eliminandoddo{\displaystyle dc}De las dos ecuaciones derivadas, obtenemos

(ϕa+ϕdoψa)da+(ϕb+ϕdoψb)db=0{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})da+(\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})db=0}

Desdea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son independientes, requerimos

(ϕa+ϕdoψa)=0{\displaystyle (\phi _{a}+\phi _{c}\psi _{a})=0}
(ϕb+ϕdoψb)=0.{\displaystyle (\phi _{b}+\phi _{c}\psi _{b})=0.}

Las dos ecuaciones anteriores se pueden utilizar para resolvera{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}Sustituyendo(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}enϕ=0{\displaystyle \phi =0}, obtenemos la integral general . Por lo tanto, una integral general describe una relación entre(incógnita,y,z,tú){\displaystyle (x,y,z,u)}dos funciones independientes conocidas(a,b){\displaystyle (a,b)}y una función arbitrariaψ(a,b){\displaystyle \psi (a,b)}Tenga en cuenta que hemos asumidodo=ψ(a,b){\displaystyle c=\psi (a,b)}para hacer el determinanteJ{\displaystyle J}cero, pero esto no siempre es necesario. Las relacionesdo=ψ(a){\displaystyle c=\psi (a)}o,do=ψ(b){\displaystyle c=\psi (b)}basta con hacer que el determinante sea cero.

Integral singular

Se obtiene una integral singular cuandoJ≠0{\displaystyle J\neq 0}En este caso, la eliminación de(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}deϕ=0{\displaystyle \phi =0}funciona si

ϕa=0,ϕb=0,ϕdo=0.{\displaystyle \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0,\quad \phi _{c}=0.}

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para resolver las tres incógnitas.(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}. Solución obtenida por eliminación de(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}De esta forma se llega a lo que se denominan integrales singulares .

Integral especial

Por lo general, la mayoría de las integrales se clasifican en las tres categorías definidas anteriormente, pero puede ocurrir que una solución no se ajuste a ninguno de los tres tipos de integrales mencionados. Estas soluciones se denominan integrales especiales . Una relaciónχ(incógnita,y,z,tú)=0{\displaystyle \chi (x,y,z,u)=0}Se dice que una integral que satisface la ecuación diferencial parcial es una integral especial si no podemos determinarla.(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}a partir de las siguientes ecuaciones

ϕincógnitaχtú−χincógnitaϕtú=0{\displaystyle \phi _{x}\chi _{u}-\chi _{x}\phi _{u}=0}
ϕyχtú−χyϕtú=0{\displaystyle \phi _{y}\chi _{u}-\chi _{y}\phi _{u}=0}
ϕzχtú−χzϕtú=0.{\displaystyle \phi _{z}\chi _{u}-\chi _{z}\phi _{u}=0.}

Si podemos determinarlo(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}a partir del conjunto de ecuaciones anterior, entoncesχ=0{\displaystyle \chi =0}resultará ser una de las tres integrales descritas anteriormente.

Caso bidimensional

La integral completa en el espacio bidimensional se puede escribir comoϕ(incógnita,y,tú,a,b)=0{\displaystyle \phi (x,y,u,a,b)=0}La integral general se obtiene eliminandoa{\displaystyle a}a partir de las siguientes ecuaciones

ϕ(incógnita,y,z,a,ψ(a))=0,ϕa+ψaϕb=0.{\displaystyle \phi (x,y,z,a,\psi (a))=0,\quad \phi _{a}+\psi _{a}\phi _{b}=0.}

La integral singular, si existe, se puede obtener eliminando(a,b){\displaystyle (a,b)}a partir de las siguientes ecuaciones

ϕ(incógnita,y,z,a,b)=0,ϕa=0,ϕb=0.{\displaystyle \phi (x,y,z,a,b)=0,\quad \phi _{a}=0,\quad \phi _{b}=0.}

Si no se dispone de una integral completa, aún se pueden obtener soluciones resolviendo un sistema de ecuaciones ordinarias. Para obtener este sistema, primero observe que la ecuación diferencial parcial (EDP) determina un cono (análogo al cono de luz ) en cada punto: si la EDP es lineal en las derivadas de u (es cuasilineal), entonces el cono degenera en una línea. En el caso general, los pares ( p , q ) que satisfacen la ecuación determinan una familia de planos en un punto dado:

tú−tú0=pag(incógnita−incógnita0)+q(y−y0),{\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}

dónde

F(incógnita0,y0,tú0,pag,q)=0.{\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}

La envolvente de estos planos es un cono, o una línea si la EDP es cuasilineal. La condición para una envolvente es

Fpagdpag+Fqdq=0,{\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}

donde F se evalúa en(incógnita0,y0,tú0,pag,q){\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q)}y dp y dq son incrementos de p y q que satisfacen F = 0. Por lo tanto, la generadora del cono es una línea con dirección

dincógnita:dy:dtú=Fpag:Fq:(pagFpag+qFq).{\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}

Esta dirección corresponde a los rayos de luz para la ecuación de onda. Para integrar ecuaciones diferenciales a lo largo de estas direcciones, necesitamos incrementos para p y q a lo largo del rayo. Esto se puede obtener diferenciando la ecuación diferencial parcial:

Fincógnita+Ftúpag+Fpagpagincógnita+Fqpagy=0,{\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}
Fy+Ftúq+Fpagqincógnita+Fqqy=0,{\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}

Por lo tanto, la dirección del rayo en(incógnita,y,tú,pag,q){\displaystyle (x,y,u,p,q)}el espacio es

dincógnita:dy:dtú:dpag:dq=Fpag:Fq:(pagFpag+qFq):(−Fincógnita−Ftúpag):(−Fy−Ftúq).{\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q).\,}

La integración de estas ecuaciones conduce a un conoide de rayos en cada punto.(incógnita0,y0,tú0){\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})}Las soluciones generales de la EDP se pueden obtener a partir de las envolventes de dichos conoides.

Definiciones de dependencia lineal para sistemas diferenciales

Esta parte puede ser referenciada§1.2.3{\displaystyle \S 1.2.3}del libro de Courant. [ 4 ]

Suponemos que estosh{\displaystyle h}Las ecuaciones son independientes, es decir, ninguna de ellas puede deducirse de la otra mediante diferenciación y eliminación.

— Courant, R. y Hilbert, D. (1962), Métodos de física matemática: ecuaciones diferenciales parciales, II, págs. 15-18

Se proporciona una descripción equivalente. Se ofrecen dos definiciones de dependencia lineal para ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden.

(∗){∑ijaij(1)∂yj∂incógnitai+F1=0⋮∑ijaij(norte)∂yj∂incógnitai+Fnorte=0{\displaystyle (*)\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{1}}=0\\\vdots \\\sum \limits _{ij}^{}{a_{ij}^{(n)}{\dfrac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{n}}=0\end{array}}\right.}

Dóndeincógnitai{\displaystyle x_{i}}son variables independientes;yj{\displaystyle y_{j}}son incógnitas dependientes; aij(k){\displaystyle a_{ij}^{(k)}}son coeficientes lineales; y Fk{\displaystyle f_{k}}son elementos no homogéneos. Zk≡∑ijaij(k)∂yj∂incógnitai+Fk{\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}.

Definición I: Dado un campo numéricoPAG{\displaystyle P}, cuando hay coeficientes (dok∈PAG{\displaystyle c_{k}\in P}), no todos cero, de tal manera que∑kdokZk=0{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}; las ecuaciones (*) son linealmente dependientes.

Definición II ( dependencia lineal diferencial ): Dado un campo numéricoPAG{\displaystyle P}, cuando hay coeficientes (dok,dkl∈PAG{\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}), no todos cero, de tal manera que∑kdokZk+∑kldkl∂∂incógnitalZk=0{\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial }{\partial {x_{l}}}}{Z_{k}}=0}}, las ecuaciones (*) se consideran diferenciales lineales dependientes. Sidkl≡0{\displaystyle {d_{kl}}\equiv 0}, esta definición degenera en la definición I.

Los sistemas div-curl , las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de Einstein (con cuatro coordenadas armónicas) y las ecuaciones de Yang-Mills (con condiciones de calibre) están bien determinados en la definición II, mientras que están sobredeterminados en la definición I.

Superficies características para la ecuación de onda

Las superficies características para la ecuación de onda son superficies de nivel para soluciones de la ecuación.

tút2=do2(túincógnita2+túy2+túz2).{\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}

Hay poca pérdida de generalidad si establecemostút=1{\displaystyle u_{t}=1}: en ese caso u satisface

túincógnita2+túy2+túz2=1do2.{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}

En notación vectorial , sea

incógnita→=(incógnita,y,z)ypag→=(túincógnita,túy,túz).{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}

Una familia de soluciones con planos como superficies de nivel viene dada por

tú(incógnita→)=pag→⋅(incógnita→−incógnita0→),{\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}

dónde

|pag→|=1do,yincógnita0→es arbitrario.{\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}

Si x y x 0 se mantienen fijos, la envolvente de estas soluciones se obtiene encontrando un punto en la esfera de radio 1/ c donde el valor de u es estacionario. Esto es cierto sipag→{\displaystyle {\vec {p}}}es paralelo aincógnita→−incógnita0→{\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}Por lo tanto, la envolvente tiene ecuación

tú(incógnita→)=±1do|incógnita→−incógnita0→|.{\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}

Estas soluciones corresponden a esferas cuyo radio crece o disminuye con la velocidad c . Se trata de conos de luz en el espacio-tiempo.

El problema de valor inicial para esta ecuación consiste en especificar una superficie de nivel S donde u = 0 para t = 0. La solución se obtiene tomando la envolvente de todas las esferas con centros en S , cuyos radios crecen con velocidad c . Esta envolvente se obtiene exigiendo que

1do|incógnita→−incógnita0→|es estacionario paraincógnita0→∈S.{\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}

Esta condición se cumplirá si|incógnita→−incógnita0→|{\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}es normal a S. Por lo tanto, la envolvente corresponde al movimiento con velocidad c a lo largo de cada normal a S. Esta es la construcción de frentes de onda de Huygens : cada punto en S emite una onda esférica en el instante t = 0, y el frente de onda en un instante posterior t es la envolvente de estas ondas esféricas. Las normales a S son los rayos de luz.

Referencias

  1. ↑ Evans 1998 , pág. 1.
  2. ↑ Garabedian, PR (1964). Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York: Wiley. OCLC 527754 . 
  3. ↑ Forsyth, AR (1928). Un tratado sobre ecuaciones diferenciales.
  4. ↑ Courant, R. y Hilbert, D. (1962). Métodos de física matemática: ecuaciones diferenciales parciales . Vol. II. Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN  9783527617241.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

Lecturas adicionales

  • Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
  • Polyanin, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden . Londres: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27267-X.
  • Polyanin, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
  • Sarra, Scott (2003). "El método de las características con aplicaciones a las leyes de conservación" . Journal of Online Mathematics and Its Applications .