Secuencia exacta de cinco términos

En matemáticas , una sucesión exacta de cinco términos o una sucesión exacta de términos de bajo grado es una sucesión de términos relacionada con el primer paso de una sucesión espectral .

Más precisamente, dejemos

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow H^{n}(A)}$

ser una secuencia espectral del primer cuadrante, lo que significa que${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$desaparece excepto cuando p y q son ambos no negativos. Entonces hay una secuencia exacta

0 → mi ₂ ^1,0 → H  ¹ ( UNA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → H  ² ( UNA ).

Aquí está el mapa${\displaystyle E_{2}^{0,1}\to E_{2}^{2,0}}$es el diferencial de la${\displaystyle E_{2}}$-término de la secuencia espectral.

• La secuencia exacta de restricción de inflación

0 → H  ¹ ( G / N , A ^N ) → H  ¹ ( G , A ) → H  ¹ ( N , A ) ^{G / N} → H  ² ( G / N , A ^N ) → H  ² ( G , A )

En la cohomología de grupos surge como la secuencia exacta de cinco términos asociada a la secuencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

H ^p ( G / N , H ^q ( N , A )) ⇒ H ^p+q ( G , A )   

donde G es un grupo profinito , N es un subgrupo normal cerrado y A es un G -módulo discreto .

The sequence is a consequence of the definition of convergence of a spectral sequence. The second page differential with codomainE₂^1,0 originates from E₂^−1,1, which is zero by assumption. The differential with domain E₂^1,0 has codomain E₂^3,−1, which is also zero by assumption. Similarly, the incoming and outgoing differentials of E_r^1,0 are zero for all r ≥ 2. Therefore the (1,0) term of the spectral sequence has converged, meaning that it is isomorphic to the degree one graded piece of the abutment H ¹(A). Because the spectral sequence lies in the first quadrant, the degree one graded piece is equal to the first subgroup in the filtration defining the graded pieces. The inclusion of this subgroup yields the injection E₂^1,0 → H ¹(A) which begins the five-term exact sequence. This injection is called an edge map.

The E₂^0,1 term of the spectral sequence has not converged. It has a potentially non-trivial differential leading to E₂^2,0. However, the differential landing at E₂^0,1 begins at E₂^−2,2, which is zero, and therefore E₃^0,1 is the kernel of the differential E₂^0,1 → E₂^2,0. At the third page, the (0, 1) term of the spectral sequence has converged, because all the differentials into and out of E_r^0,1 either begin or end outside the first quadrant when r ≥ 3. Consequently E₃^0,1 is the degree zero graded piece of H ¹(A). This graded piece is the quotient of H ¹(A) by the first subgroup in the filtration, and hence it is the cokernel of the edge map from E₂^1,0. This yields a short exact sequence

0 → E₂^1,0 → H ¹(A) → E₃^0,1 → 0.

Dado que E ₃ ^0,1 es el núcleo del diferencial E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 , el último término de la sucesión exacta corta puede reemplazarse con el diferencial. Esto produce una sucesión exacta de cuatro términos. La aplicación H  ¹ ( A ) → E ₂ ^0,1 también se denomina aplicación de aristas.

El diferencial saliente de E ₂ ^2,0 es cero, por lo que E ₃ ^2,0 es el cokernel del diferencial E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 . Los diferenciales entrante y saliente de E _r ^2,0 son cero si r ≥ 3 , nuevamente porque la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante, y por lo tanto la secuencia espectral ha convergido. En consecuencia, E ₃ ^2,0 es isomorfo a la pieza graduada de grado dos de H  ² ( A ). En particular, es un subgrupo de H  ² ( A ). El compuesto E ₂ ^2,0 → E ₃ ^2,0 → H ² ( A ), que es otro mapa de borde, por lo tanto tiene un kernel igual a la imagen del diferencial que aterriza en E ₂ ^2,0 . Esto completa la construcción de la secuencia.

La secuencia exacta de cinco términos se puede extender a costa de hacer que uno de los términos sea menos explícito. La secuencia exacta de siete términos es

0 → mi ₂ ^1,0 → H  ¹ ( UNA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → Ker( H  ² ( una ) → mi ₂ ^0,2 ​​) → mi ₂ ^1,1 → mi ₂ ^3,0 .

Esta secuencia no se extiende inmediatamente con un mapeo a H ³ ( A ). Si bien hay un mapeo de aristas E ₂ ^3,0 → H ³ ( A ), su núcleo no es el término anterior en la secuencia exacta de siete términos.

Para secuencias espectrales cuya primera página de interés es E ₁ , existe una secuencia exacta de tres términos análoga a la secuencia exacta de cinco términos:

${\displaystyle 0\to H^{0}(A)\to E_{1}^{0,0}\to E_{1}^{0,1}.}$

De forma similar para una secuencia espectral homológica${\displaystyle E_{p,q}^{2}\Rightarrow H_{n}(A)}$obtenemos una secuencia exacta:

${\displaystyle H_{2}(A)\to E_{2,0}^{2}\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\to H_{1}(A)\to E_{1,0}^{2}\to 0}$

Tanto en el caso homológico como en el cohomológico, existen secuencias exactas de bajo grado para secuencias espectrales en el tercer cuadrante. Cuando se sabe que términos adicionales de la secuencia espectral se anulan, las secuencias exactas pueden extenderse aún más. Por ejemplo, la secuencia exacta larga asociada a una secuencia exacta corta de complejos puede derivarse de esta manera.

• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol.  323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0948.11001  
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259