Subasta de primera oferta con sobre cerrado

Una subasta de oferta sellada de primer precio (FPSBA, por sus siglas en inglés) es un tipo común de subasta . También se la conoce como subasta a ciegas . ^[1] En este tipo de subasta, todos los postores presentan simultáneamente ofertas selladas de modo que ningún postor conoce la oferta de ningún otro participante. El postor más alto paga el precio que se presentó. ^{[2] : p2  [3]}

En una FPSBA, cada postor se caracteriza por su valoración monetaria del artículo en venta.

Supongamos que Alice es una postora y su valoración es . Entonces, si Alice es racional: ${\displaystyle a}$

• Ella nunca ofertará más de , porque ofertar más de sólo puede hacerle perder valor neto.${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$
• Si ella oferta exactamente , entonces no perderá, pero tampoco ganará ningún valor positivo.${\displaystyle a}$
• Si ella oferta menos de , entonces puede tener alguna ganancia positiva, pero la ganancia exacta depende de las ofertas de los demás.${\displaystyle a}$

Alice desea ofertar la cantidad más pequeña que le permita ganar el artículo, siempre que esta cantidad sea menor que . Por ejemplo, si hay otro postor, Bob, y él oferta y , entonces Alice desea ofertar (donde es la cantidad más pequeña que se puede agregar, por ejemplo, un centavo). ${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y<a}$${\displaystyle y+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

Lamentablemente, Alice no sabe qué ofertarán los demás postores. Es más, ni siquiera conoce las valoraciones de los demás postores. Por lo tanto, estratégicamente, tenemos un juego bayesiano , un juego en el que los agentes no conocen los pagos de los demás agentes.

El desafío interesante en un juego de este tipo es encontrar un equilibrio de Nash bayesiano . Sin embargo, esto no es fácil incluso cuando solo hay dos postores. La situación es más sencilla cuando las valoraciones de los postores son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , de modo que todas las valoraciones se extraen de una distribución previa conocida. ^{[4] : 234–236}

Supongamos que hay dos postores, Alice y Bob, cuyas valoraciones y se extraen de una distribución uniforme continua en el intervalo [0,1]. Entonces, se trata de un equilibrio bayesiano-Nash cuando cada postor oferta exactamente la mitad de su valor: Alice oferta y Bob oferta . ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a/2}$${\displaystyle b/2}$

PRUEBA: La prueba toma el punto de vista de Alice. Suponemos que ella sabe que Bob oferta , pero no sabe . Encontramos la mejor respuesta de Alice a la estrategia de Bob. Supongamos que Alice ofrece . Hay dos casos: ${\displaystyle f(b)=b/2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle x\geq f(b)}$. Entonces Alice gana y disfruta de una ganancia neta de . Esto sucede con una probabilidad .${\displaystyle a-x}$${\displaystyle f^{-1}(x)=2x}$
• ${\displaystyle x<f(b)}$. Entonces Alicia pierde y su ganancia neta es 0. Esto sucede con probabilidad .${\displaystyle 1-f^{-1}(x)}$

En resumen, la ganancia esperada de Alice es: . La ganancia máxima se alcanza cuando . La derivada es (ver Funciones inversas y diferenciación ): ${\displaystyle G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)}$${\displaystyle G'(x)=0}$

${\displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

y es cero cuando la oferta de Alice satisface: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

Ahora bien, como buscamos un equilibrio simétrico, también queremos que la oferta de Alice sea igual a . Por lo tanto, tenemos: ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}}$

${\displaystyle a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}}$

${\displaystyle af'(a)=(a-f(a))}$

La solución de esta ecuación diferencial es: . ${\displaystyle f(a)=a/2}$

Denotar por:

• ${\displaystyle v_{i}}$- la valoración del postor ;${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y_{i}}$- la valoración máxima de todos los postores excepto , es decir, .${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}}$

Entonces, una FPSBA tiene un BNE simétrico único en el que la oferta del jugador está dada por: ^{[5] : 33–40}${\displaystyle i}$

${\displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]}$

La FPSBA no es compatible con incentivos ni siquiera en el sentido débil de compatibilidad de incentivos bayesiano-Nash (BNIC), ya que no existe un equilibrio bayesiano-Nash en el que los oferentes informen su valor real.

Sin embargo, es fácil crear una variante de FPSBA que sea BNIC, si las reglas previas sobre las valoraciones son de conocimiento común. Por ejemplo, para el caso de Alice y Bob descrito anteriormente, las reglas de la variante BNIC son:

• El mejor postor gana;
• El postor más alto paga la mitad de su oferta.

En efecto, esta variante simula las estrategias de equilibrio Bayesiano-Nash de los jugadores, por lo que en el equilibrio Bayesiano-Nash ambos postores ofertan su valor real.

Este ejemplo es un caso especial de un principio mucho más general: el principio de revelación .

La siguiente tabla compara la FPSBA con la subasta de segundo precio con oferta sellada (SPSBA):

Los ingresos del subastador se calculan en el caso de ejemplo, en el que las valoraciones de los agentes se extraen de forma independiente y uniforme al azar de [0,1]. A modo de ejemplo, cuando hay agentes: ${\displaystyle n=2}$

• En una subasta de primer precio, el subastador recibe el máximo de las dos ofertas de equilibrio, que es .${\displaystyle \max(a/2,b/2)}$
• En una subasta de segundo precio, el subastador recibe el mínimo de las dos ofertas verdaderas, que es .${\displaystyle \min(a,b)}$

En ambos casos, el ingreso esperado del subastador es 1/3.

El hecho de que los ingresos sean los mismos no es una coincidencia, sino un caso especial del teorema de equivalencia de ingresos . Esto sólo se cumple cuando las valoraciones de los agentes son estadísticamente independientes ; cuando las valoraciones son dependientes, tenemos una subasta de valor común y, en este caso, los ingresos en una subasta de segundo precio suelen ser mayores que en una subasta de primer precio.

El artículo en venta no podrá venderse si la oferta final no es lo suficientemente alta para satisfacer al vendedor, es decir, el vendedor se reserva el derecho de aceptar o rechazar la oferta más alta. Si el vendedor anuncia a los postores el precio de reserva, se trata de una subasta pública con precio de reserva. ^[8] Por el contrario, si el vendedor no anuncia el precio de reserva antes de la venta, sino solo después de ella, se trata de una subasta secreta con precio de reserva. ^[9]

La FPSBA se diferencia de la subasta inglesa en que los postores solo pueden presentar una oferta cada uno. Además, como los postores no pueden ver las ofertas de otros participantes, no pueden ajustar sus propias ofertas en consecuencia. ^[3]

Se ha argumentado que la FPSBA es estratégicamente equivalente a la subasta holandesa . ^{[2] : p13}

Lo que en realidad son los FPSBA son comúnmente llamados licitaciones para adquisiciones por parte de empresas y organizaciones, en particular para contratos gubernamentales y subastas para concesiones mineras. ^[3] Se cree que los FPSBA conducen a bajos costos de adquisición a través de la competencia y a una menor corrupción mediante una mayor transparencia, aunque pueden implicar un mayor costo adicional ex post del proyecto completado y un tiempo adicional para completarlo. ^[10]

Una subasta de primer precio generalizada es un mecanismo de subasta no veraz para la búsqueda patrocinada (también conocida como subasta de posición).

Una generalización de las subastas de primer y segundo precio es una subasta en la que el precio es una combinación convexa del primer y segundo precio. ^[11]

• Hammami, Farouk; Rekik, Monia; Coelho, Leandro C. (2019). "Enfoques de soluciones exactas y heurísticas para el problema de construcción de ofertas en subastas de adquisición de transporte con una flota heterogénea". Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review . 127 : 150–177. doi :10.1016/j.tre.2019.05.009. S2CID  182223089.Subastas combinatorias para la contratación de servicios de transporte con reglas de primera oferta a sobre cerrado.

• Equilibrio de Nash en subasta de primer precio - en math.stackexchange.com.