functor olvidadizo

En matemáticas , más concretamente en el ámbito de la teoría de categorías , un functor de olvido (también conocido como functor de eliminación ) "olvida" o descarta parte o la totalidad de la estructura o propiedades de la entrada antes de mapearla a la salida. Para una estructura algebraica de una signatura dada , esto puede expresarse acortando la signatura: la nueva signatura es una versión editada de la anterior. Si la signatura se deja como una lista vacía, el functor consiste simplemente en tomar el conjunto subyacente de una estructura. Dado que muchas estructuras en matemáticas consisten en un conjunto con una estructura adicional, un functor de olvido que mapea al conjunto subyacente es el caso más común.

Como ejemplo, hay varios functores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos . Un anillo ( unitario ) , descrito en el lenguaje del álgebra universal , es una tupla ordenada.${\displaystyle (R,+,\times ,a,0,1)}$satisfaciendo ciertos axiomas, donde${\displaystyle +}$y${\displaystyle \times }$son funciones binarias en el conjunto${\displaystyle R}$,${\displaystyle a}$es una operación unaria que corresponde al inverso aditivo, y 0 y 1 son operaciones nulas que dan las identidades de las dos operaciones binarias. Eliminar el 1 da un functor olvidadizo a la categoría de anillos sin unidad ; simplemente "olvida" la unidad. Eliminar${\displaystyle \times }$y 1 produce un functor a la categoría de grupos abelianos , que asigna a cada anillo${\displaystyle R}$el grupo abeliano aditivo subyacente de${\displaystyle R}$A cada morfismo de anillos se le asigna la misma función considerada simplemente como un morfismo de adición entre los grupos subyacentes. Eliminando todas las operaciones se obtiene el functor para el conjunto subyacente.${\displaystyle R}$.

Es útil distinguir entre functores olvidadizos que "olvidan la estructura" y aquellos que "olvidan las propiedades". Por ejemplo, en el ejemplo anterior de anillos conmutativos, además de los functores que eliminan algunas de las operaciones, hay functores que olvidan algunos de los axiomas. Hay un functor de la categoría CRing a Ring que olvida el axioma de conmutatividad, pero conserva todas las operaciones. Ocasionalmente, el objeto puede incluir conjuntos adicionales no definidos estrictamente en términos del conjunto subyacente (en este caso, qué parte considerar como el conjunto subyacente es una cuestión de preferencia, aunque esto rara vez es ambiguo en la práctica). Para estos objetos, hay functores olvidadizos que olvidan los conjuntos adicionales y que son más generales.

La mayoría de los objetos estudiados en matemáticas se construyen como conjuntos subyacentes junto con conjuntos adicionales de estructura sobre esos conjuntos (operaciones sobre el conjunto subyacente, subconjuntos privilegiados del conjunto subyacente, etc.) que pueden satisfacer algunos axiomas. Para estos objetos, un functor de olvido comúnmente considerado es el siguiente. Sea${\displaystyle {\mathcal {C}}}$sea ​​cualquier categoría basada en conjuntos , por ejemplo grupos —conjuntos de elementos— o espacios topológicos —conjuntos de 'puntos'—. Como de costumbre, escriba${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$para los fines de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y escribir${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})}$para los morfismos del mismo. Consideremos la regla:

A pesar de${\displaystyle A}$en${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=}$el conjunto subyacente de${\displaystyle A,}$

A pesar de${\displaystyle u}$en${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=}$el morfismo,${\displaystyle u}$, como un mapa de conjuntos.

El functor${\displaystyle |\cdot |}$es entonces el functor olvidadizo de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Conjunto , la categoría de conjuntos .

Los functores olvidadizos son casi siempre fieles . Las categorías concretas tienen functores olvidadizos para la categoría de conjuntos; de hecho, pueden definirse como aquellas categorías que admiten un functor fiel a esa categoría.

Los functores olvidadizos que solo olvidan los axiomas son siempre totalmente fieles , puesto que todo morfismo que respeta la estructura entre objetos que satisfacen los axiomas también los respeta automáticamente. Los functores olvidadizos que olvidan estructuras no tienen por qué ser totalmente fieles; algunos morfismos no respetan la estructura. Sin embargo, estos functores siguen siendo fieles porque los morfismos distintos que sí respetan la estructura siguen siendo distintos cuando se olvida la estructura. Los functores que olvidan los conjuntos adicionales no tienen por qué ser fieles, puesto que los morfismos distintos que respetan la estructura de esos conjuntos adicionales pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente.

En el lenguaje de la lógica formal, un functor de primer tipo elimina axiomas, un functor de segundo tipo elimina predicados y un functor de tercer tipo elimina tipos . Un ejemplo del primer tipo es el functor olvidadizo Ab → Grp . Uno del segundo tipo es el functor olvidadizo Ab → Set . Un functor del tercer tipo es el functor Mod → Ab , donde Mod es la categoría fibrada de todos los módulos sobre anillos arbitrarios. Para ver esto, basta con elegir un homomorfismo de anillos entre los anillos subyacentes que no cambie la acción del anillo. Bajo el functor olvidadizo, este morfismo produce la identidad. Nótese que un objeto en Mod es una tupla, que incluye un anillo y un grupo abeliano, por lo que cuál olvidar es una cuestión de preferencia.

Los functores olvidadizos tienden a tener adjuntos izquierdos , que son construcciones " libres ". Por ejemplo:

• módulo libre : el functor olvidadizo de${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$(la categoría de${\displaystyle R}$- módulos ) a${\displaystyle \mathbf {Conjunto} }$ha dejado adjunto${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}}$, con${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Free} _{R}(X)}$, el libre${\displaystyle R}$-módulo con base${\displaystyle X}$.
• grupo libre
• red libre
• álgebra tensorial
• categoría libre , adjunta al functor olvidadizo de categorías a carcajes
• álgebra envolvente universal

Para obtener una lista más extensa, consulte (Mac Lane 1997).

Como este es un ejemplo fundamental de adjuntos, lo explicamos: la adjunción significa que dado un conjunto X y un objeto (por ejemplo, un R -módulo) M , las aplicaciones de conjuntos${\displaystyle X\to |M|}$corresponden a mapas de módulos${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}(X)\to M}$: toda aplicación de conjuntos produce una aplicación de módulos, y toda aplicación de módulos proviene de una aplicación de conjuntos.

En el caso de los espacios vectoriales, esto se resume de la siguiente manera: "Una aplicación entre espacios vectoriales está determinada por el lugar al que envía una base, y una base puede aplicarse a cualquier cosa".

Simbólicamente:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\operatorname {Forget} (M)).}$

La unidad de la adjunción libre-olvidada es la "inclusión de una base":${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X)}$.

Fld , la categoría de cuerpos, proporciona un ejemplo de un functor olvidadizo sin adjunto. No existe ningún cuerpo que satisfaga una propiedad universal libre para un conjunto dado.

• functores adjuntos
• Funtores
• Proyección (teoría de conjuntos)

• Functor olvidadizo en el Laboratorio n