dinámica de fluidos

Para resolver problemas de dinámica de fluidos se utilizan tres leyes de conservación, que pueden expresarse en forma integral o diferencial . Estas leyes se aplican a una región del flujo denominada volumen de control . Un volumen de control es un volumen discreto en el espacio por el que se supone que fluye el fluido. Las formulaciones integrales de las leyes de conservación se utilizan para describir el cambio de masa, momento o energía dentro del volumen de control. Las formulaciones diferenciales aplican el teorema de Stokes para obtener una expresión que puede interpretarse como la forma integral de la ley aplicada a un volumen infinitesimalmente pequeño (en un punto) dentro del flujo.

Continuidad de la masa (conservación de la masa)

La tasa de cambio de la masa del fluido dentro de un volumen de control debe ser igual a la tasa neta de flujo de fluido hacia el volumen. Físicamente, esta afirmación requiere que la masa no se cree ni se destruya en el volumen de control, ^{[ 2 ]} y puede traducirse a la forma integral de la ecuación de continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho \,dV=-\,{}}$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle {}\,\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} }$

Arriba, ρ es la densidad del fluido, u es el vector de velocidad del flujo y t es el tiempo. El lado izquierdo de la expresión anterior es la tasa de aumento de masa dentro del volumen y contiene una integral triple sobre el volumen de control, mientras que el lado derecho contiene una integración sobre la superficie del volumen de control de la masa convectiva hacia el sistema. El flujo de masa hacia el sistema se considera positivo, y dado que el vector normal a la superficie es opuesto al sentido del flujo hacia el sistema, el término se niega. La forma diferencial de la ecuación de continuidad es, por el teorema de la divergencia :

$${\displaystyle \ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

Conservación del momento

La segunda ley del movimiento de Newton, aplicada a un volumen de control, establece que cualquier cambio en el momento lineal del fluido dentro de ese volumen de control se deberá al flujo neto de momento lineal hacia el volumen y a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre el fluido dentro del volumen.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {u} \,dV=-\,{}}$${\displaystyle _{\scriptstyle S}}$${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )\mathbf {u} -{}}$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle {}\,p\,d\mathbf {S} }$${\displaystyle \displaystyle {}+\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {f} _{\text{body}}\,dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}}$

En la formulación integral anterior de esta ecuación, el término de la izquierda es el cambio neto de momento dentro del volumen. El primer término de la derecha es la tasa neta a la que el momento se transporta al volumen. El segundo término de la derecha es la fuerza debida a la presión sobre las superficies del volumen. Los dos primeros términos de la derecha se niegan ya que el momento que entra en el sistema se considera positivo, y la normal es opuesta a la dirección de la velocidad u y las fuerzas de presión. El tercer término de la derecha es la aceleración neta de la masa dentro del volumen debido a cualquier fuerza de cuerpo (aquí representada por f _cuerpo ). Las fuerzas superficiales , como las fuerzas viscosas, están representadas por F _superficie , la fuerza neta debida a las fuerzas cortantes que actúan sobre la superficie del volumen. El balance de momento también puede escribirse para un volumen de control móvil . ^{[ 3 ]}

A continuación se presenta la forma diferencial de la ecuación de conservación del momento. En este caso, el volumen se reduce a un punto infinitesimalmente pequeño, y tanto las fuerzas superficiales como las volumétricas se consideran en una fuerza total, F. Por ejemplo, F puede expandirse en una expresión que describe las fuerzas de fricción y gravitatorias que actúan en un punto de un flujo. $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\mathbf {F} -{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

En aerodinámica, se supone que el aire es un fluido newtoniano , lo que implica una relación lineal entre el esfuerzo cortante (debido a las fuerzas de fricción interna) y la tasa de deformación del fluido. La ecuación anterior es una ecuación vectorial en un flujo tridimensional, pero puede expresarse como tres ecuaciones escalares en tres direcciones de coordenadas. Las ecuaciones de conservación del momento para el caso de flujo compresible y viscoso se denominan ecuaciones de Navier-Stokes. ^{[ 2 ]}

Conservación de la energía

Aunque la energía puede convertirse de una forma a otra, la energía total en un sistema cerrado permanece constante. $${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)+\Phi }$$ Arriba, h es la entalpía específica , k es la conductividad térmica del fluido, T es la temperatura y Φ es la función de disipación viscosa. La función de disipación viscosa rige la velocidad a la que la energía mecánica del flujo se convierte en calor. La segunda ley de la termodinámica requiere que el término de disipación sea siempre positivo: la viscosidad no puede crear energía dentro del volumen de control. ^{[ 4 ]} La expresión del lado izquierdo es una derivada material .

Todos los fluidos son compresibles hasta cierto punto; es decir, los cambios de presión o temperatura provocan cambios en la densidad. Sin embargo, en muchas situaciones, los cambios de presión y temperatura son tan pequeños que los cambios en la densidad son despreciables. En este caso, el flujo puede modelarse como un flujo incompresible . De lo contrario, deben utilizarse las ecuaciones más generales para flujos compresibles .

Matemáticamente, la incompresibilidad se expresa diciendo que la densidad ρ de una parcela de fluido no cambia a medida que se mueve en el campo de flujo, es decir, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0\,,}$$ donde ⁠ D / D t ⁠ es la derivada material , que es la suma de las derivadas locales y convectivas . Esta restricción adicional simplifica las ecuaciones que rigen el sistema, especialmente en el caso de que el fluido tenga una densidad uniforme.

Para el flujo de gases , para determinar si se debe utilizar la dinámica de fluidos compresible o incompresible, se evalúa el número de Mach del flujo. Como guía general, los efectos de compresibilidad pueden ignorarse para números de Mach inferiores a aproximadamente 0,3. Para líquidos , la validez de la suposición de incompresibilidad depende de las propiedades del fluido (específicamente la presión y la temperatura críticas) y de las condiciones de flujo (cuán cerca de la presión crítica se encuentra la presión real del flujo). Los problemas acústicos siempre requieren considerar la compresibilidad, ya que las ondas sonoras son ondas de compresión que implican cambios en la presión y la densidad del medio a través del cual se propagan.

Todos los fluidos, excepto los superfluidos , son viscosos , lo que significa que ejercen cierta resistencia a la deformación: porciones vecinas de fluido que se mueven a diferentes velocidades ejercen fuerzas viscosas entre sí. El gradiente de velocidad se denomina tasa de deformación ; tiene dimensiones T ⁻¹ . Isaac Newton demostró que, para muchos fluidos comunes como el agua y el aire , la tensión debida a estas fuerzas viscosas está linealmente relacionada con la tasa de deformación. Dichos fluidos se denominan fluidos newtonianos . El coeficiente de proporcionalidad se denomina viscosidad del fluido; para los fluidos newtonianos, es una propiedad del fluido que es independiente de la tasa de deformación .

Los fluidos no newtonianos presentan un comportamiento tensión-deformación no lineal más complejo. La reología , una subdisciplina, describe el comportamiento tensión-deformación de dichos fluidos, que incluyen emulsiones y lodos , algunos materiales viscoelásticos como la sangre y ciertos polímeros , y líquidos viscosos como el látex , la miel y los lubricantes . ^{[ 5 ]}

La dinámica de las partículas de fluido se describe con la ayuda de la segunda ley de Newton . Una partícula de fluido acelerada está sujeta a efectos inerciales.

El número de Reynolds es una magnitud adimensional que caracteriza la magnitud de los efectos inerciales en comparación con la magnitud de los efectos viscosos. Un número de Reynolds bajo ( Re ≪ 1 ) indica que las fuerzas viscosas son muy fuertes en comparación con las fuerzas inerciales. En tales casos, a veces se desprecian las fuerzas inerciales; este régimen de flujo se denomina flujo de Stokes o flujo lento .

Por el contrario, los números de Reynolds elevados ( Re ≫ 1 ) indican que los efectos inerciales tienen mayor influencia en el campo de velocidad que los efectos viscosos (fricción). En flujos con números de Reynolds elevados, el flujo se suele modelar como un flujo no viscoso , una aproximación en la que se desprecia por completo la viscosidad. Eliminar la viscosidad permite simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes a las ecuaciones de Euler . La integración de las ecuaciones de Euler a lo largo de una línea de corriente en un flujo no viscoso produce la ecuación de Bernoulli . Cuando, además de ser no viscoso, el flujo es irrotacional en todas partes, la ecuación de Bernoulli puede describirlo completamente en todas partes. Dichos flujos se denominan flujos potenciales , porque el campo de velocidad puede expresarse como el gradiente de una expresión de energía potencial.

Esta idea puede funcionar bastante bien cuando el número de Reynolds es alto. Sin embargo, problemas como los que involucran límites sólidos pueden requerir que se incluya la viscosidad. La viscosidad no puede despreciarse cerca de los límites sólidos porque la condición de no deslizamiento genera una región delgada de alta tasa de deformación, la capa límite , en la que predominan los efectos de la viscosidad y que, por lo tanto, genera vorticidad . Por consiguiente, para calcular las fuerzas netas sobre cuerpos (como alas), deben utilizarse ecuaciones de flujo viscoso: la teoría del flujo no viscoso no logra predecir las fuerzas de arrastre , una limitación conocida como la paradoja de d'Alembert .

Un modelo comúnmente utilizado ^{[ 6 ]} , especialmente en dinámica de fluidos computacional , consiste en utilizar dos modelos de flujo: las ecuaciones de Euler lejos del cuerpo y las ecuaciones de la capa límite en una región cercana al cuerpo. Las dos soluciones pueden luego ajustarse entre sí, utilizando el método de expansiones asintóticas ajustadas .

Un flujo que no depende del tiempo se denomina flujo estacionario o laminar . El flujo estacionario se refiere a la condición en la que las propiedades del fluido en un punto del sistema no cambian con el tiempo. El flujo dependiente del tiempo se conoce como no estacionario (también llamado transitorio ^{[ 8 ]} ). Que un flujo particular sea estacionario o no estacionario puede depender del sistema de referencia elegido. Por ejemplo, el flujo laminar sobre una esfera es estacionario en un sistema de referencia que permanece fijo con respecto a la esfera. En un sistema de referencia que permanece fijo con respecto a un flujo de fondo, el flujo es no estacionario.

Los flujos turbulentos (o no estacionarios o no laminares) son inestables por definición. Sin embargo, un flujo turbulento puede ser estadísticamente estacionario . El campo de velocidad aleatorio U ( x , t ) es estadísticamente estacionario si todas las estadísticas son invariantes ante un cambio en el tiempo. ^{[ 9 ] : 75} Esto significa, aproximadamente, que todas las propiedades estadísticas son constantes en el tiempo. A menudo, el campo medio es el objeto de interés, y este también es constante en un flujo estadísticamente estacionario.

Los flujos estacionarios suelen ser más manejables que los flujos no estacionarios similares. Las ecuaciones que rigen un problema estacionario tienen una dimensión menos (tiempo) que las ecuaciones que rigen el mismo problema sin aprovechar la estabilidad del campo de flujo.

La turbulencia es un flujo caracterizado por recirculación, remolinos y aparente aleatoriedad . El flujo en el que no se presenta turbulencia se denomina laminar . La sola presencia de remolinos o recirculación no indica necesariamente un flujo turbulento; estos fenómenos también pueden estar presentes en el flujo laminar. Matemáticamente, el flujo turbulento se suele representar mediante una descomposición de Reynolds , en la que el flujo se divide en la suma de un componente promedio y un componente de perturbación.

Se cree que los flujos turbulentos pueden describirse adecuadamente mediante las ecuaciones de Navier-Stokes . La simulación numérica directa (DNS), basada en dichas ecuaciones, permite simular flujos turbulentos a números de Reynolds moderados. Las limitaciones dependen de la potencia del ordenador utilizado y de la eficiencia del algoritmo de solución. Se ha comprobado que los resultados de la DNS concuerdan bien con los datos experimentales para algunos flujos. ^{[ 10 ]}

La mayoría de los flujos de interés tienen números de Reynolds demasiado altos para que DNS sea una opción viable, ^{[ 9 ] : 344} dado el estado de la potencia computacional para las próximas décadas. Cualquier vehículo de vuelo lo suficientemente grande como para transportar a un humano ( L > 3  m), moviéndose más rápido de 20 m/s (72 km/h; 45 mph) está muy más allá del límite de la simulación DNS ( Re = 4 millones). Las alas de los aviones de transporte (como en un Airbus A300 o Boeing 747 ) tienen números de Reynolds de 40 millones (basado en la dimensión de la cuerda del ala). Resolver estos problemas de flujo de la vida real requiere modelos de turbulencia en el futuro previsible. Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds (RANS) combinadas con el modelado de turbulencia proporcionan un modelo de los efectos del flujo turbulento. Dicho modelado proporciona principalmente la transferencia de momento adicional por las tensiones de Reynolds , aunque la turbulencia también mejora la transferencia de calor y masa . Otra metodología prometedora es la simulación de grandes remolinos (LES), especialmente en la forma de simulación de remolinos separados (DES), una combinación de LES y modelado de turbulencia RANS.    

Existen muchas otras aproximaciones posibles para los problemas de dinámica de fluidos. Algunas de las más utilizadas se enumeran a continuación.

• La aproximación de Boussinesq no tiene en cuenta las variaciones de densidad, salvo para calcular las fuerzas de flotación . Se utiliza con frecuencia en problemas de convección natural donde los cambios de densidad son pequeños.
• La teoría de la lubricación y el flujo de Hele-Shaw aprovechan la gran relación de aspecto del dominio para demostrar que ciertos términos de las ecuaciones son pequeños y, por lo tanto, pueden despreciarse.
• La teoría de cuerpos delgados es una metodología utilizada en problemas de flujo de Stokes para estimar la fuerza que actúa sobre un objeto largo y delgado en un fluido viscoso, o el campo de flujo que lo rodea.
• Las ecuaciones de aguas poco profundas se pueden utilizar para describir una capa de fluido relativamente no viscoso con una superficie libre , en la que los gradientes superficiales son pequeños.
• La ley de Darcy se utiliza para el flujo en medios porosos y funciona con variables promediadas sobre varios anchos de poro.
• En los sistemas rotatorios, las ecuaciones cuasi-geostróficas suponen un equilibrio casi perfecto entre los gradientes de presión y la fuerza de Coriolis . Resultan útiles en el estudio de la dinámica atmosférica .

Si bien muchos flujos (como el flujo de agua a través de una tubería) ocurren a números de Mach bajos ( flujos subsónicos ), muchos flujos de interés práctico en aerodinámica o en turbomáquinas ocurren a fracciones elevadas de M = 1 ( flujos transónicos ) o incluso superiores ( flujos supersónicos o hipersónicos ). En estos regímenes surgen nuevos fenómenos, como inestabilidades en el flujo transónico, ondas de choque en el flujo supersónico o comportamiento químico fuera del equilibrio debido a la ionización en los flujos hipersónicos. En la práctica, cada uno de estos regímenes de flujo se trata por separado.

Los flujos reactivos son flujos químicamente reactivos, que encuentran aplicaciones en muchas áreas, incluyendo la combustión ( motores de combustión interna ), dispositivos de propulsión ( cohetes , motores a reacción , etc.), detonaciones , riesgos de incendio y seguridad, y astrofísica. Además de la conservación de la masa, el momento y la energía, es necesario derivar la conservación de especies individuales (por ejemplo, la fracción másica de metano en la combustión del metano), donde la tasa de producción/agotamiento de cualquier especie se obtiene resolviendo simultáneamente las ecuaciones de la cinética química .

La magnetohidrodinámica es el estudio multidisciplinario del flujo de fluidos conductores de electricidad en campos electromagnéticos . Algunos ejemplos de estos fluidos son el plasma , los metales líquidos y el agua salada . Las ecuaciones de flujo de fluidos se resuelven simultáneamente con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo.

La dinámica de fluidos relativista estudia el movimiento macroscópico y microscópico de fluidos a velocidades elevadas comparables a la velocidad de la luz . ^{[ 11 ]} Esta rama de la dinámica de fluidos da cuenta de los efectos relativistas tanto de la teoría especial de la relatividad como de la teoría general de la relatividad . Las ecuaciones que rigen el fenómeno se derivan en geometría riemanniana para el espaciotiempo de Minkowski .

Esta rama de la dinámica de fluidos aumenta las ecuaciones hidrodinámicas estándar con flujos estocásticos que modelan las fluctuaciones térmicas. ^{[ 12 ]} Como lo formularon Landau y Lifshitz , ^{[ 13 ]} se agrega una contribución de ruido blanco obtenida del teorema de fluctuación-disipación de la mecánica estadística al tensor de esfuerzos viscosos y al flujo de calor .

Los conceptos de presión total y presión dinámica surgen de la ecuación de Bernoulli, que solo es válida cuando se aplica a flujos sin fricción. (Estas dos presiones no son presiones en el sentido habitual; no se pueden medir con un tubo aneroide, un tubo Bourdon o una columna de mercurio). Para evitar posibles ambigüedades al referirse a la presión en dinámica de fluidos, muchos autores utilizan el término presión estática para distinguirla de la presión total y la presión dinámica. La presión estática es idéntica a la presión y se puede identificar en cada punto de un campo de flujo de fluido.

Un punto en un flujo de fluido donde el flujo se ha detenido (es decir, donde la velocidad es igual a cero cerca de un cuerpo sólido inmerso en el flujo) es de especial importancia. Su importancia es tal que recibe un nombre específico: punto de estancamiento . La presión estática en el punto de estancamiento también es de especial importancia y se denomina presión de estancamiento . La ecuación de Bernoulli no es válida en la capa límite, y la película delgada de fluido estacionario adyacente a un objeto sólido no se considera un punto de estancamiento. La presión estática en la capa límite no está relacionada con la presión de estancamiento. En ausencia de ondas de choque, la presión de estancamiento en un punto de estancamiento es igual a la presión total en todo el campo de flujo.

En un fluido compresible, conviene definir las condiciones totales (también llamadas condiciones de estancamiento) para todas las propiedades termodinámicas (como la temperatura total, la entalpía total y la velocidad total del sonido). Estas condiciones totales de flujo dependen de la velocidad del fluido y presentan valores diferentes en sistemas de referencia con distintos movimientos.

Para evitar posibles ambigüedades al referirse a las propiedades del fluido asociadas a su estado, en lugar de a su movimiento, se suele utilizar el prefijo «estático» (como temperatura estática y entalpía estática). Cuando no se utiliza ningún prefijo, la propiedad del fluido es la condición estática (por lo que «densidad» y «densidad estática» significan lo mismo). Las condiciones estáticas son independientes del sistema de referencia.

Dado que las condiciones de flujo total se definen al detener isoentrópicamente el fluido, no es necesario distinguir entre entropía total y entropía estática, ya que por definición siempre son iguales. Por lo tanto, comúnmente se hace referencia a la entropía simplemente como "entropía".