Índice de punto fijo

En matemáticas , el índice de punto fijo es un concepto de la teoría topológica del punto fijo , y en particular de la teoría de Nielsen . El índice de punto fijo puede considerarse como una medida de multiplicidad para puntos fijos.

El índice se puede definir fácilmente en el contexto del análisis complejo : Sea f ( z ) una función holomorfa en el plano complejo, y sea z ₀ un punto fijo de f . Entonces la función f ( z ) −  z es holomorfa, y tiene un cero aislado en z ₀ . Definimos el índice de punto fijo de f en z ₀ , denotado i ( f , z ₀ ), como la multiplicidad del cero de la función f ( z ) −  z en el punto z ₀ .

En el espacio euclidiano real, el índice de punto fijo se define de la siguiente manera: Si x ₀ es un punto fijo aislado de f , entonces sea g la función definida por

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{||xf(x)||}}.}$

Entonces g tiene una singularidad aislada en x ₀ , y mapea el límite de algún vecindario eliminado de x ₀ a la esfera unitaria. Definimos i ( f ,  x ₀ ) como el grado de Brouwer del mapeo inducido por g en alguna esfera pequeña adecuadamente elegida alrededor de x ₀ . ^[1]

La importancia del índice de punto fijo se debe en gran medida a su papel en el teorema de Lefschetz - Hof , que establece:

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

donde Fix( f ) es el conjunto de puntos fijos de f , y Λ _f es el número de Lefschetz de f .

Dado que la cantidad en el lado izquierdo de lo anterior es claramente cero cuando f no tiene puntos fijos, el teorema de Lefschetz-Hopf implica trivialmente el teorema de punto fijo de Lefschetz .

• Robert F. Brown: Teoría del punto fijo , en: IM James, Historia de la topología , Ámsterdam 1999, ISBN  0-444-82375-1 , 271–299.