Secuencia exacta de cinco términos

En matemáticas , una sucesión exacta de cinco términos o una sucesión exacta de términos de bajo grado es una sucesión de términos relacionada con el primer paso de una sucesión espectral .

Más precisamente, dejemos

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow H^{n}(A)}$

ser una secuencia espectral del primer cuadrante, lo que significa que${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$desaparece excepto cuando p y q son ambos no negativos. Entonces hay una secuencia exacta

0 → mi ₂ ^1,0 → H  ¹ ( UNA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → H  ² ( UNA ).

Aquí está el mapa${\displaystyle E_{2}^{0,1}\to E_{2}^{2,0}}$es el diferencial de la${\displaystyle E_{2}}$-término de la secuencia espectral.

• La secuencia exacta de restricción de inflación

0 → H  ¹ ( G / N , A ^N ) → H  ¹ ( G , A ) → H  ¹ ( N , A ) ^{G / N} → H  ² ( G / N , A ^N ) → H  ² ( G , A )

En la cohomología de grupos surge como la secuencia exacta de cinco términos asociada a la secuencia espectral de Lyndon-Hochschild-Serre.

H ^p ( G / N , H ^q ( N , A )) ⇒ H ^p+q ( G , A )   

donde G es un grupo profinito , N es un subgrupo normal cerrado y A es un G -módulo discreto .

La secuencia es consecuencia de la definición de convergencia de una secuencia espectral. El diferencial de la segunda página con codominio E ₂ ^1,0 se origina en E ₂ ^{− 1,1} , que es cero por hipótesis. El diferencial con dominio E ₂ ^1,0 tiene codominio E ₂ ^{3, − 1} , que también es cero por hipótesis. De manera similar, los diferenciales entrante y saliente de E _r ^1,0 son cero para todo r ≥ 2 . Por lo tanto, el término (1,0) de la secuencia espectral ha convergido, lo que significa que es isomorfo a la pieza graduada de grado uno del tope H  ¹ ( A ). Debido a que la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante, la pieza graduada de grado uno es igual al primer subgrupo en la filtración que define las piezas graduadas. La inclusión de este subgrupo produce la inyección E ₂ ^1,0 → H  ¹ ( A ) que inicia la secuencia exacta de cinco términos. Esta inyección se denomina mapa de bordes .

El término E ₂ ^0,1 de la secuencia espectral no ha convergido. Tiene un diferencial potencialmente no trivial que conduce a E ₂ ^2,0 . Sin embargo, el diferencial que aterriza en E ₂ ^0,1 comienza en E ₂ ^{− 2,2} , que es cero, y por lo tanto E ₃ ^0,1 es el núcleo del diferencial E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 . En la tercera página, el término (0, 1) de la secuencia espectral ha convergido, porque todos los diferenciales que entran y salen de E _r ^0,1 comienzan o terminan fuera del primer cuadrante cuando r ≥ 3. En consecuencia, E ₃ ^0,1 es la pieza graduada de grado cero de H  ¹ ( A ). Esta pieza graduada es el cociente de H  ¹ ( A ) por el primer subgrupo en la filtración, y por lo tanto es el co-núcleo del mapa de aristas de E ₂ ^1,0 . Esto produce una secuencia exacta corta.

0 → E ₂ ^1,0 → H  ¹ ( A ) → E ₃ ^0,1 → 0.

Dado que E ₃ ^0,1 es el núcleo del diferencial E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 , el último término de la sucesión exacta corta puede reemplazarse con el diferencial. Esto produce una sucesión exacta de cuatro términos. La aplicación H  ¹ ( A ) → E ₂ ^0,1 también se denomina aplicación de aristas.

El diferencial saliente de E ₂ ^2,0 es cero, por lo que E ₃ ^2,0 es el cokernel del diferencial E ₂ ^0,1 → E ₂ ^2,0 . Los diferenciales entrante y saliente de E _r ^2,0 son cero si r ≥ 3 , nuevamente porque la secuencia espectral se encuentra en el primer cuadrante, y por lo tanto la secuencia espectral ha convergido. En consecuencia, E ₃ ^2,0 es isomorfo a la pieza graduada de grado dos de H  ² ( A ). En particular, es un subgrupo de H  ² ( A ). El compuesto E ₂ ^2,0 → E ₃ ^2,0 → H ² ( A ), que es otro mapa de borde, por lo tanto tiene un kernel igual a la imagen del diferencial que aterriza en E ₂ ^2,0 . Esto completa la construcción de la secuencia.

La secuencia exacta de cinco términos se puede extender a costa de hacer que uno de los términos sea menos explícito. La secuencia exacta de siete términos es

0 → mi ₂ ^1,0 → H  ¹ ( UNA ) → mi ₂ ^0,1 → mi ₂ ^2,0 → Ker( H  ² ( una ) → mi ₂ ^0,2 ​​) → mi ₂ ^1,1 → mi ₂ ^3,0 .

Esta secuencia no se extiende inmediatamente con un mapeo a H ³ ( A ). Si bien hay un mapeo de aristas E ₂ ^3,0 → H ³ ( A ), su núcleo no es el término anterior en la secuencia exacta de siete términos.

Para secuencias espectrales cuya primera página de interés es E ₁ , existe una secuencia exacta de tres términos análoga a la secuencia exacta de cinco términos:

${\displaystyle 0\to H^{0}(A)\to E_{1}^{0,0}\to E_{1}^{0,1}.}$

De forma similar para una secuencia espectral homológica${\displaystyle E_{p,q}^{2}\Rightarrow H_{n}(A)}$obtenemos una secuencia exacta:

${\displaystyle H_{2}(A)\to E_{2,0}^{2}\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\to H_{1}(A)\to E_{1,0}^{2}\to 0}$

Tanto en el caso homológico como en el cohomológico, existen secuencias exactas de bajo grado para secuencias espectrales en el tercer cuadrante. Cuando se sabe que términos adicionales de la secuencia espectral se anulan, las secuencias exactas pueden extenderse aún más. Por ejemplo, la secuencia exacta larga asociada a una secuencia exacta corta de complejos puede derivarse de esta manera.

• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol.  323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0948.11001  
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259