Floor and ceiling functions

Estas fórmulas se pueden utilizar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ si y solo si }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ si y solo si }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ si y solo si }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ si y solo si }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}$

En el lenguaje de la teoría del orden , la función piso es una aplicación residuada , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los enteros en los reales.

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ si y solo si }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}$

Estas fórmulas muestran cómo la suma de un número entero n a los argumentos afecta a las funciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; sin embargo, para cada x e y , se cumplen las siguientes desigualdades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

Tanto la función de piso como la de techo son funciones monótonamente no decrecientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

De las definiciones se desprende claramente que

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$ con igualdad si y solo si x es un número entero, es decir

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ si }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ si }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

De hecho, para los enteros n , tanto la función piso como la función techo son la identidad :

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

Negar el argumento intercambia piso y techo y cambia el signo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

y:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{si }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{si }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{si }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{si }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Las funciones de piso, techo y parte fraccionaria son idempotentes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

debido a la propiedad de identidad para los números enteros.

Si m y n son enteros y n ≠ 0,

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

Si n es positivo ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

Si m es positivo ^{[ 13 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Para m = 2 esto implica

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

De manera más general, ^{[ 14 ]} para m positivo (Véase la identidad de Hermite )

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

Lo siguiente se puede utilizar para convertir pisos en techos y viceversa (donde m es positivo) ^{[ 15 ].}

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

Para todos los enteros estrictamente positivos m y n : ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

which, for positive and coprimem and n, reduces to

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

and similarly for the ceiling and fractional part functions (still for positive and coprimem and n),

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

Since the right-hand side of the general case is symmetrical in m and n, this implies that

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

More generally, if m and n are positive,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

This is sometimes called a reciprocity law.^[17]

Division by positive integers gives rise to an interesting and sometimes useful property. Assuming ${\displaystyle m,n>0}$,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

Similarly,

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

Indeed,

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

keeping in mind that ${\textstyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\right\rfloor .}$ The second equivalence involving the ceiling function can be proved similarly.

For d being a positive integer with x greater than d. Then ^[18]

${\displaystyle \left\{{\frac {x}{d}}\right\}={\frac {\{x\}+r}{d}}{\text{ y }}\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor ={\frac {\lfloor {x}\rfloor -r}{d}},}$

where ${\textstyle 0\leq r\leq d-1}$ is the remainder of dividing ${\textstyle \lfloor {x}\rfloor }$ by d

For a positive integer n, and arbitrary real numbers m and x:^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\lfloor {\frac {\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor }{n}}\right\rfloor &=\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor \\[4px]\left\lceil {\frac {\left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil }{n}}\right\rceil &=\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .\end{aligned}}}$

None of the functions discussed in this article are continuous, but all are piecewise linear: the functions ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$, and ${\displaystyle \{x\}}$ have discontinuities at the integers.

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ is upper semi-continuous and ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ and ${\displaystyle \{x\}}$ are lower semi-continuous.

Since none of the functions discussed in this article are continuous, none of them have a power series expansion. Since floor and ceiling are not periodic, they do not have uniformly convergent Fourier series expansions. The fractional part function has Fourier series expansion^[20]$${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ for x not an integer.

At points of discontinuity, a Fourier series converges to a value that is the average of its limits on the left and the right, unlike the floor, ceiling and fractional part functions: for y fixed and x a multiple of y the Fourier series given converges to y/2, rather than to x mod y = 0. At points of continuity the series converges to the true value.

Using the formula ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$ gives $${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$ for x not an integer.

Para un entero x y un entero positivo y , la operación módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide entre y . Esta definición se puede extender a números reales x e y , y ≠ 0, mediante la fórmula

${\displaystyle x{\bmod {y}}=xy\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Entonces, de la definición de la función piso se deduce que esta operación extendida satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,

Si y es positivo,

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

y si y es negativo,

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

La tercera demostración de Gauss de la reciprocidad cuadrática , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Sean p y q números primos impares positivos distintos, y sea${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

En primer lugar, se utiliza el lema de Gauss para demostrar que los símbolos de Legendre están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

El segundo paso es utilizar un argumento geométrico para demostrar que

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

La combinación de estas fórmulas da como resultado una reciprocidad cuadrática en la forma

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Hay fórmulas que usan floor para expresar el carácter cuadrático de números pequeños módulo primos impares p : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

Para un número real arbitrario${\displaystyle x}$, redondeo${\displaystyle x}$redondeado al entero más cercano con desempate hacia el infinito positivo viene dado por

${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil$ ;}

El redondeo hacia el infinito negativo se da como

${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor .}$

Si el desempate se aleja de 0, entonces la función de redondeo es

${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$

(dónde${\displaystyle \operatorname {sgn} }$es la función signo ), y el redondeo hacia números pares se puede expresar con la más engorrosa

${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rceil -\left\lfloor {\tfrac {1}{4}}(2x-1)\right\rfloor -1,}$

que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$menos un indicador de integralidad para${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$.

Redondeo de un número real${\displaystyle x}$al valor entero más cercano forma un tipo muy básico de cuantificador : uno uniforme . Un cuantificador uniforme típico ( de nivel intermedio ) con un tamaño de paso de cuantificación igual a algún valor${\displaystyle \Delta }$puede expresarse como

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$,

El número de dígitos en base b de un entero positivo k es

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

El número de cadenas posibles de longitud arbitraria que no utilizan ningún carácter dos veces viene dado por ^{[ 24 ].}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

dónde:

• n > 0 es el número de letras en el alfabeto (por ejemplo, 26 en inglés ).
• el factorial descendente${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$denota el número de cadenas de longitud k que no utilizan ningún carácter dos veces.
• n ! denota el factorial de n
• e = 2,718... es el número de Euler

Para n = 26, esto resulta en 1096259850353149530222034277.

Sea n un entero positivo y p un número primo positivo . El exponente de la mayor potencia de p que divide a n ! viene dado por una versión de la fórmula de Legendre ^{[ 25 ].}

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

dónde${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$es la forma de escribir n en base p . Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p ^k > n .

La sucesión de Beatty muestra cómo cada número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos sucesiones mediante la función piso. ^{[ 26 ]}

Hay fórmulas para la constante de Euler γ = 0,57721 56649 ... que involucran el piso y el techo, por ejemplo ^{[ 27 ].}

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

y

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

La función de parte fraccionaria también aparece en las representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (usando integración por partes ) ^{[ 28 ]} que si${\displaystyle \varphi (x)}$es cualquier función con una derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ],

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

Alquiler${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$para la parte real de s mayor que 1 y siendo a y b enteros, y dejando que b tienda a infinito se obtiene

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que − 1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } puede usarse para extender la función zeta a todo el plano complejo y para demostrar su ecuación funcional. ^{[ 29 ]}

Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. ^{[ 30 ]}

La función piso aparece en varias fórmulas que caracterizan los números primos. Por ejemplo, dado que $${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor ={\begin{cases}1&{\text{if }}m{\text{ divides }}n\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ De ello se deduce que un entero positivo n es primo si y solo si ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p _n el n -ésimo número primo, y para cualquier entero r  >  1, definamos el número real α mediante la suma

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

Entonces ^{[ 32 ]}

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

Un resultado similar es que existe un número θ = 1,3064... ( constante de Mills ) con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^{[ 33 ]}

También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

son todos primos. ^{[ 33 ]}

Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales a x . Es una deducción directa del teorema de Wilson que ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

Además, si n ≥ 2, ^{[ 35 ]}

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\displaystyle \sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene utilidad práctica. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Ramanujan presentó estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . ^{[ 38 ]}

Si n es un entero positivo, demuestre que

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

Se han demostrado algunas generalizaciones de las identidades de la función piso anteriores. ^{[ 39 ]}

El estudio del problema de Waring ha dado lugar a un problema sin resolver:

¿Existen enteros positivos k ≥ 6 tales que ^{[ 40 ]}

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\$ ?}

Mahler ha demostrado que solo puede haber un número finito de tales k ; no se conoce ninguno. ^{[ 41 ]}