Cinco lemas

En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas , el lema de los cinco es un lema importante y ampliamente utilizado sobre diagramas conmutativos . Este lema es válido para todas las categorías abelianas, así como para la categoría de grupos .

El quinto lema puede considerarse como una combinación de otros dos teoremas, los cuatro lemas , que son duales entre sí.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo en cualquier categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ) o en la categoría de grupos .

El lema de los cinco establece que, si las filas son exactas , m y p son isomorfismos , l es un epimorfismo y q es un monomorfismo , entonces n también es un isomorfismo.

Los dos lemas de cuatro partes afirman:

El método de demostración que utilizaremos se conoce comúnmente como seguimiento de diagramas . ^{[ 1 ]} Demostraremos los cinco lemas demostrando individualmente cada uno de los dos lemas cuatro.

Para realizar el seguimiento de diagramas, asumimos que estamos en una categoría de módulos sobre algún anillo , de modo que podemos hablar de elementos de los objetos en el diagrama y pensar en los morfismos del diagrama como funciones (de hecho, homomorfismos ) que actúan sobre esos elementos. Entonces, un morfismo es un monomorfismo si y solo si es inyectivo , y es un epimorfismo si y solo si es sobreyectivo . De manera similar, para tratar la exactitud, podemos pensar en núcleos e imágenes en un sentido de teoría de funciones. La demostración seguirá siendo válida para cualquier categoría abeliana (pequeña) debido al teorema de incrustación de Mitchell , que establece que cualquier categoría abeliana pequeña puede representarse como una categoría de módulos sobre algún anillo. Para la categoría de grupos, simplemente cambiamos toda la notación aditiva a continuación por notación multiplicativa, y observamos que la conmutatividad de grupo abeliano nunca se utiliza.

Entonces, para demostrar (1), supongamos que m y p son sobreyectivas y q es inyectiva.

• Sea c ′ un elemento de C ′ .
• Dado que p es sobreyectiva, existe un elemento d en D tal que p ( d ) = t ( c ′ ).
• Por la conmutatividad del diagrama, u ( p ( d )) = q ( j ( d )).
• Dado que im t = ker u por exactitud, 0 = u ( t ( c ′ )) = u ( p ( d )) = q ( j ( d )).
• Como q es inyectiva, j ( d ) = 0, por lo que d está en ker j = im h .
• Por lo tanto, existe c en C tal que h ( c ) = d .
• Entonces t ( n ( c )) = p ( h ( c )) = t ( c ′ ). Como t es un homomorfismo, se deduce que t ( c ′ − n ( c )) = 0.
• Por exactitud, c ′ − n ( c ) está en la imagen de s , por lo que existe b ′ en B ′ con s ( b ′ ) = c ′ − n ( c ).
• Dado que m es sobreyectiva, podemos encontrar b en B tal que b ′ = m ( b ).
• Por conmutatividad, n ( g ( b )) = s ( m ( b )) = c ′ − n ( c ).
• Dado que n es un homomorfismo, n ( g ( b ) + c ) = n ( g ( b )) + n ( c ) = c ′ − n ( c ) + n ( c ) = c ′ .
• Por lo tanto, n es sobreyectiva.

Entonces, para demostrar (2), supongamos que m y p son inyectivas y l es sobreyectiva.

• Sea c en C tal que n ( c ) = 0.
• t ( n ( c )) es entonces 0.
• Por conmutatividad, p ( h ( c )) = 0.
• Dado que p es inyectiva, h ( c ) = 0.
• Por exactitud, existe un elemento b de B tal que g ( b ) = c .
• Por conmutatividad, s ( m ( b )) = n ( g ( b )) = n ( c ) = 0.
• Por exactitud, existe entonces un elemento a ′ de A ′ tal que r ( a ′ ) = m ( b ).
• Dado que l es sobreyectiva, existe un a en A tal que l ( a ) = a ′ .
• Por conmutatividad, m ( f ( a )) = r ( l ( a )) = m ( b ) .
• Dado que m es inyectiva, f ( a ) = b .
• Entonces c = g ( f ( a )).
• Dado que la composición de g y f es trivial, c = 0.
• Por lo tanto, n es inyectivo.

La combinación de los dos lemas de cuatro elementos demuestra ahora el lema completo de cinco elementos.

El lema de los cinco se aplica frecuentemente a secuencias exactas largas : al calcular la homología o cohomología de un objeto dado, se suele emplear un subobjeto más simple cuya homología/cohomología se conoce, y se obtiene una secuencia exacta larga que involucra los grupos de homología desconocidos del objeto original. Esto por sí solo a menudo no es suficiente para determinar los grupos de homología desconocidos, pero si se puede comparar el objeto original y el subobjeto con otros bien conocidos mediante morfismos, entonces se induce un morfismo entre las respectivas secuencias exactas largas, y el lema de los cinco se puede utilizar para determinar los grupos de homología desconocidos.

En particular, resulta bastante útil para demostrar que dos teorías de (co)homología del mismo objeto coinciden, por ejemplo, homología simplicial frente a homología singular, cohomología de De Rham frente a cohomología singular.

• Lema cinco corto , un caso especial del lema cinco para secuencias exactas cortas.
• Lema de la serpiente , otro lema demostrado mediante la búsqueda de diagramas.
• Nueve lemas

• Scott, WR (1987) [1964]. Teoría de grupos . Dover. ISBN 978-0-486-65377-8.
• Massey, William S. (1991), Un curso básico de topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  127 (3.ª  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-97430-9