Extensión de bifurcación

En teoría de modelos , una extensión bifurcada de un tipo es una extensión de ese tipo que no es libre , mientras que una extensión no bifurcada es una extensión lo más libre posible. Esto puede utilizarse para extender las nociones de independencia lineal o algebraica a teorías estables . Estos conceptos fueron introducidos por S. Shelah .

Supongamos que A y B son modelos de alguna teoría ω-estable completa T. Si p es un tipo de A y q es un tipo de B que contiene a p , entonces q se denomina extensión bifurcada de p si su rango de Morley es menor, y extensión no bifurcada si tiene el mismo rango de Morley.

Sea T una teoría completa estable. La relación de no bifurcación ≤ para tipos sobre T es la única relación que satisface los siguientes axiomas:

1. Si p ≤ q, entonces p ⊂ q . Si f es una aplicación elemental, entonces p ≤ q si y solo si fp ≤ fq.
2. Si p ⊂ q ⊂ r, entonces p ≤ r si y solo si p ≤ q y q ≤ r.
3. Si p es un tipo de A y A ⊂ B , entonces existe algún tipo q de B tal que p ≤ q .
4. Existe un cardinal κ tal que si p es un tipo de A, entonces existe un subconjunto A ₀ de A con cardinalidad menor que κ tal que ( p | A ₀ ) ≤ p , donde | representa una restricción.
5. Para cualquier p existe un cardinal λ tal que hay como máximo λ tipos no contradictorios q con p ≤ q .

• U+2ADC ⫝̸ FORKING
• U+2ADD ⫝ NO FORJADO

• Harnik, Victor; Harrington, Leo (1984), "Fundamentos de la bifurcación", Ann. Pure Appl. Logic , 26 (3): 245– 286, doi : 10.1016/0168-0072(84)90005-8 , MR 0747686 
• Lascar, Daniel; Poizat, Bruno (1979), "Una introducción a la bifurcación", The Journal of Symbolic Logic , 44 (3), Association for Symbolic Logic: 330–350 , doi : 10.2307/2273127 , JSTOR 2273127 
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• Marker, David (2002), Teoría de modelos: Una introducción , Textos de posgrado en matemáticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98760-6
• Ng, Siu-Ah (2001) [1994], "Forking" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Shelah, Saharon (1990) [1978], Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (2.ª  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9