Ultrafiltro

En el campo matemático de la teoría del orden , un ultrafiltro en un conjunto parcialmente ordenado dado (o "poset")${\textstyle P}$es un cierto subconjunto de${\displaystyle P,}$es decir, un filtro máximo en${\displaystyle P;}$es decir, un filtro adecuado en${\textstyle P}$que no se puede ampliar a un filtro adecuado más grande en${\displaystyle P.}$

Si${\displaystyle X}$es un conjunto arbitrario, su conjunto potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ordenado por inclusión de conjuntos , es siempre un álgebra booleana y por lo tanto un poset, y ultrafiltros en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$En el set, suelen llamarse ultrafiltros.${\displaystyle X}$. ^{[ nota 1 ]} Un ultrafiltro en un conjunto${\displaystyle X}$puede considerarse como una medida finitamente aditiva con valores 0-1 en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Desde esta perspectiva, cada subconjunto de${\displaystyle X}$se considera " casi todo " (tiene medida 1) o "casi nada" (tiene medida 0), dependiendo de si pertenece o no al ultrafiltro dado. ^{[ 1 ] : §4}

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en teoría de conjuntos, teoría de modelos , topología ^{[ 2 ] : 186} y combinatoria. ^{[ 3 ]}

En teoría del orden , un ultrafiltro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que es maximal entre todos los filtros propios . Esto implica que cualquier filtro que contenga propiamente un ultrafiltro debe ser igual a todo el conjunto parcialmente ordenado.

Formalmente, si${\textstyle P}$es un conjunto, parcialmente ordenado por${\displaystyle \,\leq \,}$entonces

• un subconjunto${\displaystyle F\subsetq P}$se llama filtro en${\textstyle P}$si
  • ${\displaystyle F}$no está vacío,
  • por cada${\displaystyle x,y\in F,}$existe algún elemento${\displaystyle z\in F}$de tal manera que${\displaystyle z\leq x}$y${\displaystyle z\leq y,}$y
  • por cada${\displaystyle x\in F}$y${\displaystyle y\in P,}$${\displaystyle x\leq y}$implica que${\displaystyle y}$está en${\displaystyle F}$también;
• un subconjunto adecuado${\displaystyle U}$de${\textstyle P}$se llama ultrafiltro en${\textstyle P}$si
  • ${\displaystyle U}$es un filtro en${\displaystyle P,}$y
  • no hay un filtro adecuado${\displaystyle F}$en${\textstyle P}$que se extiende adecuadamente${\displaystyle U}$(es decir, de tal manera que${\displaystyle U}$es un subconjunto propio de${\displaystyle F}$).

Un caso especial importante del concepto se da si el poset considerado es un álgebra booleana . En este caso, los ultrafiltros se caracterizan por contener, para cada elemento${\displaystyle x}$del álgebra booleana, exactamente uno de los elementos${\displaystyle x}$y${\displaystyle \lnot x}$(este último es el complemento booleano de${\displaystyle x}$):

Si${\textstyle P}$es un álgebra booleana y${\displaystyle F}$es un filtro adecuado en${\displaystyle P,}$Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle F}$es un ultrafiltro en${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$es un filtro principal en${\displaystyle P,}$^{[ nota 4 ]}
3. para cada${\displaystyle x\in P,}$cualquiera${\displaystyle x\in F}$o (${\displaystyle \lnot x}$)${\displaystyle \in F.}$^{[ 2 ] : 186}

Además, los ultrafiltros en un álgebra booleana pueden relacionarse con ideales maximales y homomorfismos al álgebra booleana de 2 elementos {verdadero, falso} (también conocidos como morfismos bivaluados ) de la siguiente manera:

• Dado un homomorfismo de un álgebra booleana sobre {verdadero, falso}, la imagen inversa de "verdadero" es un ultrafiltro, y la imagen inversa de "falso" es un ideal maximal.
• Dado un ideal maximal de un álgebra booleana, su complemento es un ultrafiltro, y existe un único homomorfismo sobre {verdadero, falso} que toma el ideal maximal como "falso".
• Dado un ultrafiltro en un álgebra booleana, su complemento es un ideal maximal, y hay un único homomorfismo sobre {verdadero, falso} que lleva el ultrafiltro a "verdadero".

Dado un conjunto arbitrario${\displaystyle X,}$su conjunto de potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ordenado por inclusión de conjuntos , es siempre un álgebra booleana; por lo tanto, los resultados de la sección anterior son aplicables. Un (ultra)filtro en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$a menudo se le llama simplemente un "(ultra)filtro en${\displaystyle X}$". ^{[ nota 1 ]} Dado un conjunto arbitrario${\displaystyle X,}$un ultrafiltro en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$es un conjunto${\displaystyle {\mathcal {U}}}$compuesto por subconjuntos de${\displaystyle X}$de tal manera que:

1. El conjunto vacío no es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.
2. Si${\displaystyle A}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$Entonces, así es cada superconjunto.${\displaystyle B\supset A}$.
3. Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son elementos de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$Entonces también lo es la intersección${\displaystyle A\cap B}$.
4. Si${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle X,}$entonces o ^{[ nota 5 ]}${\displaystyle A}$o su complemento${\displaystyle X\setminus A}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

De forma equivalente, una familia${\displaystyle {\mathcal {U}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$es un ultrafiltro si y solo si para cualquier colección finita${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$, hay algunos${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {F}}=F_{x}\cap {\mathcal {F}}}$dónde${\displaystyle F_{x}=\{Y\subsetequ X:x\in Y\}}$es el principal ultrafiltro sembrado por${\displaystyle x}$En otras palabras, un ultrafiltro puede considerarse como una familia de conjuntos que se asemejan "localmente" a un ultrafiltro principal.

Una forma equivalente de un dado${\displaystyle {\mathcal {U}}}$es un morfismo bivaluado , una función${\displaystyle m}$en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$definido como${\displaystyle m(A)=1}$si${\displaystyle A}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$y${\displaystyle m(A)=0}$de lo contrario. Entonces${\displaystyle m}$es finitamente aditivo y, por lo tanto, un contenido en${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$y cada propiedad de los elementos de${\displaystyle X}$es cierto casi en todas partes o falso casi en todas partes. Sin embargo,${\displaystyle m}$Por lo general, no es numerablemente aditivo y, por lo tanto, no define una medida en el sentido habitual.

Para un filtro${\displaystyle {\mathcal {F}}}$eso no es un ultrafiltro, se puede definir${\displaystyle m(A)=1}$si${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle m(A)=0}$si${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}},}$partida${\displaystyle m}$no definido en otro lugar. ^{[ 1 ]}

Los ultrafiltros en conjuntos potencia son útiles en topología , especialmente en relación con los espacios compactos de Hausdorff , y en teoría de modelos en la construcción de ultraproductos y ultrapotencias . Todo ultrafiltro en un espacio compacto de Hausdorff converge a un único punto. Asimismo, los ultrafiltros en álgebras booleanas desempeñan un papel fundamental en el teorema de representación de Stone . En teoría de conjuntos, los ultrafiltros se utilizan para demostrar que el axioma de constructibilidad es incompatible con la existencia de un cardinal medible κ . Esto se demuestra tomando la ultrapotencia del universo de la teoría de conjuntos módulo un ultrafiltro no principal κ -completo. ^{[ 6 ]}

El conjunto${\displaystyle G}$de todos los ultrafiltros de un poset${\textstyle P}$puede ser topologizado de forma natural, lo cual está estrechamente relacionado con el teorema de representación mencionado anteriormente. Para cualquier elemento${\displaystyle x}$de${\textstyle P}$, dejar${\displaystyle D_{x}=\left\{U\in G:x\in U\right\}.}$Esto es más útil cuando${\textstyle P}$es nuevamente un álgebra booleana, ya que en esta situación el conjunto de todos${\displaystyle D_{x}}$es una base para una topología de Hausdorff compacta en${\displaystyle G}$Especialmente si se tienen en cuenta los ultrafiltros de un conjunto de potencia.${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, el espacio topológico resultante es la compactificación de Stone-Čech de un espacio discreto de cardinalidad${\displaystyle |S|.}$

La construcción de ultraproductos en la teoría de modelos utiliza ultrafiltros para producir un nuevo modelo a partir de una secuencia de${\displaystyle X}$modelos indexados; por ejemplo, el teorema de compacidad se puede demostrar de esta manera. En el caso especial de ultrapotencias, se obtienen extensiones elementales de estructuras. Por ejemplo, en análisis no estándar , los números hiperreales se pueden construir como un ultraproducto de los números reales , extendiendo el dominio del discurso de los números reales a secuencias de números reales. Este espacio de secuencias se considera un superconjunto de los reales al identificar cada real con la secuencia constante correspondiente. Para extender las funciones y relaciones familiares (por ejemplo, + y <) de los reales a los hiperreales, la idea natural es definirlas puntualmente. Pero esto perdería importantes propiedades lógicas de los reales; por ejemplo, < puntualmente no es un orden total. Así que en su lugar las funciones y relaciones se definen " puntualmente módulo "${\displaystyle U}$, dónde${\displaystyle U}$es un ultrafiltro en el conjunto de índices de las secuencias; por el teorema de Łoś , esto preserva todas las propiedades de los reales que pueden enunciarse en lógica de primer orden . Si${\displaystyle U}$Si no es principal, entonces la extensión obtenida de ese modo no es trivial.

En la teoría geométrica de grupos , los ultrafiltros no principales se utilizan para definir el cono asintótico de un grupo. Esta construcción proporciona una forma rigurosa de considerar el grupo desde el infinito , es decir, la geometría a gran escala del grupo. Los conos asintóticos son ejemplos particulares de ultralímites de espacios métricos .

La prueba ontológica de Gödel sobre la existencia de Dios utiliza como axioma que el conjunto de todas las "propiedades positivas" es un ultrafiltro.

En la teoría de la elección social , se utilizan ultrafiltros no principales para definir una regla (denominada función de bienestar social ) que agrega las preferencias de un número infinito de individuos. A diferencia del teorema de imposibilidad de Arrow para un número finito de individuos, dicha regla satisface las condiciones (propiedades) que propone Arrow. ^{[ 7 ]} Sin embargo, estas reglas tienen un interés práctico limitado para los científicos sociales, ya que no son algorítmicas ni computables. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• El lema del ultrafiltro : filtro propio máximo. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Red universal : generalización de una secuencia de puntos. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 

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• Ultrafiltro en el laboratorio n
• "Lógica matemática 15, El teorema del ultrafiltro" en YouTube