Lema apropiado

En matemáticas , el lema de Fitting —llamado así en honor al matemático Hans Fitting— es un enunciado fundamental del álgebra abstracta . Supongamos que M es un módulo sobre algún anillo . Si M es indescomponible y tiene longitud finita , entonces todo endomorfismo de M es un automorfismo o nilpotente . ^{[ 1 ]}

Como consecuencia inmediata, vemos que el anillo de endomorfismos de cada módulo indescomponible de longitud finita es local .

Una versión del lema de Fitting se usa frecuentemente en la teoría de representaciones de grupos . De hecho, este es un caso especial de la versión anterior, ya que toda representación K -lineal de un grupo G puede verse como un módulo sobre el álgebra de grupo KG .

Para demostrar el lema de Fitting, tomamos un endomorfismo f de M y consideramos las siguientes dos cadenas de submódulos :

• La primera es la cadena descendente${\displaystyle \mathrm {im} (f)\supseteq \mathrm {im} (f^{2})\supseteq \mathrm {im} (f^{3})\supseteq \ldots }$,
• La segunda es la cadena ascendente${\displaystyle \mathrm {ker} (f)\subseteq \mathrm {ker} (f^{2})\subseteq \mathrm {ker} (f^{3})\subseteq \ldots }$

Porque${\displaystyle M}$tiene una longitud finita, ambas cadenas deben estabilizarse eventualmente, por lo que hay alguna${\displaystyle n}$con${\displaystyle \mathrm {im} (f^{n})=\mathrm {im} (f^{n'})}$a pesar de${\displaystyle n'\geq n}$y algunos${\displaystyle m}$con${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{m})=\mathrm {ker} (f^{m'})}$a pesar de${\displaystyle m'\geq m.}$

Dejemos que ahora${\displaystyle k=\max\{n,m\}}$y tenga en cuenta que por construcción${\displaystyle \mathrm {im} (f^{2k})=\mathrm {im} (f^{k})}$y${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k}).}$

Afirmamos que${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})=0}$De hecho, cada${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})\cap \mathrm {im} (f^{k})}$Satisface${\displaystyle x=f^{k}(y)}$para algunos${\displaystyle y\in M}$pero también${\displaystyle f^{k}(x)=0}$, de modo que${\displaystyle 0=f^{k}(x)=f^{k}(f^{k}(y))=f^{2k}(y)}$, por lo tanto${\displaystyle y\in \mathrm {ker} (f^{2k})=\mathrm {ker} (f^{k})}$y por lo tanto${\displaystyle x=f^{k}(y)=0.}$

Además,${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k})=M}$: por cada${\displaystyle x\in M}$, existe algo${\displaystyle y\in M}$de tal manera que${\displaystyle f^{k}(x)=f^{2k}(y)}$(desde${\displaystyle f^{k}(x)\in \mathrm {im} (f^{k})=\mathrm {im} (f^{2k})}$), y por lo tanto${\displaystyle f^{k}(xf^{k}(y))=f^{k}(x)-f^{2k}(y)=0}$, de modo que${\displaystyle xf^{k}(y)\in \mathrm {ker} (f^{k})}$y por lo tanto${\displaystyle x\in \mathrm {ker} (f^{k})+f^{k}(y)\subseteq \mathrm {ker} (f^{k})+\mathrm {im} (f^{k}).}$

Como consecuencia,${\displaystyle M}$es la suma directa de${\displaystyle \mathrm {im} (f^{k})}$y${\displaystyle \mathrm {ker} (f^{k})}$(Esta afirmación también se conoce como el teorema de descomposición de Fitting ). Porque${\displaystyle M}$es indescomponible, uno de esos dos sumandos debe ser igual a${\displaystyle M}$y el otro debe ser el submódulo cero . Dependiendo de cuál de los dos sumandos sea cero, encontramos que${\displaystyle f}$es biyectivo o nilpotente. ^{[ 2 ]}

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol.  2 (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7