Teorema de fluctuación-disipación

El teorema de fluctuación-disipación ( FDT ) o relación de fluctuación-disipación ( FDR ) es una poderosa herramienta en física estadística para predecir el comportamiento de sistemas que obedecen a un equilibrio detallado . Dado que un sistema obedece a un equilibrio detallado, el teorema es una prueba de que las fluctuaciones termodinámicas en una variable física predicen la respuesta cuantificada por la admitancia o impedancia (en su sentido general, no solo en términos electromagnéticos) de la misma variable física (como voltaje, diferencia de temperatura, etc.), y viceversa. El teorema de fluctuación-disipación se aplica tanto a sistemas mecánicos clásicos como cuánticos .

El teorema de fluctuación-disipación fue demostrado por Herbert Callen y Theodore Welton en 1951 ^[1] y ampliado por Ryogo Kubo . Existen antecedentes del teorema general, incluida la explicación de Einstein del movimiento browniano ^[2] durante su annus mirabilis y la explicación de Harry Nyquist en 1928 del ruido de Johnson en resistencias eléctricas. ^[3]

El teorema de fluctuación-disipación dice que cuando hay un proceso que disipa energía, convirtiéndola en calor (por ejemplo, la fricción), hay un proceso inverso relacionado con las fluctuaciones térmicas . Esto se entiende mejor si consideramos algunos ejemplos:

• Arrastre y movimiento browniano

  Si un objeto se mueve a través de un fluido, experimenta resistencia al avance (resistencia del aire o resistencia del fluido). La resistencia al avance disipa la energía cinética y la convierte en calor. La fluctuación correspondiente es el movimiento browniano . Un objeto en un fluido no permanece quieto, sino que se mueve con una velocidad pequeña y que cambia rápidamente, a medida que las moléculas del fluido chocan contra él. El movimiento browniano convierte la energía térmica en energía cinética, lo inverso de la resistencia al avance.

• Resistencia y ruido de Johnson

  Si una corriente eléctrica circula por un bucle de alambre con una resistencia en su interior, la corriente se reducirá rápidamente a cero debido a la resistencia. La resistencia disipa la energía eléctrica y la convierte en calor ( calentamiento Joule ). La fluctuación correspondiente es el ruido de Johnson . Un bucle de alambre con una resistencia en su interior no tiene en realidad corriente cero, sino una corriente pequeña y que fluctúa rápidamente causada por las fluctuaciones térmicas de los electrones y átomos en la resistencia. El ruido de Johnson convierte la energía térmica en energía eléctrica, lo inverso de la resistencia.

• Absorción de luz y radiación térmica.

  Cuando la luz incide sobre un objeto, una fracción de la luz se absorbe, lo que hace que el objeto se caliente. De esta manera, la absorción de la luz convierte la energía luminosa en calor. La fluctuación correspondiente es la radiación térmica (por ejemplo, el resplandor de un objeto "al rojo vivo"). La radiación térmica convierte la energía térmica en energía luminosa, lo que ocurre al revés de la absorción de la luz. De hecho, la ley de Kirchhoff de la radiación térmica confirma que cuanto más efectivamente absorbe un objeto la luz, más radiación térmica emite.

El teorema de fluctuación-disipación es un resultado general de la termodinámica estadística que cuantifica la relación entre las fluctuaciones en un sistema que obedece a un equilibrio detallado y la respuesta del sistema a las perturbaciones aplicadas.

Por ejemplo, Albert Einstein señaló en su artículo de 1905 sobre el movimiento browniano que las mismas fuerzas aleatorias que causan el movimiento errático de una partícula en movimiento browniano también causarían resistencia si la partícula fuera atraída a través del fluido. En otras palabras, la fluctuación de la partícula en reposo tiene el mismo origen que la fuerza de fricción disipativa contra la que se debe trabajar si se intenta perturbar el sistema en una dirección particular.

A partir de esta observación, Einstein pudo utilizar la mecánica estadística para derivar la relación Einstein-Smoluchowski.

${\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}$

que conecta la constante de difusión D y la movilidad de la partícula μ , la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada. k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .

En 1928, John B. Johnson descubrió y Harry Nyquist explicó el ruido Johnson-Nyquist . Sin corriente aplicada, el voltaje cuadrático medio depende de la resistencia , y del ancho de banda en el que se mide el voltaje: ^[4]${\estilo de visualización R}$$estilo de visualización k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \Delta \nu}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \aproximadamente 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .}$

Esta observación se puede entender a través de la lente del teorema de fluctuación-disipación. Tomemos, por ejemplo, un circuito simple que consta de una resistencia con una resistencia y un condensador con una pequeña capacidad . La ley de voltaje de Kirchhoff produce ${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización C}$

${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}$

y entonces la función de respuesta para este circuito es

${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}$

En el límite de baja frecuencia , su parte imaginaria es simplemente ${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Im}}\izquierda[\chi (\omega )\derecha]\aproximadamente \omega RC^{2}}$

que luego puede vincularse a la función de densidad espectral de potencia del voltaje a través del teorema de fluctuación-disipación. ${\displaystyle S_{V}(\omega)}$

${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}$

El ruido de voltaje de Johnson-Nyquist se observó dentro de un pequeño ancho de banda de frecuencia centrado alrededor de . Por lo tanto ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$${\displaystyle \omega =\pm \omega _ {0}}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \aproximadamente S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \aproximadamente 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }$

El teorema de fluctuación-disipación se puede formular de muchas maneras; una forma particularmente útil es la siguiente: ^{[ cita requerida ]} .

Sea un observable de un sistema dinámico con hamiltoniano sujeto a fluctuaciones térmicas. El observable fluctuará alrededor de su valor medio con fluctuaciones caracterizadas por un espectro de potencia . Supongamos que podemos activar un campo variable en el tiempo, constante en el espacio, que altera el hamiltoniano a . La respuesta del observable a un campo dependiente del tiempo se caracteriza en primer orden por la susceptibilidad o función de respuesta lineal del sistema. ${\estilo de visualización x(t)}$ $Estilo de visualización H_{0}(x)}$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle \langle x\rangle _{0}}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \chi(t)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\ ,d\tau ,}$

donde la perturbación se activa adiabáticamente (muy lentamente) en . ${\displaystyle \tau =-\infty }$

El teorema de fluctuación-disipación relaciona el espectro de potencia bilateral (es decir, las frecuencias positivas y negativas) de con la parte imaginaria de la transformada de Fourier de la susceptibilidad : ${\estilo de visualización x}$ ${\displaystyle {\sombrero {\chi }}(\omega )}$${\displaystyle \chi(t)}$$${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).}$$

que se cumple bajo la convención de la transformada de Fourier . El lado izquierdo describe fluctuaciones en , el lado derecho está estrechamente relacionado con la energía disipada por el sistema cuando es bombeado por un campo oscilatorio . El espectro de fluctuaciones revela la respuesta lineal, porque las fluctuaciones pasadas causan fluctuaciones futuras a través de una respuesta lineal sobre sí misma. ${\displaystyle f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}$

Esta es la forma clásica del teorema; las fluctuaciones cuánticas se tienen en cuenta reemplazando por (cuyo límite para es ). Se puede encontrar una prueba mediante la reducción LSZ , una identidad de la teoría cuántica de campos. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle 2k_{\mathrm {B}}T/\omega}$${\displaystyle \hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}$${\displaystyle \hbar \a 0}$${\displaystyle 2k_{\mathrm {B}}T/\omega}$

El teorema de fluctuación-disipación se puede generalizar de manera sencilla al caso de campos dependientes del espacio, al caso de varias variables o al contexto de la mecánica cuántica. ^[1]

Derivamos el teorema de fluctuación-disipación en la forma dada anteriormente, utilizando la misma notación. Consideremos el siguiente caso de prueba: el campo f ha estado encendido durante un tiempo infinito y se apaga en t = 0

${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$

donde es la función de Heaviside . Podemos expresar el valor esperado de mediante la distribución de probabilidad W ( x ,0) y la probabilidad de transición${\displaystyle \theta(t)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$

La función de distribución de probabilidad W ( x ,0) es una distribución de equilibrio y, por lo tanto, está dada por la distribución de Boltzmann para el hamiltoniano.${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}$

donde . Para un campo débil , podemos expandir el lado derecho ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$

${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}$

Aquí está la distribución de equilibrio en ausencia de un campo. Introduciendo esta aproximación en la fórmula se obtiene ${\displaystyle W_{0}(x)}$${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$

donde A ( t ) es la función de autocorrelación de x en ausencia de un campo:

${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$

Nótese que en ausencia de un campo el sistema es invariante ante cambios de tiempo. Podemos reescribirlo utilizando la susceptibilidad del sistema y, por lo tanto, encontrar con la ecuación anterior (*)${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$

${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$

Como consecuencia,

Para hacer una afirmación sobre la dependencia de la frecuencia, es necesario tomar la transformada de Fourier de la ecuación (**) . Mediante la integración por partes, es posible demostrar que

${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$

Como es real y simétrico, se deduce que ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$

Finalmente, para los procesos estacionarios , el teorema de Wiener-Khinchin establece que la densidad espectral bilateral es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$

Por lo tanto, se deduce que

${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$

El teorema de fluctuación-disipación relaciona la función de correlación del observable de interés (una medida de fluctuación) con la parte imaginaria de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia (una medida de disipación). Se puede encontrar un vínculo entre estas cantidades a través de la denominada fórmula de Kubo ^[5]${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$

${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$

que se deduce, bajo los supuestos de la teoría de respuesta lineal , de la evolución temporal del promedio del conjunto de lo observable en presencia de una fuente perturbadora. Una vez realizada la transformada de Fourier, la fórmula de Kubo permite escribir la parte imaginaria de la función de respuesta como ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$

En el conjunto canónico , el segundo término puede reexpresarse como

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$

donde en la segunda igualdad reposicionamos utilizando la propiedad cíclica de la traza. Luego, en la tercera igualdad, insertamos junto a la traza y lo interpretamos como un operador de evolución temporal con intervalo de tiempo imaginario . El desplazamiento temporal imaginario se convierte en un factor después de la transformada de Fourier ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$

y por lo tanto la expresión para puede reescribirse fácilmente como la relación fluctuación-disipación cuántica ^[6]${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

donde la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelación y es la función de distribución de Bose-Einstein . El mismo cálculo también arroja${\displaystyle S_{x}(\omega )}$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$

${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$

Por lo tanto, a diferencia de lo que se obtiene en el caso clásico, la densidad espectral de potencia no es exactamente simétrica en cuanto a frecuencia en el límite cuántico. De manera consistente, tiene una parte imaginaria que se origina a partir de las reglas de conmutación de los operadores. ^[7] El término " " adicional en la expresión de en frecuencias positivas también puede considerarse vinculado a la emisión espontánea . Un resultado que se cita a menudo es también la densidad espectral de potencia simetrizada. ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$${\displaystyle +1}$${\displaystyle S_{x}(\omega )}$

${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$

Se puede pensar que el " " está vinculado a fluctuaciones cuánticas o al movimiento del punto cero del observable . A temperaturas suficientemente altas, es decir, la contribución cuántica es despreciable y recuperamos la versión clásica. ${\displaystyle +1/2}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$

Si bien el teorema de fluctuación-disipación proporciona una relación general entre la respuesta de los sistemas que obedecen al equilibrio detallado , cuando se viola el equilibrio detallado, la comparación de las fluctuaciones con la disipación es más compleja. Por debajo de la llamada temperatura vítrea , los sistemas vítreos no están equilibrados y se aproximan lentamente a su estado de equilibrio. Este lento acercamiento al equilibrio es sinónimo de la violación del equilibrio detallado. Por lo tanto, estos sistemas requieren grandes escalas de tiempo para ser estudiados mientras se mueven lentamente hacia el equilibrio. ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$

Para estudiar la violación de la relación fluctuación-disipación en sistemas vítreos, particularmente vidrios de espín , se realizaron simulaciones numéricas de sistemas macroscópicos (es decir, grandes en comparación con sus longitudes de correlación) descritos por el modelo tridimensional de Edwards-Anderson utilizando supercomputadoras. ^[8] En sus simulaciones, el sistema se prepara inicialmente a una temperatura alta, se enfría rápidamente a una temperatura por debajo de la temperatura del vidrio y se deja equilibrar durante un tiempo muy largo bajo un campo magnético . Luego, en un momento posterior , se prueban dos observables dinámicos, a saber, la función de respuesta y la función de correlación espín-temporal donde es el espín que vive en el nodo de la red cúbica de volumen , y es la densidad de magnetización. La relación fluctuación-disipación en este sistema se puede escribir en términos de estos observables como ${\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}$${\displaystyle T_{\rm {g}}}$${\displaystyle t_{\rm {w}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle t+t_{\rm {w}}}$ $${\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}}$$ $${\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}$$${\displaystyle S_{x}=\pm 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$$${\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}$$

Sus resultados confirman la expectativa de que a medida que se deja que el sistema se equilibre durante tiempos más largos, la relación fluctuación-disipación está más cerca de satisfacerse.

A mediados de la década de 1990, en el estudio de la dinámica de los modelos de vidrio de espín, se descubrió una generalización del teorema de fluctuación-disipación que se cumple para estados asintóticos no estacionarios, donde la temperatura que aparece en la relación de equilibrio se sustituye por una temperatura efectiva con una dependencia no trivial de las escalas de tiempo. ^[9] Se propone que esta relación se cumple en sistemas vítreos más allá de los modelos para los que se encontró inicialmente.

• Termodinámica del no equilibrio
• Relaciones entre Green y Kubo
• Relaciones recíprocas de Onsager
• Teorema de equipartición
• Distribución de Boltzmann
• Sistema disipativo

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• Umberto Marini Bettolo Marconi; Andrea Puglisi; Lamberto Rondoni; Angelo Vulpiani (2008). "Fluctuación-Disipación: Teoría de la Respuesta en Física Estadística". Physics Reports . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Bibcode :2008PhR...461..111M. doi :10.1016/j.physrep.2008.02.002. S2CID  118575899.

• Grabación de audio de una conferencia del profesor EW Carlson de la Universidad de Purdue
• El famoso texto de Kubo: Teorema de fluctuación-disipación
• Weber J (1956). "Teorema de disipación de fluctuación". Physical Review . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Código Bibliográfico :1956PhRv..101.1620W. doi :10.1103/PhysRev.101.1620.
• Felderhof BU (1978). "Sobre la derivación del teorema de fluctuación-disipación". Journal of Physics A . 11 (5): 921–927. Bibcode :1978JPhA...11..921F. doi :10.1088/0305-4470/11/5/021.
• Cristani A, Ritort F (2003). "Violación del teorema de fluctuación-disipación en sistemas vítreos: nociones básicas y evidencia numérica". Journal of Physics A . 36 (21): R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Bibcode :2003JPhA...36R.181C. doi :10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID  14144683.
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