Espacio de primer orden contable

En topología , una rama de las matemáticas , un espacio primeramente numerable es un espacio topológico que satisface el "primer axioma de numerabilidad ". Específicamente, un espacio${\displaystyle X}$Se dice que es primeramente contable si cada punto tiene una base de vecindad contable (base local). Es decir, para cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$existe una secuencia${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$de barrios de${\displaystyle x}$de tal manera que para cualquier vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle x}$existe un número entero${\displaystyle i}$con${\displaystyle N_{i}}$contenido en${\displaystyle N.}$ Dado que cada vecindario de cualquier punto contiene un vecindario abierto de ese punto, la base del vecindario puede elegirse, sin pérdida de generalidad, para que consista en vecindarios abiertos.

La mayoría de los espacios "cotidianos" en matemáticas son numerables de primer orden. En particular, todo espacio métrico es numerable de primer orden. Para ver esto, observe que el conjunto de bolas abiertas centradas en${\displaystyle x}$con radio${\displaystyle 2^{-n}}$para todos los números naturales${\displaystyle n}$formen una base local contable en${\displaystyle x}$.

Un ejemplo de espacio que no es primeramente numerable es la topología cofinita sobre un conjunto no numerable (como la recta real ). De forma más general, la topología de Zariski sobre una variedad algebraica sobre un cuerpo no numerable no es primeramente numerable.

Otro contraejemplo es el espacio ordinal.${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$dónde${\displaystyle \omega _{1}}$es el primer número ordinal no contable. El elemento${\displaystyle \omega _{1}}$es un punto límite del subconjunto${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$aunque no haya secuencia de elementos en${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$tiene el elemento${\displaystyle \omega _{1}}$como su límite. En particular, el punto${\displaystyle \omega _{1}}$en el espacio${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$no tiene una base local contable. Dado que${\displaystyle \omega _{1}}$es el único punto de este tipo, sin embargo, el subespacio${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$es de primer orden contable.

El espacio cociente${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$donde los números naturales en la recta real se identifican como un solo punto no es contable primero. ^{[ 1 ]} Sin embargo, este espacio tiene la propiedad de que para cualquier subconjunto${\displaystyle A}$y cada elemento${\displaystyle x}$en el cierre de${\displaystyle A,}$hay una secuencia en${\displaystyle A}$convergiendo a${\displaystyle x.}$Un espacio con esta propiedad de secuencia se denomina a veces espacio de Fréchet-Urysohn .

La primera numerabilidad es estrictamente más débil que la segunda numerabilidad . Todo espacio segunda numerable es primera numerable, pero cualquier espacio discreto no numerable es primera numerable pero no segunda numerable.

Una de las propiedades más importantes de los espacios numerables de primer orden es que, dado un subconjunto${\displaystyle A,}$un punto${\displaystyle x}$reside en el cierre de${\displaystyle A}$si y solo si existe una secuencia${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$en${\displaystyle A}$que converge a${\displaystyle x.}$(En otras palabras, todo espacio primeramente numerable es un espacio de Fréchet-Urysohn y, por lo tanto, también un espacio secuencial ). Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . En particular, si${\displaystyle f}$es una función en un espacio numerable de primer orden, entonces${\displaystyle f}$tiene un límite${\displaystyle L}$en ese punto${\displaystyle x}$si y solo si para cada secuencia${\displaystyle x_{n}\to x,}$dónde${\displaystyle x_{n}\neq x}$a pesar de${\displaystyle n,}$tenemos${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$Además, si${\displaystyle f}$es una función en un espacio numerable de primer orden, entonces${\displaystyle f}$es continua si y solo si siempre que${\displaystyle x_{n}\to x,}$entonces${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

En los espacios numerables de primer orden, la compacidad secuencial y la compacidad numerable son propiedades equivalentes. Sin embargo, existen ejemplos de espacios numerables de primer orden secuencialmente compactos que no son compactos (estos no son necesariamente espacios metrizables). Un ejemplo de este tipo de espacio es el espacio ordinal.${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$Todo espacio numerable de primer orden se genera de forma compacta .

Todo subespacio de un espacio numerable de primer orden es numerable de primer orden. Cualquier producto numerable de un espacio numerable de primer orden es numerable de primer orden, aunque los productos no numerables no necesariamente lo son.

• Espacio de Fréchet-Urysohn : un tipo de espacio topológico. 
• Espacio segundo numerable : espacio topológico cuya topología tiene una base numerable. 
• Espacio separable : espacio topológico con un subconjunto numerable denso. 
• Espacio secuencial – Espacio topológico caracterizado por secuencias 

• "primer axioma de numerabilidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemáticas Puras, vol. 6 (edición revisada y completa  ). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.