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En geometría , los focos ( / ˈ f oʊ s aɪ / o / ˈ f oʊ k aɪ / ; sing. : foco ) son puntos especiales con respecto a los cuales se construye cualquier tipo de curva . Por ejemplo, se pueden usar uno o dos focos para definir secciones cónicas , cuyos cuatro tipos son el círculo , la elipse , la parábola y la hipérbola . Además, se usan dos focos para definir el óvalo de Cassini y el óvalo cartesiano , y se usan más de dos focos para definir una n -elipse .
Secciones cónicas
Definición de cónicas en términos de dos focos
Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es constante.
Un círculo es un caso particular de elipse en el que sus dos focos coinciden. Por lo tanto, un círculo puede definirse de forma más sencilla como el lugar geométrico de puntos, cada uno a una distancia fija de un único foco. Un círculo también puede definirse como el círculo de Apolonio , en términos de dos focos diferentes, como el lugar geométrico de puntos cuyas distancias a ambos focos guardan una relación fija.
Una parábola es un caso límite de una elipse en la que uno de los focos es un punto en el infinito .
Una hipérbola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos para los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es constante.
Definición de cónicas en términos de foco y directriz
También es posible describir todas las secciones cónicas en términos de un único foco y una única directriz , que es una línea dada que no contiene el foco. Una cónica se define como el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales la distancia al foco dividida por la distancia a la directriz es una constante positiva fija, llamada excentricidad e . Si 0 < e < 1, la cónica es una elipse; si e = 1 , la cónica es una parábola; y si e > 1, la cónica es una hipérbola. Si la distancia al foco es fija y la directriz es una línea en el infinito , de modo que la excentricidad es cero, entonces la cónica es un círculo.
Definición de cónicas en términos de un foco y un círculo directriz.
También es posible describir todas las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos equidistantes de un único foco y una única directriz circular. En el caso de la elipse, tanto el foco como el centro de la directriz tienen coordenadas finitas, y el radio de la directriz es mayor que la distancia entre su centro y el foco; por lo tanto, el foco se encuentra dentro de la directriz. La elipse así generada tiene su segundo foco en el centro de la directriz y se encuentra completamente dentro de ella.
En la parábola, el centro de la directriz se desplaza al punto en el infinito (véase Geometría proyectiva ). El círculo de la directriz se convierte en una curva de curvatura cero, indistinguible de una línea recta. Los dos brazos de la parábola se vuelven cada vez más paralelos a medida que se extienden, y en el infinito se vuelven paralelos; aplicando los principios de la geometría proyectiva, los dos paralelos se intersecan en el punto en el infinito y la parábola se convierte en una curva cerrada (proyección elíptica).
Para generar una hipérbola, se elige un radio del círculo directriz menor que la distancia entre el centro de dicho círculo y el foco; por lo tanto, el foco queda fuera del círculo directriz. Los brazos de la hipérbola se aproximan a líneas asintóticas , y el brazo derecho de una rama se encuentra con el brazo izquierdo de la otra rama en el infinito. Esto se basa en el principio de que, en geometría proyectiva, una línea se interseca consigo misma en el infinito. Las dos ramas de una hipérbola son, por lo tanto, las dos mitades (torsionadas) de una curva cerrada en el infinito.
En geometría proyectiva, todas las cónicas son equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que se pueda enunciar para una se puede enunciar para las demás.
Importancia astronómica
En el problema gravitacional de dos cuerpos , las órbitas de los dos cuerpos uno alrededor del otro se describen mediante dos secciones cónicas superpuestas, donde uno de los focos de una coincide con uno de los focos de la otra en el centro de masa ( baricentro ) de los dos cuerpos.
Así, por ejemplo, Caronte , la luna más grande del planeta menor Plutón, tiene una órbita elíptica cuyo foco se sitúa en el baricentro del sistema Plutón-Caronte, un punto ubicado en el espacio entre ambos cuerpos. Plutón también se mueve en una elipse con uno de sus focos en ese mismo baricentro. La elipse de Plutón se encuentra completamente dentro de la elipse de Caronte, como se muestra en esta animación del sistema.
En comparación, la Luna se mueve en una elipse con uno de sus focos en el baricentro de la Luna y la Tierra , ubicado dentro de la propia Tierra, mientras que la Tierra (más precisamente, su centro) se mueve en una elipse con un foco en ese mismo baricentro dentro de la Tierra. El baricentro se encuentra aproximadamente a tres cuartas partes de la distancia desde el centro de la Tierra hasta su superficie.
Además, el sistema Plutón-Caronte se mueve en una elipse alrededor de su baricentro con el Sol , al igual que el sistema Tierra-Luna (y cualquier otro sistema planeta-luna o planeta sin luna en el Sistema Solar ). En ambos casos, el baricentro se encuentra dentro del cuerpo del Sol.
Dos estrellas binarias también se mueven en elipses compartiendo un foco en su baricentro; para ver una animación, consulte aquí .
Óvalos cartesianos y de Cassini
Un óvalo cartesiano es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma ponderada de las distancias a dos focos dados es constante. Si los pesos son iguales, se obtiene el caso especial de una elipse.
Un óvalo de Cassini es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el producto de las distancias a dos focos dados es constante.
Generalizaciones
Una n -elipse es el conjunto de puntos que tienen la misma suma de distancias a n focos (el caso n = 2 es la elipse convencional).
El concepto de foco se puede generalizar a curvas algebraicas arbitrarias . Sea C una curva de clase m y sean I y J los puntos circulares en el infinito . Dibujemos las m tangentes a C que pasan por I y J. Hay dos conjuntos de m líneas que tendrán m² puntos de intersección, con excepciones en algunos casos debido a singularidades, etc. Estos puntos de intersección se definen como los focos de C. En otras palabras, un punto P es un foco si tanto PI como PJ son tangentes a C. Cuando C es una curva real, solo las intersecciones de pares conjugados son reales, por lo que hay m en un foco real y m² − m focos imaginarios. Cuando C es una cónica, los focos reales definidos de esta manera son precisamente los focos que se pueden usar en la construcción geométrica de C.
Curvas confocales
Sean P 1 , P 2 , …, P m los focos de una curva C de clase m . Sea P el producto de las ecuaciones tangenciales de estos puntos y Q el producto de las ecuaciones tangenciales de los puntos circulares en el infinito. Entonces, todas las rectas que son tangentes comunes a P = 0 y Q = 0 son tangentes a C. Por lo tanto, según el teorema AF+BG , la ecuación tangencial de C tiene la forma HP + KQ = 0. Dado que C tiene clase m , H debe ser una constante y K debe tener grado menor o igual a m − 2. El caso H = 0 puede eliminarse por ser degenerado, por lo que la ecuación tangencial de C puede escribirse como P + fQ = 0, donde f es un polinomio arbitrario de grado 2 m . [ 1 ]
Por ejemplo, sea m = 2 , P 1 = (1, 0) y P 2 = (−1, 0) . Las ecuaciones tangenciales son:
entonces P = X 2 − 1 = 0 . Las ecuaciones tangenciales para los puntos circulares en el infinito son
Entonces Q = X² + Y² . Por lo tanto, la ecuación tangencial para una cónica con los focos dados es
o
donde c es una constante arbitraria. En coordenadas de punto esto se convierte en
Referencias
- ↑ A continuación, Hilton, pág. 69, hace un llamamiento a AF+BG para simplificar.
- Hilton, Harold (1920). Curvas algebraicas planas . Oxford. pág. 69 .
- Weisstein, Eric W. "Enfoque" . MathWorld .
- Secciones cónicas
- centros geométricos