convergencia plana

En matemáticas , la convergencia plana es una noción que describe la convergencia de subvariedades del espacio euclidiano. Fue introducida por primera vez por Hassler Whitney en 1957 y extendida posteriormente a corrientes integrales por Federer y Fleming en 1960. Constituye una parte fundamental del campo de la teoría geométrica de la medida . Esta noción se aplicó para encontrar soluciones al problema de Plateau . En 2001, Ambrosio y Kirchheim extendieron la noción de corriente integral a espacios métricos arbitrarios .

Una corriente T de k dimensiones es un funcional lineal en el espacio${\displaystyle \Omega _{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$de k -formas suaves y con soporte compacto. Por ejemplo, dada una aplicación de Lipschitz de una variedad al espacio euclidiano ,${\displaystyle F:N^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$Se tiene una corriente integral T ( ω ) definida integrando el retroceso de la k- forma diferencial, ω , sobre N. Las corrientes tienen una noción de frontera.${\displaystyle \partial {T}}$ (que es el límite habitual cuando N es una variedad con frontera) y una noción de masa, M ( T ), (que es el volumen de la imagen de N ). Una corriente rectificable entera se define como una suma contable de corrientes formadas en este sentido. Una corriente integral es una corriente rectificable entera cuya frontera tiene masa finita. Es un teorema profundo de Federer-Fleming que la frontera es entonces también una corriente integral. 

La norma plana | T | de una corriente integral k -dimensional T es el ínfimo de M ( A )  + M ( B ), donde el ínfimo se toma sobre todas las corrientes integrales A y B tales que ${\displaystyle T=A+\partial B}$.

La distancia plana entre dos corrientes integrales es entonces d _F ( T , S ) =  | T − S |.  

Federer-Fleming demostró que si se tiene una secuencia de corrientes integrales${\displaystyle T_{i}}$cuyos soportes se encuentran en un conjunto compacto K con una cota superior uniforme en${\displaystyle M(T_{i})+M(\partial T_{i})}$, entonces una subsecuencia converge en el sentido plano a una corriente integral.

Este teorema se aplicó para estudiar secuencias de subvariedades de frontera fija cuyo volumen se aproximaba al ínfimo sobre todos los volúmenes de subvariedades con la frontera dada. Produjo una posible solución débil al problema de Plateau .

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , serie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol.  Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs.  xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325 
• Federer, H. (1978), "Conferencias del coloquio sobre teoría de la medida geométrica" , Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (3): 291– 338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0

• Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: Guía para principiantes (Cuarta  ed.), San Diego, CA: Academic Press Inc., pp.  viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9, MR 2455580 
• Ambrosio, Luigi; Kirchheim, Bernd (2000), "Corrientes en espacios métricos", Acta Mathematica , 185 : 1–80 , doi : 10.1007/bf02392711