Flexágono

Un tritetraflexágono se puede plegar a partir de una tira de papel como se muestra en la imagen.

Esta figura tiene dos caras visibles, formadas por cuadrados marcados con A y B. La cara C está oculta dentro del flexágono.

El tritetraflexágono es el tetraflexágono más simple (flexágono con caras cuadradas ). El prefijo "tri" indica que tiene tres caras, dos de las cuales son visibles en cualquier momento si se presiona el flexágono. Su construcción es similar al mecanismo utilizado en el clásico juguete infantil Escalera de Jacob , en el Rubik's Magic y en el truco de la cartera mágica o cartera Himber .

El tritetraflexágono tiene dos extremos muertos, donde no se puede flexionar hacia adelante. Para acceder a otra cara, hay que flexionar hacia atrás o voltear el flexágono.

Un hexatetraflexágono cíclico más complejo no requiere pegamento. Un hexatetraflexágono cíclico no tiene "extremos muertos", sino que quien lo construye puede seguir plegándolo hasta llegar a la posición inicial. Si se colorean los lados durante el proceso, los estados se pueden apreciar con mayor claridad.

A diferencia del tritetraflexágono, el hexatetraflexágono no tiene extremos muertos y nunca necesita flexionarse hacia atrás.

Un hexaflexágono de tres caras es el más sencillo de hacer y manejar, y se fabrica a partir de una sola tira de papel dividida en nueve triángulos equiláteros. (Algunos patrones proporcionan diez triángulos, dos de los cuales se pegan en el montaje final).

Para ensamblarla, la tira se pliega cada tercer triángulo, volviendo a unirse a sí misma después de tres inversiones, al estilo del símbolo internacional de reciclaje . Esto crea una cinta de Möbius cuyo único borde forma un nudo de trébol .

Este hexaflexágono tiene seis caras. Está formado por diecinueve triángulos plegados a partir de una tira de papel.

Una vez doblada, las caras 1, 2 y 3 son más fáciles de encontrar que las caras 4, 5 y 6.

Una forma sencilla de exponer las seis caras es mediante el método de Tuckerman, que recibe su nombre de Bryant Tuckerman, uno de los primeros en investigar las propiedades de los hexaflexágonos. Este método consiste en flexionar repetidamente pellizcando una esquina y flexionando siempre desde la misma esquina. Si la esquina no se abre, se pasa a una esquina adyacente y se continúa flexionando. Este procedimiento da como resultado un ciclo de 12 caras. Sin embargo, durante este proceso, las caras 1, 2 y 3 aparecen tres veces más frecuentemente que las caras 4, 5 y 6. El ciclo se desarrolla de la siguiente manera:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

Y luego volvemos al 1 otra vez.

Cada color/cara también puede exponerse de más de una manera. En la figura 6, por ejemplo, cada triángulo azul tiene en el centro su vértice decorado con una cuña, pero también es posible, por ejemplo, hacer que los decorados con Y se acerquen al centro. Existen 18 configuraciones posibles para triángulos de diferentes colores, y se pueden observar doblando el hexahexaflexágono de todas las maneras posibles en teoría, pero solo 15 pueden doblarse con el hexahexaflexágono ordinario. Las 3 configuraciones adicionales son imposibles debido a la disposición de las piezas 4, 5 y 6 en la solapa posterior. (Los ángulos de 60 grados en los rombos formados por las piezas 4, 5 o 6 adyacentes solo aparecerán en los lados y nunca en el centro, ya que requeriría cortar la tira, lo cual está topológicamente prohibido).

Los hexahexaflexágonos se pueden construir a partir de redes de dieciocho triángulos equiláteros de diferentes formas. Un hexahexaflexágono, construido a partir de una tira de papel irregular, es casi idéntico al que se muestra arriba, con la diferencia de que en esta versión se pueden flexionar las 18 configuraciones.

Si bien los hexaflexágonos más comunes tienen tres o seis caras, existen variaciones con cualquier número de caras. Las tiras rectas producen hexaflexágonos con un número de caras múltiplo de tres. Otros números se obtienen a partir de tiras no rectas, que son simplemente tiras rectas con algunas uniones dobladas, eliminando así algunas caras. Muchas tiras se pueden doblar de diferentes maneras, produciendo distintos hexaflexágonos con diferentes patrones de plegado.

En estos flexágonos descubiertos más recientemente, cada cara cuadrada o triangular equilátera de un flexágono convencional se divide además en dos triángulos rectángulos, lo que permite modos de flexión adicionales. ^{[ 7 ]} La división de las caras cuadradas de los tetraflexágonos en triángulos isósceles rectángulos produce los octaflexágonos, ^{[ 8 ]} y la división de las caras triangulares de los hexaflexágonos en triángulos rectángulos de 30-60-90 produce los dodecaflexágonos. ^{[ 9 ]}

En su estado plano, el pentaflexágono se parece mucho al logotipo de Chrysler : un pentágono regular dividido desde el centro en cinco triángulos isósceles , con ángulos de 72–54–54. Debido a su simetría quíntuple, el pentaflexágono no se puede doblar por la mitad. Sin embargo, una serie compleja de flexiones da como resultado su transformación, mostrando los lados uno y dos en el anverso y el reverso, respectivamente, para mostrar sus lados tres y cuatro, previamente ocultos. ^{[ 10 ]}

Al dividir aún más los triángulos 72-54-54 del pentaflexágono en triángulos rectángulos 36-54-90 se produce una variación del decaflexágono de 10 lados. ^{[ 11 ]}

El pentaflexágono es uno de una secuencia infinita de flexágonos que se forman al dividir un n -gono regular en n triángulos isósceles. Otros flexágonos incluyen el heptaflexágono, ^{[ 12 ]} el octaflexágono isósceles, ^{[ 13 ]} el eneaflexágono, ^{[ 14 ]} y otros.

Harold V. McIntosh también describe flexágonos "no planos" (es decir, aquellos que no se pueden flexionar para que queden planos); pentaflexágonos plegados a partir de pentágonos , llamados pentaflexágonos , ^{[ 15 ]} y heptágonos, llamados heptaflexágonos . ^{[ 16 ]} Estos deben distinguirse de los pentaflexágonos y heptaflexágonos "ordinarios" descritos anteriormente, que están hechos de triángulos isósceles y se pueden hacer que queden planos.